谱负Levy过程的泊松占据时间

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英文标题：
《Poissonian occupation times of spectrally negative L\\\'evy processes with
  applications》
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作者：
Mohamed Amine Lkabous
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper, we introduce the concept of \\emph{Poissonian occupation times} below level $0$ of spectrally negative L\\\'evy processes. In this case, occupation time is accumulated only when the process is observed to be negative at arrival epochs of an independent Poisson process. Our results extend some well known continuously observed quantities involving occupation times of spectrally negative L\\\'evy processes. As an application, we establish a link between Poissonian occupation times and insurance risk models with Parisian implementation delays.
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中文摘要：
在这篇文章中，我们引入了低于0$水平的谱负Levy过程的Poissonian占用时间的概念。在这种情况下，仅当在独立泊松过程的到达时间观察到过程为负时，才累积占用时间。我们的结果推广了一些众所周知的连续观测量，这些量涉及到光谱负L拞evy过程的占据时间。作为一个应用，我们建立了泊松占用时间和具有巴黎实施延迟的保险风险模型之间的联系。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Poissonian_occupation_times_of_spectrally_negative_Lévy_processes_with_applications.pdf (251.14 KB)

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关键词：Levy Applications Quantitative Differential Application

应用Mohamed AMINE Lkabosabstract的光谱负L'Evy过程的泊松占据时间。本文引入了谱负Lév y过程0级以下泊松占据时间的概念。在这种情况下，仅当在独立泊松过程的到达时间观察到过程为负时，才累积占用时间。我们的结果推广了一些已知的连续观测量，这些量涉及谱负Lévy过程的占据时间。作为一个应用，我们建立了泊松占用时间和具有巴黎实施延迟的保险风险模型之间的联系。1、IntroductionLet X=（Xt）t≥0是一个光谱负的Lévy过程。我们定义了b以上的第一次通过时间，τ+b=inf{t>0：Xt>b}，使用约定inf = ∞. 此外，假设强度λ>0且与X无关的独立泊松过程的到达时间为Tibe。在本文中，我们定义了有限时间范围内小于0的泊松占据时间，byOXt，λ=Xn∈N（τ+o θTn）1{XTn<0，Tn<t}，（1）其中θ是马尔可夫移位算子（Xso θt=Xs+t）。更准确地说，一旦观察到过程在泊松到达时间为负值，占用时间就会累积（见图1）。我们将首先研究τ+b，OXτ+b，λ因此，我们检查拉普拉斯变换以及有限时间范围内的泊松占领时间分布，即∞,λ=Xn∈N（τ+o θTn）1{XTn<0}。持续监测下涉及负盈余持续时间（也称为红色时间）的数量分析OXt=Rt(-∞,0）（Xs）ds在文献中得到了很好的研究。OX的拉普拉斯变换∞=R∞(-∞,0）（Xs）ds首先由Landriaultet al.【12】得出。Loeffen等人【20】推导了τ+b，OXτ+b, 推广[12]和[20]中的结果。

为了更一般的治疗，李和帕尔莫夫斯基研究了18次职业时间。最近，Landriault等人【11】获得了从0级以下到（独立）指数日期（2019年7月24日）的占领时间分布的分析表达式。关键词和短语。职业时间、巴黎破产、莱维保险风险过程、尺度函数。光谱负Lévy风险过程和折射光谱负Lévy风险过程的视界。在上述工作中，当剩余过程具有无界变化路径时，对涉及占用时间的连续观测恒等式的研究变得具有挑战性。在[12]中，采用-近似方法，该方法包括基础过程的样本路径的空间偏移，以避免过程的完整性活动所导致的问题，从而使经典条件作用继续存在。第二种方法包括引入一系列有界变差过程，（Xn）n≥1，当n趋于完整时，收敛到无界变化过程X（见Loeffen等人【20】、Guérin和Renaud【7】）。泊松观测方法的一个重要贡献是对具有有界或无界变化路径的过程的唯一证明，而这两种情况需要使用上述近似方法分别进行处理，并且当泊松观测率趋于一致时，我们在持续监测下恢复了占用时间的结果（参见Albrecher等人[2]和Li等人[16]）。1.1. 动机在精算数学中，职业时间自然可以用来衡量保险组合固有的风险。例如，低于偿付能力阈值所花费的时间有助于量化与保险urplus流程相关的风险。

对负盈余持续时间的分析也与巴黎破产模型有关，在该模型中，保险人被授予一段时间，在破产被视为发生之前重新出现在阈值水平之上（参见[18，19]）和（[12，13]）。有两种类型的巴黎破产与OXt密切相关：累积巴黎破产和指数延迟巴黎破产。在第一种情况下，当盈余过程累积低于临界水平的时间超过预定的时间段时，就会发生破产。盖林（Guérin）和雷诺（Renaud）[8]通过给出OXt分布的显式表示，研究了具有指数索赔的Cramér–Lundberg风险模型的累积巴黎破产概率。Landriault等人最近研究了莱维里斯克过程的一般处理方法。另一方面，在【12】中，通过占用时间OX之间的以下关系，首次研究了具有指数延迟的巴黎破产的可能性∞这种巴黎式的废墟∈ R、 Px（ρλ<∞) = 1.- Exhe公司-λOX∞i、 （2）其中ρλ=inft>0 | t- gt>egtλ, （3） 和gt=sup{0≤ s≤ t： Xs型≥ 0}，而egtλ是一个指数分布的随机变量，速率λ>0，与X无关（另见Baurdoux等人[3]）。更准确地说，为过程0级以下的每个偏移分配一个copyof eλ。此外，已知（3）中的Parisianruin时间对应于在Poissonarrival时间观察到X低于0时的第一个通过时间，即-= 最小{Ti:XTi<0，i∈ N} ，（4）式中，t是速率λ>0的独立泊松过程的到达时间。本文的部分动机是研究具有Erlang实现延迟的巴黎破产问题。莱维保险风险模型已经研究了这种类型的巴黎破产（参见Albrecher和Ivanovs【1】，Landriault等人。

[13] 弗罗斯蒂格和凯伦·平哈西克【6】）。然而，与（3）中的巴黎破产相比，当延迟遵循Erlang分布式实现延迟时，等式（2）中的关系不再成立。在本文中，我们建立了泊松占有时间和具有Erlang分布实施延迟的巴黎废墟之间的联系（见第4节）。首先，我们研究了由两个具有不同利率的独立指数随机变量之和给出的实现延迟的巴黎破产时间。因此，我们将研究扩展到具有Erlang（2，λ）实现延迟的巴黎破产。我们还将推导出几个膨胀恒等式以及Gerber-Shiu分布。对于更一般的情况，即具有Erlang（n，λ）实现延迟的巴黎破产，将使用第n个泊松占用时间导出递归表达式。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了关于光谱负Lévy过程和尺度函数的必要背景材料。第3节给出了主要结果和证明。第4节介绍了巴黎保险风险模型的应用。在附录中，介绍了一些众所周知的延迟故障识别。txxttttt图1。泊松占据时间低于0.2的说明。预备在本节中，我们将介绍有关光谱负Lévy过程的必要背景材料。2.1. 莱维保险风险流程。Levy保险风险过程X是一个具有静态和独立增量且无正跳的过程。为了避免琐事，我们排除了X具有单调路径的情况。

由于Lévy过程X没有正跳跃，它的拉普拉斯变换存在：对于所有λ，t≥ 0，EheλXti=etψ（λ），其中ψ（λ）=γλ+σλ+Z∞e-λz- 1+λz1（0,1）（z）π（dz），对于γ∈ R和σ≥ 0，其中∏是（0，∞) 称为x的Lévy度量∞(1 ∧ z） ∏（dz）<∞.我们将使用标准的马尔可夫表示法：从X=X开始的X定律由px表示，相应的期望由Ex表示。当X=0时，我们写P和E。我们回顾了b级以下标准首次通过时间的定义∈ R、 τ-b=inf{t>0：Xt<b}。与公约inf = ∞.2.2. 缩放功能。现在，我们给出了尺度函数wqa和Zqof X的定义。首先，回想一下，存在一个函数Φ：[0，∞) → [0, ∞) 定义为Φq=sup{λ≥ 0 |ψ（λ）=q}（ψ的右逆），使得ψ（Φq）=q，q≥ 现在，对于q≥ 0时，过程X的q标度函数定义为[0，∞) 带Laplace transformZ∞e-λyWq（y）dy=ψq（λ），对于λ>Φq，（5），其中ψq（λ）=ψ（λ）- q、 这个函数对于x是唯一的、正的且严格递增的≥ 0且对于q进一步连续≥ 我们通过设置Wq（x）=0（x<0），将wqt扩展到整个实数线。当q=0时，我们写W=ww。我们还通过Zq（x，θ）=eθx定义了另一个尺度函数Zq（x，θ）1.- ψq（θ）Zxe-θyWq（y）dy, x个≥ 0，（6）和Zq（x，θ）=eθxf或x<0。对于θ=0，我们得到Zq（x，0）=Zq（x）=1+qZxWq（y）dy，x∈ R、 （7）使用（5），我们还可以将标度函数Zq（x，θ）重写如下Zq（x，θ）=ψq（θ）Z∞e-θyWq（x+y）dy，x≥ 0, θ ≥ Φq.（8）已知肢体→∞Wq（x+b）Wq（b）=eΦqx。（9） 我们还回顾了第二代尺度函数，即p，p+q≥ 0和x∈ R、 wehaveW（p，q）a（x）=Wp（x）+qZxaWp+q（x- y） Wp（y）dy=Wp+q（x）- qZaWp+q（x- y） Wp（y）dy，（10），其中第二个方程式使用在[20]（s）中获得的下列等式- p） ZxWp（x- y） Ws（y）dy=Ws（x）- Wp（x）。

（11） 我们还有一个略为一般的例子，摘自【15】：对于s≥ 0，x>a，我们有- （p+q））ZxaWs（x- y） W（p，q）a（y）dy=W（p，s-p） a（x）- W（p，q）a（x）。（12） 为了以后使用，请注意，我们可以显示∞e-θzW（p，s）a（a+z）dz=Zp（a，θ）ψp+s（θ），θ>Φp+s。（13）为了结果的紧凑性，我们将使用[1]中定义的以下函数：∈ R和α、β≥ 0，我们有▄Zq（x，α，β）=ψq（α）Zq（x，β）- ψq（β）Zq（x，α）α- β、 （14）当α=β时，我们得到▄Zq（x，α，α）=ψ′q（α）Zq（x，α）- ψq（α）Z′q（x，α），（15），其中Z′qis是Zqtaken对第二个参数的导数。当q=0时，我们写▄Z=▄Z。最后，我们回顾了Kendall的身份，该身份提供了特定水平的第一次向上交叉分布（见[4，推论VII.3]）：在（0，∞) × (0, ∞), 我们有Rp（τ+z∈ dr）dz=zP（Xr∈ dz）d r.（16）我们请读者参考【10】，了解有关光谱负Lévy过程的更多详细信息。有关标度函数的更多示例和数值计算，请参见[9]和[21]。3、主要结果我们现在准备陈述我们的主要结果。首先，我们给出了τ+b，OXτ+b，λ.定理1。对于p，q≥ 0，λ>0和x≤ b、 Ex公司e-qτ+b-pOXτ+b，λ{τ+b<∞}=Zq（x，Φλ+q，Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）。（17） 证明。首先，我们设置g（x）=Exe-qτ+b-pOXτ+b，λ{τ+b<∞}.对于x<0，根据强马尔可夫性和x的谱负性，g（x）=Exhe-（p+q）τ+ig（0）。（18） 对于0≤ x个≤ b、 再次利用强马尔可夫性质，g（x）=Exhe-qτ+b{τ+b<T-}i+Exhe-qT-g级XT公司-{T-<τ+b}i。

（19） 因此，在（19）中插入（18）并使用（57），我们推导出g（x）=Zq（x，Φp+q）Zq（b，Φp+q）+Exe-qT-+Φp+qXT-{T-<τ+b}g（0）（20）对于x=0，我们有g（0）=Ehe-qτ+b{τ+b<T-}i1- Ee-qT-+Φp+qXT-{T-<τ+b}=Zq（b，Φλ+q）1-λλ - p1.-Zq（b，Φp+q）Zq（b，Φλ+q）=λ - p（λZq（b，Φp+q）- pZq（b，Φλ+q））=λ- p（λ+q）- Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）因此，取代（20）中g（0）的压力，我们最终得到g（x）=Zq（x，Φp+q）Zq（b，Φp+q）+λ- p（λ+q）- Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）！×λλ - pZq（x，Φp+q）Zq（b，Φλ+q）- Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φp+q）Zq（b，Φλ+q）=Zq（x，Φλ+q，Φp+q）~Zq（b，Φλ+q，Φp+q）。作为定理（1）的直接结果，我们得到了OX的拉普拉斯变换∞,λ.推论2。对于λ，p>0，E[X]>0和X∈ R、 Exhe公司-痘∞,λi=E[X]Φp|||||||||||||||||¤λ，Φp）。（21）证明。利用limb→∞Z（b，θ）W（b）=ψ（θ）θ，θ>0，我们有肢体→∞~Z（b，Φλ，Φp）W（b）=λp（Φλ- Φp）ΦλΦp和thuslimb→∞~Z（x，Φλ，Φp）/W（b）~Z（b，Φλ，Φp）/W（b）=E[x]ΦpΦλλpZ（x，Φλ，Φp）。在下一个定理中，我们给出了OX分布的显式表达式∞,λ.定理3。对于λ>0，r≥ 0和x∈ R、 我们有PX公牛∞,λ∈ 博士= E[X]ΦλλZ（X，Φλ）δ（dr）+E[X]ΦλλΓλ（r）Z（X，Φλ）dr-E[X]Φλλ（r）W（x）+Zrλ（r- s） ∧′（x，s）dsdr，（22），其中Γλ（r）=Z∞eΦλzzrP（Xr∈ dz），且∧′（x，r）=Z∞W′（x+z）zrP（Xr∈ dz）。证据从（21）开始，我们有-痘∞,λi=E[X]ΦpΦλλppZ（x，Φλ）- λZ（x，Φp）Φp- Φλ= E[X]Z（X，Φλ）Φλ1+λΦp- Φλ- E[X]ΦλΦpZ（X，Φp）p（Φp- Φλ).利用Kendall恒等式和Tonelli定理，我们得到∞e-prΓλ（r）dr=Φp- Φλ，p>λ。（23）Landriault等人[11]也给出了以下等式，ΦpZ（x，Φp）p=Z∞e-py公司∧′（x，y）+W（x）δ（dy）dy，（24）通过拉普拉斯反演，我们推导出px公牛∞,λ∈ 博士= E[X]Z（X，Φλ）Φλδ（dr）+E[X]Z（X，Φλ）ΦλλΓλ（r）dr-E[X]Φλλ（r）W（x）+Zrλ（r- s） ∧′（x，s）ds博士备注4。

我们可以重写公式（25）asPx公牛∞,λ∈ 博士= 二甲苯T-= ∞δ（dr）+Px公牛∞,λ∈ dr，T-< ∞,其中pxT-= ∞= E[X]ΦλλZ（X，Φλ），和px公牛∞,λ∈ dr，T-< ∞= E[X]ΦλΓλ（r）λ（ΦλZ（X，Φλ）- λW（x））dr-E[X]ΦλZrΓλ（r- s） ∧′（x，s）dsdr.在持续监测下，我们对OX的分布有以下表达式∞二甲苯公牛∞∈ 博士= E[X]W（x）δ（dr）+∧′（x，r）dr.（关于职业时间分布的更多结果，见Landriault等人【11】。3.1. 讨论结果。我们的波动恒等式可以说是紧凑的，并且具有与经典波动恒等式相似的结构（连续监测）。事实上，从定理（1）我们恢复了[20，推论2.（ii）]中的恒等式，即τ+b，OXτ+b交给byExe-qτ+b-pOXτ+b{τ+b<∞}=Zq（x，Φp+q）Zq（b，Φp+q），由limλ→∞Zq（b，Φλ+q）/λ=0。我们还恢复了OX的空间变换∞通过让λ→ ∞ 在方程式（21）中。的确，我们有-痘∞i=limλ→∞Exhe公司-痘∞,λi=limλ→∞E[X]ΦpΦλλpZ（X，Φλ，Φp）=limλ→∞E[X]Z（X，Φλ）ΦλΦpΦp- Φλ- limλ→∞E[X]ΦλΦpZ（X，Φp）p（Φp- Φλ）=E[X]ΦppZ（X，Φp），（25），其中最后一个等式源自以下事实→ ∞ 当λ→ ∞ andlimλ→∞Z（x，Φλ）λΦλ=limλ→∞ΦλZ∞e-ΦλyW（x+y）dy=石灰→0W（x+y）=W（x）。然后使用拉普拉斯变换的初值定理。此外，假设Z（x，Φλ，Φp）=Z（x，Φp，Φλ），我们得到了limp→∞E[X]ΦpΦλλpZ（X，Φλ，Φp）=E[X]ΦλλZ（X，Φλ）。（26）备注5。可以将我们的结果推广到任意区间（a，b）的泊松占领时间。实际上，设τa，b=τ+b∧ τ-a、 we定义下一步，λ（a，b）=Xn∈N（τa，bo θTn）1{a<XTn<b，Tn<t}。（27）这是留给未来研究的。4、应用：Parisian ruin在本节中，我们希望提供泊松占用时间和具有Erlang分布式实现延迟的Parisianruin模型之间的联系。4.1.

具有由两个独立指数随机变量之和给出的实现延迟的巴黎破产。在泊松占位时间下，一旦在泊松到达时间观察到过程为负，则累积o占位时间。换言之，当过程在一段时间内保持在0以下，相当于速率λ>0的指数分布r.v.eλ的副本时，占用时间是累积的。现在，如果我们考虑由速率p>0（与X和eλ无关）的指数分布r.v.Ep给出的实现时钟，那么Px公牛∞,λ> ep公司对应于巴黎破产概率，实施延迟建模为epand eλ之和。因此，我们建立了以下连接pxρ（p，λ）<∞= 二甲苯公牛∞,λ> ep公司= 1.- Exhe公司-痘∞λi，（28），其中ρ（p，λ）是由ρ（p，λ）=inf给出的巴黎破产时间t>0 | t- gt>egtp+egtλ, （29）对于有限时间的情况，Pxρ（p，λ）≤ t型= 1.- Exhe公司-pOXt，λi。因此，利用方程（28）中的关系和推论（2），我们得到Px的以下表达式ρ（p，λ）<∞.推论6。对于p，λ>0，x∈ R和E[X]>0，Pxρ（p，λ）<∞= 1.- E[X]ΦλΦpλpZ（X，Φλ，Φp）。（30）备注7。使用第（3.1）小节中的讨论，可以立即恢复具有指数分布实施延迟的巴黎破产概率的表达式，即limp→∞二甲苯ρ（p，λ）=∞= E[X]ΦλλZ（X，Φλ）=Px（ρλ=∞) ,limλ→∞二甲苯ρ（p，λ）=∞= E[X]ΦppZ（X，Φp）=Px（ρp=∞) ,最后，（30）减少到Pτ-< ∞考虑到那跛脚→∞limλ→∞E[X]ΦpΦλλpZ（X，Φλ，Φp）=limλ→∞无力的→∞E[X]ΦpΦλλpZ（X，Φλ，Φp）=E[X]W（X）=Pxτ-< ∞.备注8。如果我们颠倒epand eλ的作用，即假设速率p>0的独立泊松过程的到达时间和eλ作为实现时钟，我们也有pxρ（p，λ）<∞= 1.- Exhe公司-λOX∞,圆周率。在下一个定理中，我们给出了涉及巴黎破产时间ρ（p，λ）的进一步方程恒等式。定理9。