关于混合观测方案下巴黎破产的一个注记

定理3的证明。定理3的证明步骤基于新引理8和标准概率分解。对于x<0，从强Markovproperty和x向上无跳跃的事实来看，我们得到了-q▄κλr{▄κλr<τ+b}i=e-qrPxτ+>r+ Ehe公司-q▄κλr{▄κλr<τ+b}iExhe-qτ+{τ+<r}i.（38）因此，对于0≤ x个≤ b、 我们得到了-q▄κλr{▄κλr<τ+b}i=Exe-qT-额外的-他-q▄κλr{▄κλr<τ+b}i{T-<τ+b}.注入（38）在最后一个期望中，我们有，f或所有x∈ 雷克斯-q▄κλr{▄κλr<τ+b}i=e-qrExe-qT-PXT公司-τ+>r{T-<τ+b}+Ehe公司-q▄κλr{▄κλr<τ+b}iExe-qT-额外的-他-qτ+{τ+<r}i{T-<τ+b}= e-qrExhe公司-qT-{T-<τ+b}i-e-qrExhe公司-qT-∧（XT-, r） 1{T-<τ+b}i+e-克里赫-q▄κλr{▄κλr<τ+b}iExhe-qT-∧（q）（XT）-, r） 1{T-<τ+b}i，（39），其中在上一个等式中，我们使用恒等式（34）。对于x=0，使用最后一个等式E-q▄κλr{▄κλr<τ+b}i=e-克里赫-qT-{T-<τ+b}i-e-克里赫-qT-∧（XT-, r） 1{T-<τ+b}i1- e-克里赫-qT-∧（q）（XT）-, r） 1{T-<τ+b}i.（40）从（35）、（36）和（37）中，我们得到了-qT-∧（XT-, r） 1{T-<τ+b}i=λ+q1- e（λ+q）r-∧（q）（b；r，-q）- ∧（q）（b；r，λ）Zq（b，Φλ+q）！，（41）安第厄-qT-∧（q）（XT）-, r） 1{T-<τ+b}i=eqr-e（λ+q）r-∧（q）（b；r）- ∧（q）（b；r，λ）Zq（b，Φλ+q）。（42）在（40）中插入（41）和（42），我们得到-q▄κλr{▄κλr<τ+b}i=λ+q1-Zq（b）+∧（q）（b；r）- ∧（q）（b；r，-q） Zq（b，Φλ+q）e（λ+q）r+∧（q）（b；r）- ∧（q）（b；r，λ）=λλ+q1-S（q，λ）（b，r）Θ（q）（b；r，λ）！。（43）我们最终通过将（39）中的最后一个期望值与（36）和（37）一起插入来获得结果。为了证明（25），我们再次使用了X的强马尔可夫性和谱负性，对于X<0Exhe-qτ+b{τ+b<κλr}i=Ehe-qτ+b{τ+b<κλr}iExhe-qτ+{τ+<r}i。

（44）对于0≤ x个≤ 使用（23）和（44），我们得到-qτ+b{τ+b<κλr}i=Exhe-qτ+b{τ+b<T-}i+Exe-qT-额外的-他-qτ+b{τ+b<κλr}i{T-<τ+b}= Exhe公司-qτ+b{τ+b<T-}i+Ehe-qτ+b{τ+b<κλr}iExe-qT-额外的-他-qτ+{τ+<r}i{T-<τ+b}=Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）+e-克里赫-qτ+b{τ+b<κλr}iExhe-qT-∧（q）（XT）-, r） 1{T-<τ+b}i.设定x=0，产量-qτ+b{τ+b<κλr}i=Zq（b，Φλ+q）eλr+e-qr∧（q）（b；r）-∧（q）（b；r，λ）Zq（b，Φλ+q）=eqrΘ（q）（b；r，λ）。然后，把所有的部分放在一起，我们有-qτ+b{τ+b<κλr}i=Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）+Exhe-qT-∧（q）（XT）-, r） 1{T-<τ+b}iΘ（q）（b；r，λ）=Θ（q）（x；r，λ）Θ（q）（b；r，λ）。将限制处理为b→ ∞ , 我们使用identity（31）应用相同的机制。我们也可以直接使用（10）和（11）以及肢体→∞W（q，λ）z（b+z）Wq（b）=eΦqz+λ肢→∞ZzWq（b+z- y） Wq（b）Wq+λ（y）dy=eΦqz1+λZze-ΦqyWq+λ（y）dy= Zq+λ（z，Φq）。然后，四肢→∞S（q）（b，r）Θ（q）（b；r，λ）=肢体→∞S（q）（b，r）/Wq（b）Θ（q）（b；r，λ）/Wq（b）=q/Φq-R∞Z（Z，Φq）- eΦqzzrP（Xr∈ dz）e（λ+q）rλ/（Φλ+q）- Φq）-R∞（Zq+λ（z，Φq）- eΦqz）zrP（Xr∈ dz）。我们现在给出一个例子，我们可以很容易地计算出Parisianruin的概率，如等式（28）所示。请注意，要使用（28）中的公式，需要对标度函数和潜在Lévy风险过程的分布进行表达式X.5.1。布朗风险过程。

设X为布朗风险过程，即Xt- X=ct+Bt，其中B={Bt，t≥ 0}是标准布朗运动。在这种情况下，对于x≥ 0和q>0时，标度函数由Φλ=pc+2λ给出- c、 W（x）=c1.- e-2立方厘米, Wλ（x）=Φλ+ce？λx-e-x（Φλ+2c）,Zλ（x）=λΦλ+ceΦλxΦλ+e-（λ+2c）xλ+2c！，Z（x，Φλ）=λcΦλ-e-2cxλ+2c,利用（12），我们得到了（λ，-λ） z（x+z）=W（x+z）+λZzW（x+z- y） Wλ（y）dy=eΦλzλcΦλ（Φλ+c）-λe-2cxc（Φλ+2c）（Φλ+c）+e-（λ+2c）zλc（Φλ+c）（Φλ+2c）-λe-2cxcΦλ（Φλ+c）= eΦλzA（x）+e-（λ+2c）zA（x），式中（x）=λcΦλ（λ+c）-λe-2cxc（Φλ+2c）（Φλ+c），A（x）=λc（Φλ+c）（Φλ+2c）-λe-2cxcΦλ（Φλ+c）。更改变量y=z- r√c+2λ/√r、 我们有√2πrZ∞eΦλzzre-（z）-cr）/（2r）dz=√2rπe-rc/2+erλ（Φλ+c）N√r（Φλ+c）= ψ（c，r，λ），（45）和，设置y=-z+r√c+2λ/√r、 我们得到√2πrZ∞e-（λ+2c）zzre-（z）-cr）/（2r）dz=√2rπe-钢筋混凝土/2- erλ（Φλ-c） N个-√r（λΦ- c）= ψ（c，r，λ），（46），其中N是标准正态分布的累积分布。利用（45）和（46），我们得到了[X]Z∞W（λ，-λ） z（x+z）zrP（Xr∈ dz）=A（x）ψ（c，r，λ）+A（x）ψ（c，r，λ）。还有e[X]∧（X，r）=1.- e-2xce-cr/2√2rπ+cN√钢筋混凝土1+e-2xc,（27）的分母由z给出∞（Zq（z）- 1） zrP（Xr∈ dz）=λΦλ（Φλ+c）ψ（c，r，λ）+λ（Φλ+c）（Φλ+2c）ψ（c，r，λ）-√2rπe-cr/2+cNc√r.把所有的部分放在一起，我们得到了（27）中巴黎破产概率的表达式。感谢支持这项工作的资金由科学数学研究所（ISM）和UQAM科学学院（博士奖学金）提供。作者感谢两位匿名推荐人的宝贵意见和建议。参考文献[1]H.Albrecher、J.Ivanovs和X.Zhou，《在泊松到达时间观察到的Lévy过程的出口恒等式》，Bernoulli 22（2016），第3期，1364–1382。MR3474819【2】E.J.Baurdoux、J.C.Pardo、J.L.Pérez和J.-F。

Renaud，Gerber Shiu distribution at Parisian Rust For Lévy insurance risk processes，J.Appl。概率。(2016).[3] J.Bertoin，《莱维过程》，剑桥大学出版社，1996年。[4] I.Czarna和J.-F.Renaud，《关于巴黎破产的一个注》，关于Levy insurancerisk过程的最终破产水平，统计学家。概率。利特。(2016).[5] 盖林（H.Guérin）和雷诺（J.-F.Renaud），《巴黎累积废墟的分布》，arXiv:1509.06857【数学公共关系】。[6] D.Landriault，B.Li，J.T.Y.Wong和D.Xu，《利维风险模型的泊松势测度》，《保险：数学与经济学》82（2018），152-166。[7] D.Landriault，J.-F.Renaud和X.Zhou，《带应用的谱负Lévy过程的占据时间》，随机过程。应用程序。121（2011），第11号，2629–2641。[8] ，一个具有巴黎实施延迟的保险风险模型，Methodol。计算机。应用程序。概率。16（2014），第3583–607号。[9] B.Li、G.E.Willmot和J.T.Y。Wong，《巴黎风险模型的时间方法》，J.Appl。概率。55（2018），第1302-317号。[10] Y.Li和X.Zhou，关于频谱负Lévy过程的退出前联合占领时间，统计学家。概率。利特。94 (2014), 48–55. MR3257360【11】M.A.Lkabous、I.Czarna和J.-F.R enaud，《折射莱维过程的巴黎废墟》，保险数学。经济学。74 (2017), 153–163. MR3648884【12】M.A.Lkabous和J.-F.Renaud，《经典风险模型的累积巴黎破产衍生的VaR型风险度量》，风险6（2018），第3期。[13] ，一种研究谱负Lévy过程具有时滞的破产概率的统一方法（已提交）。[14] R.L.Loeffen、I.Czarna和Z.Palmowski，《谱负Lévy过程的巴黎破产概率》，Bernoulli 19（2013），第2期，599–609。[15] R.L.Loeffen、Z.Palmowski和B.A.Surya，《巴黎破产对列维保险风险过程的贴现惩罚函数》，保险数学。经济学。(2017).[16] R。

五十、 Lo e offen，J.-F.Renaud和X.Zhou，谱负Lévy过程，随机过程直到第一次通过时间的间隔占用时间。应用程序。124（2014），第31408–1435号。魁北克大学数学系（UQAM），201 av。PrésidentKennedy，Montréal（魁北克省）H2X 3Y7，CanadaE邮箱：lkabous。穆罕默德_amine@courrier.uqam.ca