金融数学中的双边伽马分布和过程

双边伽马过程正如我们在第2节中所示，双边伽马分布完全可以区分。让我们列出相关L'evy过程的性质，在后半部分中用X表示。从L'evy测度F的表示（2.3），我们可以看到F（R）=∞ andRR | x | F（dx）<∞. 由于高斯部分为零，X在[18，定义11.9]的术语中属于B类。我们得到了以下性质。双边伽马过程是指有限的变化过程[18，Thm.21.9]，在每个腹股沟处以正长度进行无数次跳跃[18，Thm.21.3]，它们等于它们的跳跃之和[18，Thm.19.3]，即Xt=Xs≤t型Xs=x* uX，t≥ 0其中uXdenotes是X跳跃的随机测度。双边Gamma过程是具有正则分解的特殊半鞅[12，Cor.II.2.38]Xt=X* （uX- ν） t型+α+λ+-α-λ-t、 t型≥ 0其中，ν是uX的补偿器，由ν（dt，dx）=dtF（dx）给出，其中f表示（2.3）给出的L'evy度量。我们立即从特征函数（2.2）中看到，x的所有增量都有双边伽马分布，更精确的是x- Xs型~ Γ（α+（t- s） ，λ+；α-（t- s） ，λ-) 对于0≤ s<t.（5.1）有许多生成伽马随机变量的有效算法，例如[5，第6.3节]中选择的Johnk生成器和Best的伽马变量生成器。由于（5.1），因此很容易模拟双边GammaProcess。6、双边伽马过程的度量变换为了定义无套利金融模型，度量的等效变化很重要。在本节中，我们讨论双边Gamma过程的等效测度变换。金融中的双边伽马分布和过程9我们假设概率空间(Ohm, F、 P）如下所示。允许Ohm = D、 函数ω（t）从R+到R的集合，右连续，左极限。

对于ω∈ Ohm, 设Xt（ω）=ω（t），设F=σ（Xt:t∈ R+）和（Ft）t≥0be filtrationft=σ（Xs:s∈ [0，t]）。我们考虑一个概率测度P(Ohm, F） 这样Xis就是一个双边伽马过程。6.1. 提议设X为aΓ（α+，λ+；α-, λ-)-测度P和letα+，λ+，α下的过程-, λ-> 0、以下两种说法是等效的。（1） 还有另一个衡量Qloc的指标~ 其中X是参数为α+、λ+、α的双边Gammaprocess-, λ-.（2） α+=α+和α-= α-.证据【18，Thm.33.1】中的所有条件均明显满足，Zr除外1.-pΦ（x）F（dx）<∞,（6.1）其中Φ=dfdf表示各个L'evy度量的Radon-Nikodym导数，由Φ（x）=α+α+e给出（2.3）-(λ+-λ+）x（0，∞)（x） +α-α-e-(λ--λ-)|x个|(-∞,0）（x），x∈ R、 （6.2）（6.1）中的积分等于Zr1.-pΦ（x）F（dx）=Z∞x个qα+e-（λ+/2）x-qα+e-（λ+/2）xdx+Z∞x个qα-e-(λ-/2） x个-qα-e-(λ-/2） x个dx。因此，当且仅当α+=α+和α-= α-. 应用[18，第33.1条]完成证明。命题6.1意味着我们可以变换任何方差Gamma过程，这是根据定理3.3双边Gamma过程Γ（α，λ+；α，λ-), 任意参数λ>0的对称双边伽马过程Γ（α，λ；α，λ）。现在假设过程X是Γ（α+，λ+；α-, λ-) 在P和Γ（α+，λ+；α）下-, λ-)在Qloc措施下~ P、 根据命题6.1，存在测量值的这种变化。对于似然过程的计算∧t（Q，P）=dQ | FtdP | Ft，t≥ 0我们需要以下辅助结果引理6.2。为了证明它，我们需要指数积分的下列性质[1，第5章]E（x）：=Z∞e-xttdt，x>0。指数积分具有级数展开式（x）=-γ - ln x-∞Xn=1(-1） nn·n！xn，（6.3），其中γ表示欧拉常数γ=limn→∞“nXk=1k- ln（n）#。10 UWE K¨UCHLER和STEFAN Tapper指数积分的导数如下所示：xE（x）=-e-xx。(6.4)6.2. 引理。

对于所有λ，λ>0，它保持sz∞e-λx- e-λxxdx=lnλλ.证据由于（6.4）关系和指数积分Ewe obtainZ的级数展开式（6.3）∞e-λx- e-λxxdx=肢体→∞[E（λb）- E（λb）]- 利马→0[E（λa）- E（λa）]=肢体→∞E（λb）- 肢→∞E（λb）+lnλλ+ 利马→0∞Xn=1n·n！（λa）n- 利马→0∞Xn=1n·n！（λa）n。四个限值中的每一个都为零，因此声明的等式如下。对于我们在金融领域的应用，相对熵Et（Q，P）=EQ[ln∧t（Q，P）]，也称为Kullback-Leibler距离，通常用作两个等效概率度量的接近度度量，这一点非常重要。接下来的结果提供了似然过程和相对熵。在退化情况下λ+=λ+或λ-= λ-, （6.5）中的相关伽马分布被理解为狄拉克测度δ（0）。6.3. 提议它保持∧t（Q，P）=eUt，其中U在P下，L'evy过程生成分布U~ Γα+,λ+λ+- λ+* Γα-,λ-λ-- λ-* δα+lnλ+λ++ α-自然对数λ-λ-.（6.5）设置f（x）=x- 1.- lnx，它适用于相对熵（Q，P）=tα+fλ+λ++ α-fλ-λ-.（6.6）证明。根据[18，Thm.33.2]，似然过程的形式为∧t（Q，P）=eUt，其中，在度量值P下，U是L'evy过程ut=Xs≤tln（Φ(Xs））- tZR（Φ（x）- 1） F（dx），（6.7），其中Φ是由（6.2）给出的Radon-Nikodym导数，α+=α+=：α+和α-= α-=: α-. 对于每t>0，用X+t表示集水坑≤t型(X）+和X-t集水坑≤t型(Xs）-. 那么X=X+- 十、-. 通过Q的构造和定义，过程X+和X-独立于Γ（α+，λ+）和Γ（α-, λ-)-P和独立Γ（α+，λ+）和Γ（α）下的过程-, λ-)-分别在Q下处理。

从（6.2）开始，它遵循Xs≤tln（Φ(Xs））=（λ+- λ++X+t+（λ-- λ-)十、-t、 金融中的双边伽马分布和过程11（6.7）中的积分，使用引理6.2，等于Zr（Φ（x）- 1） F（dx）=α+Z∞e-λ+x- e-λ+xxdx+α-Z∞e-λ-x个- e-λ-xxdx=α+lnλ+λ++ α-自然对数λ-λ-.因此，我们得到了=（λ+- λ++X+t+（λ-- λ-)十、-t型+α+lnλ+λ++ α-自然对数λ-λ-t、 （6.8）方程（6.8）得出（6.6），并与引理2.1一起得出关系式（6.5）。由于似然过程的形式为∧t（Q，P）=eUt，其中L'evy过程u由（6.8）给出，因此∧t（Q，P）=exp(λ+- λ++X+t- tψ+（λ+- λ+)（6.9）×exp(λ-- λ-)十、-t型- tψ-(λ-- λ-),式中ψ+，ψ-表示Gammaprocesses X+，X的各自累积量生成函数-在测量P下，保持α+，α-, λ+, λ-全部为正且固定，然后通过将θ+=λ+- λ+,θ-= λ-- λ-, θ = (θ+, θ-)>∈ (-∞, λ+) × (-∞, λ-) =: Θ，Q=Qθ我们得到了一个双参数指数族（Qθ，θ∈ Θ）的L'evy过程，其中规范过程Bt=（X+t，X-t） 。特别是，对于每t>0，向量bt是θ=（θ+，θ）的有效统计-)>根据（Xs，s）的观察≤ t） 。考虑由θ+=θ获得的子族-, 我们得到了一个具有X+t+X的单参数指数族l'evy过程-t=Ps≤t型|Xs |作为有效的统计和规范过程。检查前一节的典型路径命题6.1表明参数α+，α-应通过检查双边伽马过程的典型路径来确定。事实确实如此。我们从伽马过程开始。设X为aΓ（α，λ）-过程。选择一个时间范围T>0，设置N：=nT#t型≤ 电话：Xt公司≥ e-n, n∈ N、 7.1。定理。它保持P（limn→∞Sn=α）=1。证据由于[18，Thm。

19.2]，X跳跃的随机测度uxo是aPoisson随机测度，强度测度ν（dt，dx）=dtαe-λxx（0，∞)dx。因此，sequenceYn：=TuX[0，T]×[e-n、 e1级-n）, n∈ 用e[Yn]=αZe1定义一系列独立随机变量-氖-氖-λxxdx=αZnn-1exp-λe-vdv↑ α为n→ ∞,Var[Yn]=αTZe1-氖-氖-λxxdx=αTZnn-1exp-λe-vdv↑αTas n→ ∞,12 UWE K¨UCHLER和STEFAN TAPPEbecause exp公司(-λe-五）↑ v为1→ ∞. 因此，我们有∞Xn=1Var【Yn】n<∞.因此，我们可以应用科尔莫戈罗夫的强大数定律[22，Thm.IV.3.2]，并推导出thatlimn→∞Sn=limn→∞nnXk=1Yk+limn→∞nTuX（[0，T]×[1，∞)) = α、 完成证明。现在，让X是一个双边伽马过程，比如X~ Γ(α+, λ+; α-, λ-). We集合+n：=nT#t型≤ 电话：Xt公司≥ e-n, n∈ N、 S-n： =nT#t型≤ 电话：Xt公司≤ -e-n, n∈ N、 7.2。推论它保持P（limn→∞S+n=α+和limn→∞S-n=α-) = 1.证明。我们定义了流程X+和X-当X+t=Ps时≤t型(Xs）+和X-t=Ps≤t型(Xs）-. 通过构造，我们得到X=X+-十、-以及过程X+和X-独立于Γ（α+，λ+）和Γ（α-, λ-)-过程。应用定理7.1可以得到期望的结果。8、股票模型我们将继续介绍一些应用于上述理论的融资。假设资产价格的演变由指数型evy模型St=Sert+Xt描述，其中S>0是股票的（确定性）初始值，r是利率，其中L'evy过程X是双边GammaprocessΓ（α+，λ+；α-, λ-) 在度量值P下，它起着现实世界度量值的作用。为了避免套利，出现了是否存在等价鞅测度的问题，即测度Qloc~ P，使Yt：=e-rtsti是局部鞅。8.1. 引理。假设λ+>1。那么Y是局部P-鞅当且仅当λ+λ+- 1.α+=λ-+ 1λ-α-.（8.1）证明。由于双边伽马过程X的高斯部分为零，因此It^o\'s公式[12，Thm]。

一、 4.57]，适用于Yt=SeXt，贴现股票价格的收益率Y=Y+ZtYs-dXs+SX0<s≤t型eXs公司- eXs公司-- eXs公司-Xs型.回想第5节，X=X*ux且uXis的补偿器ν由ν（dt，dx）=dtF（dx）给出，其中F表示（2.3）中的L'evy度量。所以我们得到Y=Y+ZtZRxYs-uX（ds，dx）+ZtZRYs-（例如- 1.- x） ux（ds，dx）（8.2）=Y+ZtZRYs-（例如- 1） （uX- ν） （ds、dx）+ZtYs-ZR（ex- 1） F（dx）ds。金融中的双边伽马分布和过程13应用引理6.2，漂移项中的积分等于Zr（ex- 1） F（dx）（8.3）=α+Z∞e-(λ+-1） x个- e-λ+xxdx- α-Z∞e-λ-x个- e-(λ-+1） xxdx=α+lnλ+λ+- 1.- α-自然对数λ-+ 1λ-.贴现价格过程Y是局部鞅，当且仅当（8.2）中的漂移消失时，到（8.3）时，当且仅当（8.1）满足时，才是局部鞅。与通常使用跳跃过程的金融建模一样，市场没有套利，但并不完全，即存在多个鞅测度。下一个结果表明，我们可以通过保持在双边伽马过程类中来找到鞅测度的连续统。我们定义φ：（1，∞) → R为φ（λ）：=φ（λ；α+，α-) :=λλ - 1.α+/α-- 1.-1, λ ∈ (1, ∞).8.2. 提议对于每个λ∈ (1, ∞) 存在鞅测度Qλloc~ Psuch在Qλ下我们有x~ Γ(α+, λ; α-, φ(λ)).（8.4）证明。回想一下，X是Γ（α+，λ+；α-, λ-) 根据命题6.1，对于每个λ∈ (1, ∞) 存在概率测度Qλloc~ P使得在Qλ关系（8.4）下是满的，而且该测度Qλ是鞅测度，因为引理8.1中的方程（8.1）是满足的。所以，我们有一个连续的鞅测度，问题是，我们应该选择哪一个。文献中有一些建议，参见，例如，[5]。一种方法是最小化相对熵，即找到λ∈ (1, ∞) 它最小化E（Qλ，P），然后取Qλ。

相对熵在命题6.3的方程式（6.6）中确定。取关于λ的第一个导数，并将其设置为零，我们必须找到λ∈ (1, ∞) 这样α-αλα-1.λα(λ - 1) - (λ - 1)α+1-λ-(λ - 1)α+1+α+λ1.-λ+λ= 0，（8.5），其中α：=α+/α-. 这可以通过数字实现。另一种观点是，鞅测度是由市场给出的。我们希望将双边GammaProcess系列中的L'evy过程X校准为期权价格。根据命题8.2，我们可以通过调整λ∈(1, ∞), 保留鞅属性，这给我们留下了一个要校准的参数。为简单起见，我们将r设置为0。对于每个λ∈ (1, ∞), t时刻欧式看涨期权的无套利定价规则≥ 0是，前提是St=s，由cλ（s，K；t，t）=等式λ[（St- K） +| St=s]，（8.6），其中K表示履约价格，T>T表示到期时间。我们可以在（8.6）asEQλ[（ST- K） +| St=s]=∏（s，K，α+（T- t） ，α-（T- t） ，λ，φ（λ）），（8.7），其中∏定义为∏（s，K，α+，α-, λ+, λ-) :=Z∞ln（Ks）（性别- K） f（x；α+，α-, λ+, λ-)dx，（8.8）14 UWE K¨UCHLER和STEFAN TAPPEwith x 7→ f（x；α+，α-, λ+, λ-) 表示具有这些参数的双边伽马分布的密度。为了计算期权价格，我们必须评估（8.8）中的积分。在续集中，F（α，β；γ；z）表示超几何系列[10，p.995]F（α，β；γ；z）=1+α·βγ·1z+α（α+1）β（β+1）γ（γ+1）·1·2z+α（α+1）（α+2）β（β+1）（β+2）γ（γ+1）（γ+2）·1·2·3z+。8.3. 提议假设λ+>1。对于（8.8）中的积分，以下等式有效：∏（s，K，α+，α-, λ+, λ-) =Zln（Ks）（性别）- K） f（x；α+，α-, λ+, λ-)dx（8.9）+（λ+）α+（λ-)α-Γ(α++ α-)Γ(α+)Γ(α-+ 1） ×sF（α++α）-, α-; α-+ 1.-λ-+1λ+-1)(λ+- 1)α++α--KF（α++α）-, α-; α-+ 1.-λ-λ+)(λ+)α++α-!.证据

注意，双边伽马分布的密度由（4.8）给出。该断言随后应用了[10，p.816]中的恒等式3。命题8.3为具有潜在双边伽马过程的exp-L'evy模型提供了一个封闭的定价公式，如Black-Scholes模型的Black-Scholes公式。在公式（8.9）中，仍需计算紧致区间上的积分【ln（Ks），0】。这可以通过数字实现。在特殊情况下K=s，我们得到了一个精确的定价公式。8.4. 推论假设λ+>1。在K=s的情况下，它适用于（8.8）：π（s，K，α+，α-, λ+, λ-) =K（λ+）α+（λ-)α-Γ(α++ α-)Γ(α+)Γ(α-+ 1） （8.10）×F（α++α-, α-; α-+ 1.-λ-+1λ+-1)(λ+- 1)α++α--F（α++α）-, α-; α-+ 1.-λ-λ+)(λ+)α++α-!.证据这是命题8.3的直接结果。我们将在下一节中使用此结果，以便将我们的模型校准到市场上观察到的期权价格。例证：DAX 1996-1998我们转向前面理论的例证。图1显示了751个观测值S，S，三年内德国股票指数DAX的Sof。我们假设这种价格演变实际上是指数双边伽马模型的轨迹，即St=SeXtwith S=2307.7和X beingaΓ（Θ）-过程，其中Θ=（α+，α-, λ+, λ-). 为简单起见，我们假设利率r为零。然后是增量Xi=Xi-xi-1对于i=1，750Γ（Θ）-分布随机变量的i.i.d.序列的区域实现。为了估算Θ，我们执行了第4节所述的统计程序。对于给定的观测值十、十、 矩量法（4.1）收益率横向伽马分布和金融过程150100020003000400050006000100 200 300 400 500 600 700图1。

DAX，1996-1998年。估算值^m=0.001032666257，^m=0.0002100280033，^m=-0.000000 8191504362，^m=0.0000002735163873。我们可以显式地求解方程组（4.3），并获得，除了少数情况（α+，λ+=（0，0），（α-, λ-) = （0，0）和（λ+，λ-) = （0，0），两种溶液（1.28，0.78，119.75，80.82）和（0.78，1.28，-80.82, -119.75). 考虑到参数条件α+，α-, λ+, λ-> 0时，系统（4.3）具有唯一解^Θ=（1.28、0.78、119.75、80.82）。从Hooke-Jeeves算法【17，第7.2.1节】开始，该算法以^为起点，在数值上最大化对数似然函数（4.9），我们得到最大似然估计^=（1.55，0.94，133.96，88.92）。我们在测量P下估计了双边伽马过程X的参数，这起到了实际测量的作用。下一个任务是找到适当的鞅测度Qλloc~ P、 假设在某个时间点t≥ 0该股票的价值为St=5000欧元，市场上有一个欧洲看涨期权，行使价格为5000欧元，行使时间为100天，即T=T+100。我们的目标是根据该选项的价格校准我们的模型。由于股票价值和罢工价格重合，我们可以使用推论8.4中的精确定价公式（8.10）。结果图2显示了λ的看涨期权价格Cλ（5000，5000；t，t+100）∈ (1, ∞). 注意，我们得到了合理的看涨期权价格的整个区间（0，5000）。这是exp-L'evy模型的典型特征，参见【7】。因此，我们可以将我们的模型校准到任何观察到的价格C∈ （0，5000），通过选择λ∈ (1, ∞) 使得C=Cλ（5000，5000；t，t+100）。如第8节所述，另一种确定鞅测度的方法是最小化相对熵，即确定λ∈ (1, ∞) 使E（Qλ，P）最小。

为此，我们必须找到λ∈ (1, ∞) 满足（8.5）。我们用数值方法求解该方程，并找到λ=139.47给出的唯一解。使用相应的鞅测度Qλloc~ P、 我们得到了看涨期权价格cλ（5000，5000；t，t+100）=290.75，参见图2。根据命题8.2，在Qλ下，过程X是一个双边伽马过程（1.55，139.47；0.94，83.51）。16 UWE K¨UCHLER和STEFAN Tappe010000200030004000500020 40 60 100 120 160 180 200λ图2。λ的看涨期权价格Cλ（5000，5000；t，t+100）∈ (1, ∞).仍需分析双边伽马分布的拟合优度，并将其与其他分布族进行比较。图3显示了经验和确定的双边伽马密度。我们提供了广义双曲（GH）、正态逆高斯（NIG）的最大似然估计，即λ=-, 双曲线（HYP），即λ=1的GH、双边伽马、方差伽马（VG）和正态分布。在下表中，我们可以看到Kolmogorov距离（L∞), 经验分布函数和估计分布函数之间的L距离和L距离。括号中的数字表示各自分布族的参数数量。