金融数学中的双边伽马分布和过程

尽管它具有实际意义，但我们忽略了GMY分布的类别，因为它们的概率密度在封闭形式下是不可用的。Kolmogorov距离L-距离L-距离GH（5）0.0134 0.0003 0.0012NIG（4）0.0161 0.0004 0.0013HYP（4）0.0137 0.0004 0.0013双边（4）0.0160 0 0.0003 0.0013VG（3）0.0497 0.0011 0.0044正态（2）0.0685 0.0021 0.0091我们注意到双边伽马分布所提供的函数与广义超对数分布的四个参数子类NIG和HYP具有相同的质量。我们使用下表执行Kolmogorov测试，该表显示了分位数λ1-1阶α-Kolmogorov分布的α除以观测数n的平方根。回想一下，在我们的示例中，n=750。α 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01λ1-α/√n 0.039 0.045 0.050 0.055 0.059从上表中取Kolmogorov距离，并将其与值λ1进行比较-α/√n在这个框中，我们可以看到正态分布的假设可以被明确否定，方差伽马分布可以被否定，误差概率为5%，而其余的分布族则不能被否定。10、期限结构模型lt f（t，t）是Heath-Jarrow-Morton期限结构模型（[11]）df（t，t）=α（t，t）dt+σ（t，t）dXt，双边伽马分布和金融过程17010203040–0.06–0.04–0.02 0.02 0.04 0.06X图3。经验密度和拟合的双边伽马密度。由一维L'evy过程X驱动。我们假设累积量生成函数ψ存在于某个非空闭区间I上 以零为内点的R。

根据方程式（2.6），通过取任何非空隙闭合区间I，双边伽马过程满足该条件 (-λ-, λ+，内点为零。我们假设波动率σ是确定性的，为了避免风险，漂移α满足HJM漂移条件α（t，t）=-σ（t，t）ψ（∑（t，t）），其中∑（t，t）=-ZTtσ（t，s）ds。例如，漂移条件在【8，第2.1节】中推导。由于ψ仅定义在I上，我们施加附加条件∑（t，t）∈ I代表所有0≤ t型≤ T（10.1）[9]和[13]表明，当且仅当波动率因子化，即σ（t，t）=τ（t）ζ（t）时，短期利率过程rt=f（t，t）为马尔可夫过程。此外，提供了τ的可微性以及τ（t）6=0，t≥ 0和ζ（T）6=0，T≥ 0时，存在一个有效的一维实现。由于σ（·，T）满足每个固定T≥ 0普通微分方程tσ（t，t）=τ（t）τ（t）σ（t，t），t∈ [0，T]我们使用It^o的公式[12，Thm.I.4.57]验证固定T≥ 该区域化f（t，t）=a（t，t）+b（t，t）Zt，0≤ t型≤ T（10.2）由a（T，T）=f（0，T）+Ztα（s，T）ds，b（T，T）=σ（T，T）（10.3）和一维状态过程Z给出，它是随机微分方程（dZt=-τ（t）τ（t）Ztdt+dXtZ=0。我们可以将这种实现转化为一种有效的短速率实现。

根据（10.2），i表示短期利率rt=a（t，t）+b（t，t）Zt，t≥ 0，表示ZT=rt- a（t，t）b（t，t），t≥ 0.18 UWE K¨UCHLER和STEFAN Tappein将此方程插入（10.2），我们得到f（t，t）=a（t，t）+b（t，t）b（t，t）（rt- a（t，t）），0≤ t型≤ T、 结合（10.3），我们得出atf（T，T）=f（0，T）-Zt[ψ（∑（s，T））- ψ（σ（s，t））]σ（s，t）ds+ζ（t）ζ（t）（rt- f（0，t））。（10.4）例如，设f（t，t）为具有Vasi^cek挥发性结构的期限结构模型，即σ（t，t）=-^σe-a（T-t） ，0≤ t型≤ T（10.5），实际常数^σ>0，a 6=0。我们假设a>0且^σa<λ+。因为∑（t，t）=σa1.- e-a（T-t）, 0≤ t型≤ T（10.6）我们找到了一个合适的区间I (-λ-, λ+，从而满足条件（10.1）。根据上述结果，短期利率r是一个马尔可夫过程，存在短期利率实现。方程式（10.4）简化为tof（t，t）=f（0，t）+ψ（∑（0，t））- ψ（∑（t，t））- e-a（T-t） ψ（∑（0，t））（10.7）+e-a（T-t） （rt- f（0，t））。我们可以使用以下结果计算债券价格P（t，t）。10.1. 提议它适用于债券价格sp（t，t）=eφ（t，t）-φ（t，t）rt，0≤ t型≤ t其中函数φ，φ由φ（t，t）=-ZTtf（0，s）ds-ZTtψ^σa1.- e-像ds（10.8）+ZTtψ^σa1.- e-a（s）-t）ds+a1.- e-a（T-t）f（0，t）+ψ^σa1.- e-在,φ（t，t）=a1.- e-a（T-t）.（10.9）证明。所声称的债券价格公式如下所示：identityP（t，t）=e-RTtf（t，s）dsand方程（10.6），（10.7）。问题是（10.8）中的φ很难计算一般驱动L′evyprocess X，因为我们必须在一个包含累积生成函数ψ的表达式上进行积分。然而，对于双边伽马过程，我们可以导出封闭形式的（10.8）。为此，我们考虑dilogarithm函数【1，第1004页】，定义为Dilog（x）：=-Zxln tt- 1dt，x∈ R+双边伽马分布和金融过程19，将出现在我们的封闭形式表示中。

dilogarithm函数具有级数展开dilog（x）=∞Xk=1(-1） k（x- 1） kk，0≤ x个≤ 2此外，还有identitydilog（x）+dilogx个= -（ln x），0≤ x个≤ 1有效，见【1，第1004页】。对于计算机程序来说，双对数函数与自然对数一样容易计算。以下辅助结果将有助于计算债券价格P（t，t）。10.2. 引理。设a，b，c，d，λ∈ R应确保≤ b和c>0，λ6=0。进一步假设所有x的c+deλx>0∈ 【a、b】。那么我们有Zbalnc+deλxdx=（b- a） ln（c）-λdilog1+dceλb+λdilog1+dceλa.证据对于ν（x）：=1+dceλx，我们通过替换zbaln获得c+deλxdx=（b- a） ln（c）+Zbaln1+dceλxdx=（b- a） ln（c）+λZД（b）Д（a）ln tt- 1dt=（b- a） ln（c）-λdilog1+dceλb+λdilog1+dceλa.现在假设驱动过程X是双边伽马过程（α+，λ+；α-, λ-).我们得到了债券价格P（t，t）的自然对数公式和双对数函数公式。10.3. 提议（10.8）中的函数φ表示φ（t，t）=-ZTtf（0，s）ds+α+a[D（λ+，T）- D（λ+，t）- D（λ+，T- t） +D（λ+，0）]+α-a[D（λ-, T）- D（λ-, t）- D（λ-, T- t） +D（λ-, 0）]+a1.- e-a（T-t）[f（0，t）+α+L（λ+）+α-L（λ-)],式中，dβ（λ，t）=dilog1+σe-λ+a+(-1)β^σ, β ∈ {0，1}，Lβ（λ）=lnλaλa+(-1)β^σ(1 -e-at）, β ∈ {0, 1}.证据在断言之后，将双边伽马过程X的累积量生成函数（2.6）插入（10.8）并使用引理10.2。20 UWE K¨UCHLER和STEFAN TAPPE11。结论如上所述，双边伽马过程可用于财务数据建模。原因之一在于它们的四个参数，确保了良好的拟合性能。它们与第3节中提到的其他几类过程或分布共享这一数量的参数。

此外，他们的轨迹在每个间隔上都有很多跳跃，这使得模型非常逼真。与其他研究充分的L'evy过程相反，这些轨迹在每个有界区间上都有有限的变化。因此，可以将每个轨迹分解为其递增和递减部分，并将其用于统计曲线。这类过程的其他优点是l'evy特征和累积量生成函数及其导数的简单形式。这使得能够透明地构建参数的估计程序，并使某些期限结构模型中的计算变得容易。参考文献【1】Abramowitz，M.和Stegun，I.A.（1972）《数学函数手册》。多佛出版社，纽约。[2] Barndorff-Nielsen，O.E.（1977）粒子大小对数的指数递减分布。《伦敦皇家学会会刊》A辑，第353卷，401-419页。[3] Barndor Off-Nielsen，O.E.、Kent，J.和Sorensen，M.（1982）正态方差平均混合和z分布。Internat公司。统计学家。复习50145-159。[4] Carr，P.、Geman，H.、Madan，D.和Yor，M.（2002年），《资产回报的详细结构：实证调查》。《商业杂志》75（2），305-332。[5] Cont，R.和Tankov，P.（2004）《带跳跃过程的金融建模》。查普曼和霍尔/CRC出版社，伦敦。[6] Eberlein，E.和v.Hammerstein，E.A.（2004）《广义双曲和逆高斯分布：极限情况和过程近似》。摘自：Dalang，R.C.，Dozzi，M.和Russo，F.（编辑），第105-153页。随机分析，随机场与应用研讨会IV，概率进展58。Birkh–auser Verlag。[7] Eberlein，E.和Jacod，J.（1997）关于期权价格的范围。金融与随机1131-140。[8] Eberlein，E.，¨Ozkan，F。

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