谱负Levy过程的泊松占据时间

对于p，λ>0，b，q，θ≥ 0和x≤ b、 Exhe公司-qρ（p，λ）+θXρ（p，λ）{ρ（p，λ）<τ+b}i=pψq+λ（θ）ψq+p（θ）E（q，λ）（X，θ）-~Zq（x，Φλ+q，Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）E（q，λ）（b，θ）！，式中，e（q，λ）（x，θ）=λZq（x，θ）- ψq（θ）Zq（x，Φλ+q）。对于x∈ R、 Exhe公司-qρ（p，λ）+θXρ（p，λ）{ρ（p，λ）<∞}i=pψq+λ（θ）ψq+p（θ）E（q，λ）（x，θ）-ψq（θ）（Φq+λ- θ） （Φp+q- Φq）p（θ- Φq）~Zq（x，Φλ+q，Φp+q）. （31）对于-一≤ x个≤ b、 Exhe公司-qτ+b{τ+b<ρ（p，λ）∧τ--a} i=▄W（p，λ）q（x，a）▄W（p，λ）q（b，a），（32），其中▄W（p，λ）q（x，a）=λW（q，p）x（x+a）Wq+λ（a）- pW（q，λ）x（x+a）Wp+q（a）。当→ ∞, 我们得到了-qτ+b{τ+b<ρ（p，λ）}i=~Zq（x，Φλ+q，Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）。（33）证明。Letv（x）=Exhe-qρ（p，λ）+θXρ（p，λ）{ρ（p，λ）<τ+b}i.对于X<0，通过强马尔可夫性和X的谱负性，我们得到v（X）=exh-qep+θXep{τ+>ep}i+Exhe-（p+q）τ+iEhe-qρ（p，λ）{ρ（p，λ）<τ+b}i.（34）对于0≤ x<b，再次使用强马尔可夫性质，我们得到v（x）=Exhe-qT-vXT公司-{T-<τ+b}i.（35）在（35）中插入（34），我们得到，对于所有x∈ Rv（x）=Exe-qT-额外的-他-peq+θXep{τ+>等式}i{T-<τ+b}+前任e-qT-额外的-他-（p+q）τ+i{T-<τ+b}Ehe公司-qρ（p，λ）{ρ（p，λ）<τ+b}i=-pψp+q（θ）Exe-qT-+θXT-{T-<τ+b}+pψp+q（θ）Exhe-qT-eΦp+qXT-{T-<τ+b}i+Ex额外的-他-（p+q）τ+i{T-<τ+b}Ehe公司-qρ（p，λ）{ρ（p，λ）<τ+b}i。

（36）对于x=0，使用（55），我们有v（0）=-pψp+q（θ）Ee-qT-+θXT-{T-<τ+b}- Ee-qT-+Φp+qXT-{T-<τ+b}1.- Ee-qT-+Φp+qXT-{T-<τ+b}=-pψp+q（θ））-λψλ+q（θ）1.-Zq（b，θ）Zq（b，Φq+λ）-λλ - p1.-Zq（b，Φp+q）Zq（b，Φq+λ）1.-λλ - p1.-Zq（b，Φp+q）Zq（b，Φq+λ）=-pψp+q（θ）1+（λ- p） ψq+λ（θ）（Φλ+q- Φp+q）E（q，λ）（b，θ）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）！。现在，将（36）中的最后一个表达式与（55）结合起来，经过几次操作，我们得到了v（x）=pψp+q（θ）λψλ+q（θ）Zq（x，θ）- Zq（x，Φλ+q）Zq（b，θ）Zq（b，Φλ+q）+pψp+q（θ）λψλ+q（θ）Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φp+q）Zq（b，Φλ+q）×λZq（b，θ）（Φλ+q- Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）+pψp+q（θ）λψλ+q（θ）qZq（b，Φp+q）Zq（x，Φλ+q）（Φλ+q- Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）=pψp+q（θ）ψλ+q（θ）（λZq（x，θ）- ψq（θ）Zq（x，Φλ+q））-pψp+q（θ）ψλ+q（θ）~Zq（x，Φλ+q，Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）（λZq（b，θ）- ψq（θ）Zq（b，Φλ+q）），证明了第一恒等式。为了证明第二个恒等式，我们需要计算以下LimitLimb→∞E（q，λ）（b，θ）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）。考虑到那个肢体→∞Zq（b，Φλ+q）Zq（b，θ）=λ（θ- Φq）ψq（θ）（Φλ+q- Φq），和肢体→∞Zq（b，Φλ+q，Φp+q）Zq（b，θ）=λp（θ- Φq）ψq（θ）（Φλ+q- Φq）（Φp+q- Φq），我们获得肢体→∞E（q，λ）（b，θ）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）=肢体→∞E（q，λ）（b，θ）/Zq（b，θ）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）/Zq（b，θ）=ψq（θ）（Φq+λ）- θ） （Φp+q- Φq）p（θ- Φq）。现在，我们证明等式（32）中的恒等式。We setw（x）=Exhe-qτ+b{τ+b<ρ（p，λ）∧τ--a} 执行部队-a<x<0，根据强马尔可夫性和x的谱负性，我们得到w（x）=Exhe-（p+q）τ+{τ+<τ--a} iw（0）=Wp+q（x+a）Wp+q（a）w（0）。（37）对于0≤ x个≤ b、 再次利用强马尔可夫性质，我们得到w（x）=Exhe-qτ+b{τ+b<T-∧τ--a} i+Exhe-qT-wXT公司-{T-<τ+b∧τ--a} i。

（38）因此，在（38）中插入（37），我们推断w（x）=Exhe-qτ+b{τ+b<T-∧τ--a} i+w（0）Wp+q（a）Exhe-qT-Wp+qXT公司-+ 一{T-<τ+b∧τ--a} i.对于x=0，使用（56）和（58），我们得到w（0）=Ehe-qτ+b{τ+b<T-∧τ--a} i1- Ehe公司-qT-Wp+qXT公司-+ 一{T-<τ+b∧τ--a} i/Wp+q（a）=（λ- p） Wp+q（a）Wq+λ（a）λИW（p，λ）q（b）。现在，插入（38）中的最后一个表达式，我们推导出W（x）=W（q，λ）x（x+a）W（q，λ）b（b+a）+Wq+λ（a）（λ- p） λИW（p，λ）q（b）λλ- pW（q，p）x（x+a）- W（q，λ）x（x+a）-(λ - p） Wq+λ（a）λ∧W（p，λ）q（b）λλ- pW（q，p）b（b+a）- W（q，λ）b（b+a）W（q，λ）x（x+a）W（q，λ）b（b+a）=▄W（p，λ）q（x）▄W（p，λ）q（b），从而得出第三个恒等式的证明。现在→ ∞ 在（32）中，我们有利马→∞~W（p，λ）q（x，a）~W（p，λ）q（b，a）=lima→∞~W（p，λ）q（x，a）/（Wp+q（a）Wq+λ（a））~W（p，λ）q（b，a）/（Wp+q（a）Wq+λ（a）），和利马→∞~W（p，λ）q（x，a）Wp+q（a）Wq+λ（a）=lima→∞λW（q，p）x（x+a）Wq+λ（a）- pW（q，λ）x（x+a）Wp+q（a）Wp+q（a）Wq+λ（a）=λZq（x，Φp+q）- pZq（x，Φq+λ），其中，在上一个等式中，我们使用f表示，lima→∞W（q，p）x（x+a）Wp+q（a）=Wp+q（x+a）- pRxWp+q（x+a- y） Wq（y）dy，Wp+q（a）=Zq（x，Φp+q），类似地，lima→∞W（q，λ）x（x+a）Wq+λ（a）=Zq（x，Φq+λ），这两种方法都使用（9）。最后一个身份也可以用以下事实来证明-qτ+b{τ+b<ρ（p，λ）}i=Exe-qτ+b-pOXτ+b，λ{τ+b<∞}.证据到此为止。备注10。如第（3.1）小节所示，我们有跛行→∞Zq（x，Φλ+q，Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）=Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q），因此，跛行→∞Exhe公司-qρ（p，λ）+θXρ（p，λ）{ρ（p，λ）<τ+b}i=λ- ψq（θ）E（q，λ）（x，θ）-Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）E（q，λ）（b，θ）=λλ - ψq（θ）Zq（x，θ）- Zq（x，Φλ+q）Zq（b，θ）Zq（b，Φλ+q）= 前任e-qT-+θXT-{T-<τ+b},对应于身份（55）。接下来是巴黎破产时间ρ（p，λ）的Gerber–Shiu分布表达式。定理11。

对于p，λ>0，q≥ 0，x≤ b和y≤ 0，Exe-qρ（p，λ）nXρ（p，λ）∈dy，ρ（p，λ）<τ+bo= pE（q，λ）y（x）-Zq（x，Φλ+q，Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）E（q，λ）y（b）！dy，（39），其中e（q，λ）y（x）=λW（q，λ）x（x- y）- W（q，p）x（x- y） λ- p-Zq（x，Φλ+q）λWq+λ(-y）- pWp+q(-y） λ- p.证据我们有-qρ（p，λ）+θXρ（p，λ）{ρ（p，λ）<τ+b}i=Z-∞eθyExe-qρ（p，λ）nXρ（p，λ）∈dy，ρ（p，λ）<τ+bo. （40）更精确地说，我们需要计算e（q，λ）（x，θ）ψq+λ（θ）ψq+p（θ）相对于θ的拉普拉斯逆。首先，从（5）中，我们得到ψq（θ）ψq+λ（θ）ψq+p（θ）=ψq+p（θ）+λψq+λ（θ）ψq+p（θ）=Z-∞eθyWp+q(-y） +λZ-yWq+λ(-y- z） Wp+q（z）dzdy=Z-∞eθyλWq+λ(-y）- pWp+q(-y） λ- pdy，其中最后一个等式使用等式（11）得出。利用（12）和（13），我们推导出zq（x，θ）ψq+λ（θ）ψq+p（θ）=Z-∞eθyZ-yWq+λ(-y- z） W（q，p）x（x+z）dzdy=Z-∞eθyW（q，λ）x（x- y）- W（q，p）x（x- y） λ- pdy.所需表达式后面是拉普拉斯逆变换。备注12。方程（39）中的Gerber–Shiu分布与[3]中的分布具有相似的a结构（尽管当p→ ∞), 也就是说，Ex“e-qT-XT公司-∈dy，T-<τ+b#= λZq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）W（q，λ）b（b- y）- W（q，λ）x（x- y）dy.（41）利用巴黎时间ρ（p，λ）和泊松占据时间之间的关系b，我们得到了OXeq，λ的拉普拉斯变换的以下表达式，其中eq是速率q>0的指数随机变量，与过程X无关。推论13。对于p≥ 0，q，λ>0和x∈ R、 我们有-pOXeq，λi=1-p（λ+q）（p+q）E（q，λ）（x，0）-qΦq+λ（Φp+q- Φq）pΦqZq（x，Φλ+q，Φp+q）.（42）证明。首先，我们有-pOXeq，λi=PxOXeq，λ<ep= 二甲苯ρ（p，λ）>等式= 1.- Exhe公司-qρ（p，λ）i.（43）然后，使用θ=0的（31），我们得到-pOXeq，λi=1-p（λ+q）（p+q）E（q，λ）（x，0）-qΦq+λ（Φp+q- Φq）pΦqZq（x，Φλ+q，Φp+q）. (44)备注14。

当λ→ ∞, 我们恢复了OXeq，Exhe的拉普拉斯变换-pOXeqi=limλ→∞Exhe公司-pOXeq，λi=1-p（p+q）Zq（x）-q（Φp+q- Φq）pΦqZq（x，Φp+q）, （45）可在【11】中找到。作为上述结果的一个应用，我们研究了具有Erlang（2，λ）分布实现延迟的Parisian破产。巴黎破产时间也可以表示为ρ（2）λ=TN-,其中▄N-= 最小{i∈ N:sup{Xt:t∈ [技术信息-1，Ti]}<0}（见Albrecher和I vanovs[1]）。因此，让p→ λ在推论（6）中，我们得到了具有Erlang（2，λ）实现延迟的巴黎破产概率的以下表达式，其结构与方程（54）中的一个类似。推论15。对于λ>0，x∈ R和E[X]>0，我们有pxρ(2)λ< ∞= 1.- E[X]Φλλ∧Z（X，Φλ，Φλ）。（46）同样，从定理（9）中，我们得到以下结果。推论16。对于q，λ>0，x≤ b和y≤ 0，Exe-qρ（2）λXρ（2）λ∈dy，ρ（2）λ<τ+b= λE（λ）y（x）-~Zq（x，Φλ+q，Φλ+q）~Zq（b，Φλ+q，Φλ+q）E（λ）y（b）！dy，（47），其中eλy（x）=λW（q，λ）x（x- y）λ- Zq（x，Φλ+q）Wq+λ(-y）+Wq+λ(-y）λ.Ex“e-qρ（2）λ+θXρ（2）λnρ（2）λ<τ+bo#=λ（ψλ+q（θ））E（q，λ）（X，θ）-~Zq（x，Φλ+q，Φλ+q）~Zq（b，Φλ+q，Φλ+q）E（q，λ）（b，θ）！，（48）安第斯山脉e-qτ+bnτ+b<ρ（2）λo=~Zq（x，Φλ+q，Φλ+q）~Zq（b，Φλ+q，Φλ+q）。对于x∈ R、 Ex“e-qρ（2）λ+θXρ（2）λnρ（2）λ<∞o#=λ（ψλ+q（θ））E（q，λ）（x）-ψq（θ）（Φq+λ- θ） （λΦ+q- Φq）~Zq（x，Φλ+q，Φλ+q）λ（θ- Φq）！。（49）备注17。在（49）中设置θ=x=0，我们得到e-qρ（2）λnρ（2）λ<∞o=λ（λ+q）-λ（λ+q）Φλ+q（Φλ+q- Φq）ΦqΦ′λ+q，对应于[1]中的方程式（22），Φ′λ是Φλ相对于亚指数λ的导数。4.1.1. 示例。在这一小节中，我们使用（46）中的公式计算了布朗风险模型中具有Erlang（2，λ）延迟的巴黎破产概率。布朗风险过程。设X为布朗风险过程，即Xt=X+ut+σBt，其中u>0，u>0，B={Bt，t≥ 0}是标准布朗运动。那么，我们有ψ（θ）=uθ+σθ和Φλ=pu+2σλ- uσ-2.

在这种情况下，对于x≥ 0且q>0时，X的标度函数由w（X）=u给出1.- e-2ux/σ,andZ（x，θ）=ψ（θ）uθ-e-2uσ-2xθ+2uσ-2.Z对θ的导数由Z′（x，θ）=ψ′（θ）uθ给出-e-2uσ-2xθ+2uσ-2!+ψ（θ）ue-2uσ-2x（θ+2uσ-2)-θ!= ψ′（θ）Z（x，θ）ψ（θ）+ψ（θ）ue-2uσ-2x（θ+2uσ-2)-θ!.使用（15）中的表达式，我们得到▄Z（x，Φλ，Φλ）=λ|||||λ-e-2uσ-2x（Φλ+2uσ-2)!.把所有的项放在一起，我们得到了具有Erlang（2，λ）延迟的Parisianruin概率Px的以下表达式ρ(2)λ< ∞= 1.-pu+2σλ- uλσΦλ-e-2uσ-2x（Φλ+2uσ-2)!.指数索赔的Cramér-Lundberg过程。设X是具有指数分布索赔的Cramér-Lundberg风险过程，即Xt=X+ct-NtXi=1Ci，其中N={Nt，t≥ 0}是强度η>0的泊松过程，其中{C，C，…}是具有参数α的独立指数分布随机变量。泊松过程和随机变量是相互独立的。那么，我们有ψ（θ）=cθ- η+αηθ+α和Φλ=2cλ + η - cα+q（λ+η）- cα）+4cαλ.X的标度函数由w（X）=c给出- η/α1.-ηcαe（ηc-α） x个,andZ（x，θ）=ψ（θ）c- η/αθ-ηcαe（η/c-α） xθ+α- η/c！。Z对θ的导数由Z′（x，θ）=ψ′（θ）ψ（θ）Z（x，θ）+ψ（θ）c给出- η/αηcαe（η/c-α） x（θ+α- η/c）-θ!,因此，Z（x，Φλ，Φλ）=λc- η/αΦλ-ηcαe（η/c-α） x（λ+α- η/c）！。把所有的部分放在一起，我们得到了pxρ(2)λ< ∞= 1.-λΦλ-ηcαe（η/c-α） x（λ+α- η/c）！。4.2. 具有Erlang（n，λ）实现延迟（n）的Parisian破产≥ 3). 现在，我们证明，在连续两次观察0以下的剩余过程后，占用时间是累积的，我们用Ox表示泊松占用时间∞,λ、 2=Xn∈N（τ+o θTn+1）1nsupt∈[Tn，Tn+1]（Xt）<0°。OX的拉普拉斯变换∞,λ、 2可使用以下标准概率分解exhe计算-qOX公司∞,λ、 2i=Pxρ(2)λ= ∞+ 前任eΦqXρ（2）λnρ（2）λ<∞oEhe公司-qOX公司∞,λ、 2i。

（50）出租q→ λ在（50）中，结合前一小节（4.1）中的结果，我们可以得到具有Erlang（3，λ）实现延迟的巴黎破产概率表达式。更一般地，我们用OXt，λ，n表示第n个泊松占据时间。在这种情况下，当在最后n个泊松到达时间观察到过程X为负时，即当supt∈[Ti，Ti+n]（Xt）<0。那么，我们有牛∞,λ、 n=Xi∈N（τ+o θTi+n）1nsupt∈[Ti，Ti+n]（Xt）<0°。此外，我们将ρ（n）λ表示为具有Erlang（n，λ）实现延迟的巴黎破产时间，即ρ（n）λ=inft>0 | t- gt>Tn，gtλ,式中，Tn，gtλ遵循Erlang（n，λ）分布。特别地，我们有ρ（0）λ=τ-ρ（1）λ=T-. 根据本节开头的讨论，我们有以下连接pxρ（n）λ<∞= 1.- Exhe公司-λOX∞,λ、 镍。（51）因此，我们得到了以下巴黎破产威瑟朗（n，λ）实现延迟概率的递推公式。提案18。对于n∈ N、 λ>0和x∈ R、 Pxρ（n）λ=∞= 二甲苯ρ（n-1)λ= ∞+ Pρ（n-1)λ= ∞前任eΦλXρ（n-1） λnρ（n-1)λ<∞o1.- EeΦλXρ（n-1） λnρ（n-1)λ<∞o. （52）备注19。当n趋于一致时，可以用固定延迟来近似Parisianruin的概率，即κr=inf{t>0:t- gt>r}，（53），其中gt=sup{0≤ s≤ t： Xs型≥ 0}，通过Erlang（n，λ=n/r）分布式实现延迟的巴黎破产概率（见Bladt等人[5]和Landriault等人[12]）。感谢作者感谢李斌教授就这一主题进行了富有启发性的讨论。附录A.延迟波动恒等式在本小节中，我们介绍了一些现有的延迟波动恒等式。当[X]>0时，我们有pxT-< ∞= 1.- Exhe公司-λOX∞i=1- E[X]ΦλλZ（X，Φλ）。（54）对于T-, XT公司-Albrecher等人。

[2].引理20。对于λ>0，a，b，q，θ≥ 0和x≤ b、 我们有e-qT-+θXT-{T-<τ+b}=λλ - ψq（θ）Zq（x，θ）- Zq（x，Φλ+q）Zq（b，θ）Zq（b，Φλ+q）. （55）用于-一≤ x个≤ b、 Exhe公司-qτ+b{τ+b<T-∧τ--a} i=W（q，λ）x（x+a）W（q，λ）b（b+a），（56），因此，Exhe-qτ+b{τ+b<T-}i=Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）。（57）我们还可以从[17]中提取以下有用的身份。引理21。对于a、b、p、q≥ 0，λ，r，z>0和-一≤ x个≤ b、 我们有-qT-可湿性粉剂XT公司-+ z{T-<τ+b∧τ--a} i=λp- （q+λ）W（q，λ）x（x+a）W（q，λ）b（b+a）W（q，p-q） b（b+z）- W（q，λ）b（b+z）-λp- （q+λ）W（q，p-q） x（x+z）- W（q，λ）x（x+z）. （58）参考文献[1]H.Albrecher和J.Ivanovs，关于Lévy过程欠连续和泊松观测的出口问题的惊人简单的恒等式，随机过程。应用程序。127（2017），第2643–656号。[2] H.Albrecher、J.Ivanovs和X.Zhou，《泊松到达时观察到的Lévy过程的出口恒等式》，伯努利22（2016），第3期，第1364-1382页。[3] E.J.Baurdoux、J.C.Pardo、J.L.Pérez和J.-F.Renaud，《巴黎破产风险过程的Gerber Shiu分布》，J.Appl。概率。(2016).[4] J.Bertoin，《莱维过程》，剑桥大学出版社，1996年。[5] M.Bladt、B.F.Nielsen和O.Peralta，《一类相依风险准备金过程的巴黎破产概率类型》，斯堪的纳维亚精算杂志2019（2019），第1期，32–61，可供查阅athttps://doi.org/10.1080/03461238.2018.1483420.[6] E.Frostig和A.Keren Pinhasik，《具有erlang延迟和较低破产壁垒的巴黎破产，应用概率的方法和计算》（2019年1月）。[7] H.Guérin和J.-F.Renaud，《光谱负Lévy过程及其占用时间的联合分布，考虑阶跃期权定价》，Adv.in Appl。概率。(2016).[8] ，关于累积巴黎破产的分布，保险数学。经济学。73 (2017), 116–123.[9] 库兹涅佐夫、基普里亚努和V。

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1, 135–149.滑铁卢大学统计与精算学系，滑铁卢，ON，N2L 3G1，CanadaE邮箱：mohamed。胺。lkabous@uwaterloo.ca