金融数学中的双边伽马分布和过程

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英文标题：
《Bilateral Gamma distributions and processes in financial mathematics》
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作者：
Uwe K\\\"uchler and Stefan Tappe
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We present a class of L\\\'evy processes for modelling financial market fluctuations: Bilateral Gamma processes. Our starting point is to explore the properties of bilateral Gamma distributions, and then we turn to their associated L\\\'evy processes. We treat exponential L\\\'evy stock models with an underlying bilateral Gamma process as well as term structure models driven by bilateral Gamma processes and apply our results to a set of real financial data (DAX 1996-1998).
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中文摘要：
我们提出了一类用于模拟金融市场波动的列维过程：双边伽马过程。我们的出发点是探索双边伽马分布的性质，然后我们转向它们相关的列维过程。我们将指数列维股票模型与潜在的双边伽马过程以及双边伽马过程驱动的期限结构模型相结合，并将我们的结果应用于一组实际金融数据（DAX 1996-1998）。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：伽马分布 金融数学 Mathematical distribution Quantitative

金融数学中的双边伽马分布和过程Suwe K¨UCHLER和STEFAN Tappeastract。我们提出了一类用于金融市场波动建模的列维过程：双边伽马过程。我们的出发点是探索双边伽马分布的性质，然后我们转向相关的L'evy过程。我们将指数L'evy股票模型与深入的双边Gamma过程以及由双边Gamma过程驱动的期限结构模型相结合，并将我们的结果应用于一组真实的金融数据（DAX 1996-1998）。关键词：双边Gamma分布、参数估计、双边Gamma过程、度量转换、股票模型、期权定价、期限结构模型60G51、91G201。简介近年来，金融市场价格变动的更现实的随机模型已经开发出来，例如用L'evy过程代替经典的布朗运动。这种L'evy过程的常见例子是广义双曲过程[2]及其子类，方差Gamma过程[15]和CGMY过程[4]。例如，可在【21，第5.3章】中找到有关用于融资申请的利维流程的调查。我们提出了另一类似乎很有趣的L'evy过程：双边Gamma过程，它被定义为两个独立Gamma过程的差异。

这类四参数过程比方差伽马过程更灵活，但在分析上仍然可以处理，尤其是这些过程具有简单的累积量生成函数。本文的目的有两个：首先，我们研究这些过程的性质以及它们的生成分布，并说明它们与文献中考虑的其他分布的关系。正如我们将看到的，它们有一系列的特性，使它们的应用非常有趣：双边伽马分布是自分解的，在卷积下是稳定的，并且有一个简单的累积量生成函数。相关的L'evyprocess是有限的变化过程，在每个正长度的间隔处发生无数次跳跃，其所有增量均为双边伽马分布。特别是，可以很容易地模拟双边膜过程的轨迹。因此，我们的第二个目标是应用双边伽马过程对金融市场波动进行建模。我们处理指数L'evy股票市场模型，并推导出欧式看涨期权定价的闭合公式。作为一个例子，我们将我们的结果应用于三年期间德国股票指数DAX的演变。双边伽马过程驱动的期限结构模型得到了很好的考虑。我们感谢迈克尔·瑟伦森和一位匿名裁判的有益评论和讨论。2 UWE K¨UCHLER和STEFAN TAPPE2。双边伽马分布建立L'evy过程的一种流行方法是取一个从属项S，即独立于S的布朗运动W，并构造时变布朗运动Xt：=W（St）。例如，广义双曲过程和方差Gamma过程就是以这种方式构造的。我们不走这条路。相反，我们定义X：=Y- Z表示两个独立从属关系的差异，Z。

这些从属函数应该有一个简单的特征函数，因为得到的L'evy过程X的特征函数也很简单。在这些思想的指导下，我们选择Gamma过程作为从属过程。首先，我们需要对Gamma分布进行以下略微概括。对于α>0和λ∈ R{0}，我们通过密度f（x）=λ|αΓ（α）| x |α来定义Γ（α，λ）-分布-1e级-|λ| | x|{λ>0}{x>0}+{λ<0}{x<0}, x个∈ R、 如果λ>0，那么这就是众所周知的伽马分布，对于λ<0，伽马分布集中在负半轴上。各一个验证（α，λ）∈ (0, ∞)×R \\{0}aΓ（α，λ）-分布的特征函数由Д（z）给出=λλ - iz公司α、 z∈ R（2.1），其中幂α来自复对数的主分支。参数为α+、λ+、α的双边γ分布-, λ-> 0定义为卷积（α+，λ+；α-, λ-) := Γ(α+, λ+) * Γ(α-, -λ-).注意，对于独立随机变量X，Y和X~ Γ（α+，λ+）和Y~Γ(α-, λ-) 这种差异具有双边伽马分布X-Y~ Γ(α+, λ+; α-, λ-).根据（2.1），双边伽马分布的特征函数为Д（z）=λ+λ+- iz公司α+λ-λ-+ iz公司α-, z∈ R、 （2.2）2.1。引理。（1） 假设X~ Γ(α+, λ+; α-, λ-) 和Y~ Γ(α+, λ+; α-, λ-), X和Y是独立的。然后X+Y~ Γ(α++ α+, λ+; α-+ α-, λ-).（2） 对于X~ Γ(α+, λ+; α-, λ-) c>0时，它保持cX~ Γ（α+，λ+c；α-,λ-c） 。证据断言的属性遵循characteristicfunction的表达式（2.2）。从特征函数（2.2）可以看出，双边伽马分布在卷积下是稳定的，并且它们是完全可分的。根据[18，Ex。

8.10]L'evy-Khintchine公式（截断函数h=0）中的漂移和高斯部分均等于零，且L'evy测度由f（dx）给出=α+xe-λ+x（0，∞)（x） +α-|x | e-λ-|x个|(-∞,0）（x）dx。（2.3）因此，我们也可以将特征函数Д表示为Д（z）=exp锆eizx公司- 1.k（x）xdx, z∈ R（2.4），其中k:R→ R是函数k（x）=α+e-λ+x（0，∞)（十）- α-e-λ-|x个|(-∞,0）（x），x∈ R（2.5）金融领域的双边伽马分布和过程3，每一个都在减少(-∞, 0）和（0，∞). 【18，Cor.15.11】的直接结果是，双边伽马分布是可自分解的。通过（2.3），它还保持sz | x |>1ezxF（dx）<∞ 对于所有z∈ (-λ-, λ+).因此，累积量生成函数ψ（z）=ln EezX公司（其中X~ Γ(α+, λ+; α-, λ-))存在于(-λ-, λ+，以及ψ和ψ，关于（2.2），由ψ（z）=α+ln给出λ+λ+- z+ α-自然对数λ-λ-+ z, z∈ (-λ-, λ+，（2.6）ψ（z）=α+λ+- z-α-λ-+ z、 z∈ (-λ-, λ+).（2.7）因此，n阶累积量κn=nznψ（z）| z=0由κn=（n）给出- 1)!α+（λ+）n+(-1） nα-(λ-)n, n∈ N={1，2，…}。（2.8）尤其是对于aΓ（α+，λ+；α-, λ-)-分布随机变量X，我们可以指定o期望e[X]=κ=α+λ+-α-λ-.（2.9）o方差Var[X]=κ=α+（λ+）+α-(λ-).（2.10）oCharliers偏度γ（X）=κ3/2=α+(λ+)-α-(λ-)α+(λ+)+α-(λ-)3/2.（2.11）o峰度γ（X）=3+κκ=3+α+(λ+)+α-(λ-)α+(λ+)+α-(λ-).（2.12）因此，双侧伽马分布为轻轨分布。3、相关分布类别从列维测度（2.3）中可以明显看出，双边伽马分布是广义回火稳定分布的特例【5，第4.5章】。

该六参数族由其L'evy measureF（dx）定义=α+x1+β+e-λ+x（0，∞)（x） +α-|x | 1+β-e-λ-|x个|(-∞,0）（x）dx。CGMY分布（见[4]）是一个具有L'evy measureF（dx）的四参数族=Cx1+Ye-Mx（0，∞)（x） +C | x | 1+Ye-G | x|(-∞,0）（x）dx。我们观察到一些双边伽马分布是CGMY分布，反之亦然。正如即将到来的结果所揭示的，双边伽马分布在弱收敛下并不紧密。4 UWE K¨UCHLER和STEFAN TAPPE3.1。提议设λ+，λ-> 0是任意的。然后，以下收敛保持不变：Γ(λ+)λ-nλ++λ-, λ+√nλ+(λ-)nλ++λ-, λ-√nw→ N（0，1）表示N→ ∞.证据这是中心极限定理引理2.1和关系式（2.9）、（2.10）的结果。双边伽马分布是[23]术语中广义伽马演化的特例。这些都是可整除分布u，其特征函数的形式为^u（z）=expizb公司-cz公司-锆自然对数1.-izy公司+izy1+ydU（y）, z∈ R带b∈ R、 c类≥ 0和非递减函数U:R→ 满足可积条件sz的U（0）=0的R-1 | ln y | dU（y）<∞ andZ公司-1.-∞ydU（y）+Z∞ydU（y）<∞.由于扩展广义Gamma卷积在弱极限下是闭合的，请参见[23]，双边Gamma分布的每个极限情况都是扩展广义Gamma卷积。设Z是一个从属函数（一个递增实值L'evy过程），X是一个值为Rd的L'evy过程。假设（Xt）t≥0和（Zt）t≥0是独立的。根据[18，Thm.30.1]，过程Y由yt（ω）=XZt（ω）（ω），t定义≥ 0是Rd上的L'evy进程。进程（Yt）t≥0被称为从属于（Xt）t≥让λ=L（Z）和u=L（X），我们确定混合物uo λ：=L（Y）。如果u为异常分布，则uo λ称为正态方差-均值混合（cf。

[3] ，过程Y称为时变布朗运动。u的特征函数o λ是，根据[18，Thm.30.1]，νuoλ=Lλ（log^u（z）），z∈ Rd（3.1），其中Lλ表示拉普拉斯变换Lλ（w）=Z∞ewxλ（dx），w∈ C带Re w≤ 0其中log^u表示u的特征函数的唯一连续对数【18，引理7.6】。漂移u=0的广义双曲线分布GH（λ，α，β，δ，u）是正态方差平均混合，因为（参见，例如，[6]）GH（λ，α，β，δ，0）=N（β，1）o GIG（λ，δ，pα- β） ，（3.2），其中GIG表示广义逆高斯分布。对于GIG分布，它保持收敛GIG（λ，δ，γ）w→ Γ（λ，γ）为δ↓ 0，（3.3）参见，例如，[21，第5.3.5节]。方差γ分布V G（u，σ，ν）的特征函数为φ（z）（见[15，第6.1.1节]）=1.- izuν+σνz-ν、 z∈ R、 （3.4）金融中的双边伽马分布和过程5因此，我们通过使用（3.1）验证方差伽马分布是正态方差-均值混合，即它保持sv G（u，σ，ν）=N（u，σ）o Γ（ν，ν）=N（uσ，1）o Γ(ν,νσ).（3.5）根据【15，第6.1.3节】，方差伽马分布是双边伽马分布的特例。在定理3.3中，我们刻画了方差伽马分布的双边伽马分布。之前，我们需要一个关于混合收敛性的辅助结果。3.2. 引理。λnw→ λ和unw→ u表示λno unw→ λ o u为n→ ∞.证据固定z∈ 自log^un起的Rd→ log^u[18，引理7.7]，setK：={log^un（z）：n∈ N}∪ {log^u（z）}是紧凑的。它保持Lλn→ Lλ在紧集上一致（证明类似于L'evy连续性定理）。考虑到（3.1），我们因此得到了Дλnoun（z）→ φλou（z）为n→ ∞. 现在我们推导并证明了宣告定理。3.3. 定理。设α+，λ+，α-, λ-> 0和γ=Γ（α+，λ+；α-, λ-).

（1）γ是方差γ分布。（2） γ是GH（λ，α，β，δ，0）的极限情况，其中δ↓ 0和λ、α、β是固定的。（3） γ是正态方差-均值混合物。(4) α+= α-.证据假设γ=V G（u，σ，ν）。我们设置（λ，α，β）：=ν，rνσ+uσ,uσ!,使用（3.2）、引理3.2、（3.3）和（3.5）GH（λ，α，β，δ，0）=N（β，1）得到o GIG（λ，δ，pα- β） =Nuσ, 1o GIG公司ν、 δ，qνσw→ Nuσ, 1o Γν,νσ= γ为δ↓ 0，显示（1）=> (2). 如果GH（λ，α，β，δ，0）=N（β，1）o GIG（λ，δ，α- β） w→ γ表示δ↓ 0，则γ是引理3.2的正态方差-均值混合物，证明了（2）=> (3). 含义（3）=> （4） 依据【5，第4.1款】有效。如果α+=α-=: α、 使用特征函数（2.2）、（3.4），我们得到γ=V G（u，σ，ν），参数（u，σ，ν）：=αλ+-αλ-,2αλ+λ-,α,（3.6）何处（4）=> （1） 如下所示。我们强调，不能将非方差Gamma的双边Gamma分布作为广义双曲分布的极限情况。我们参考文献[6]，其中确定了广义双曲分布的所有极限。6 UWE K¨UCHLER和STEFAN TAPPE4。双边伽马分布的统计数据前几节的结果表明，双边伽马分布具有一系列特性，使其应用非常有趣。假设我们有一组数据，假设它的定律实际上是一个双边伽玛分布。然后我们需要估计参数。本节专门介绍双边伽马分布的统计数据。让X，Xnbe一个Γ（Θ）-分布随机变量的i.i.d.序列，其中Θ=（α+，α-, λ+, λ-), 让x，xnbe实现。我们想确定参数的估计值。我们从矩量法开始，估计k=1，…，的第k阶矩mk=E[Xk]，4 as^mk=nnXi=1xki。（4.1）根据[16，p.346]，矩和累积量κ之间的下列关系。

，κin（2.8）有效：κ=mκ=m- mκ=m- 3mm+2mκ=m- 4毫米- 3m+12mm- 6米。（4.2）对于n=1，…，插入累积量（2.8），4到（4.2），我们得到α+λ-- α-λ+- cλ+λ-= 0α+(λ-)+ α-(λ+)- c（λ+）（λ-)= 0α+(λ-)- α-(λ+)- c（λ+）（λ-)= 0α+(λ-)+ α-(λ+)- c（λ+）（λ-)= 0，（4.3），其中常数c，护理人员c=mc=m- mc=m-mm+mc=m-毫米-m+2mm- m、 我们可以显式求解方程组（4.3）。一般情况下，如果我们避免特殊情况（α+，λ+=（0，0），（α-, λ-) = （0，0）和（λ+，λ-) = （0，0），它有很多但不止一个解决方案。注意，对于（α+，α-, λ+, λ-) 向量（α-, α+, -λ-, -λ+）也是（4.3）的溶液。然而，在实践中，参见第9节，限制α+，α-, λ+, λ-> 0确保解决方案的唯一性。让我们仔细看看关于解的可解性和唯一性的方程组（4.3）。当然，α+，α的真值-, λ+, λ-> 如果Cn等于κn（n），则求解0（4.3-1)!, 见（2.8）。（4.3）的左侧定义了齿函数G:C×（0，∞)→ R、 式中，C：=（R×（0，∞)). 现在我们考虑g（c，θ）=0，θ=（α+，α-, λ+, λ-) ∈ (0, ∞)（4.4）金融中的双边伽马分布和过程7，固定向量c=（c，…，c）由cn=κn（n）给出-1)!对于n=1，4、因为自由Gθ（c，θ）=detλ--λ+-α+λ-/λ+α-λ+/λ-(λ-)(λ+)-2α+(λ-)/λ+-2α-(λ+)/λ-(λ-)-(λ+)-3α+(λ-)/λ+3α-(λ+)/λ-(λ-)(λ+)-4α+(λ-)/λ+-4α-(λ+)/λ-= α+α-λ+λ-· det公司1 1 1 1λ-(-λ+) 2λ-2(-λ+)(λ-)(-λ+)3(λ-)3(-λ+)(λ-)(-λ+)4(λ-)4(-λ+)= α+α-(λ+)(λ-)(λ++ λ-)> 0对于每个θ∈ (0, ∞), 方程（4.4）隐含地定义了ca唯一定义函数θ=θ（γ），G（γ，θ（γ））=0，γ的邻域U∈ U、 假设基于^mnare计算的^cnare接近真实cn，我们得到（4.3）的唯一解。该程序产生向量^Θ作为参数的第一次估计。

双边伽马分布相对于Lebesguemeasure是绝对连续的，因为它们是两个伽马分布的卷积。为了进行最大似然估计，我们需要其密度函数的适当表示。由于密度满足对称关系f（x；α+，λ+，α-, λ-) = f级(-x；α-, λ-, α+，λ+，x∈ R \\{0}（4.5）分析正实线上的密度函数是有效的。作为两个伽马密度的演化，它们是x的∈ (0, ∞) 给定byf（x）=（λ+）α+（λ-)α-(λ++ λ-)α-Γ(α+)Γ(α-)e-λ+xZ∞vα--1.x+vλ++λ-α+-1e级-vdv。（4.6）我们可以用Whittaker函数Wλ，u（z）[10，p.1014]来表示密度f，这是一个研究得很好的数学函数。根据[10，p.1015]，Whittaker函数的表达式为wλ，u（z）=zλe-zΓ（u- λ++Z∞tu-λ-e-t型1+tzu+λ-u的dt- λ > -.（4.7）从（4.6）和（4.7）中，我们得到x>0f（x）=（λ+）α+（λ-)α-(λ++ λ-)(α++α-)Γ（α+）x（α+）α-)-1e级-x（λ+-λ-)（4.8）×W（α+-α-),(α++α--1） （x（λ++λ-)).8 UWE K¨UCHLER和STEFAN TappethΘ=（α+，α）的似然函数的对数-, λ+, λ-) 通过密度的对称关系（4.5）和表示（4.8），由n L（Θ）=-n+ln（α+）- n-ln（α-))（4.9）+nα+ln（λ+）+α-ln（λ-) -α++ α-ln（λ++λ）-)+α++ α-- 1.nXi=1ln | xi |！-λ+- λ-nXi=1xi+nXi=1lnWsgn（xi）（α+-α-),(α++α--1） （| xi |（λ++λ）-)),其中n+表示正的数量，n-负面观察的数量。我们将从矩量法获得的向量^Θ作为算法的起点，例如胡克-杰夫斯算法【17，第7.2.1节】，该算法在数值上最大化对数似然函数（4.9）。这给出了参数的最大似然估计。我们将在第9.5节中说明整个过程。