关于混合观测方案下巴黎破产的一个注记

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英文标题：
《A note on Parisian ruin under a hybrid observation scheme》
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作者：
Mohamed Amine Lkabous
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper, we study the concept of Parisian ruin under the hybrid observation scheme model introduced by Li et al. \\cite{binetal2016}. Under this model, the process is observed at Poisson arrival times whenever the business is financially healthy and it is continuously observed when it goes below $0$. The Parisian ruin is then declared when the process stays below zero for a consecutive period of time greater than a fixed delay. We improve the result originally obtained in \\cite{binetal2016} and we compute other fluctuation identities. All identities are given in terms of second-generation scale functions.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了Li等人引入的混合观测方案模型下巴黎破产的概念。在这个模型下，只要企业财务状况良好，就可以在泊松到达时间观察到这个过程，当它低于0美元时，就可以持续观察到这个过程。然后，当过程在大于固定延迟的连续时间段内保持在零以下时，宣布巴黎破产。我们改进了最初在{binetal2016}中获得的结果，并计算了其他波动恒等式。所有恒等式都是根据第二代尺度函数给出的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> A_note_on_Parisian_ruin_under_a_hybrid_observation_scheme.pdf (199.99 KB)

2022-6-24 10:58:05 上传

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关键词：Applications Quantitative Differential observation Application

混合观测模式下巴黎废墟的一个注记。在本文中，我们研究了Li等人提出的混合观测模式模型下巴黎破产的概念。在该模型下，当业务处于财务健康状态时，会在竞争时间观察该过程，当其低于0时，会持续观察该过程。当过程在大于固定延迟的连续时间段内保持在零以下时，则宣布巴黎破产。我们改进了文献[9]中最初得到的结果，并计算了其他函数恒等式。所有恒等式均以第二代尺度函数的形式给出。巴黎破产是对经典破产的放松，因为在破产发生之前允许有延迟。更准确地说，如果连续一段时间低于预先确定的临界水平的时间大于预先规定的延迟，巴黎就会发生破产。考虑了两种类型的巴黎废墟，一种具有固定延迟，另一种具有随机延迟。LkabousandRenaud【13】将这两种类型的巴黎废墟统一为一种称为混合巴黎废墟的废墟。在这种情况下，首次宣布破产时，进入红色区域的偏移持续时间超过了具有确定性和随机成分的实施延迟。最近，有人提出了巴黎废墟的更多定义。巴黎的累计破产已在[5]和[12]中提出，；在这种情况下，竞争是在单个确定性时钟和低于临界水平的激发总和之间进行的。此外，在[4]中，考虑了Lévy保险风险过程的最终破产水平的巴黎破产。如果过程低于预定的负水平，或者具有确定性延迟的巴黎破产，就会发生这种类型的破产。近年来，泊松观测问题引起了人们的广泛关注。

在这种情况下，在独立泊松过程的ep OCH到达时对风险过程进行离散监控，这可以解释为监管机构的观察时间，参见Albrecher等人【1】和Li等人【9】。Li等人在一个典型的负向Lévy模型中研究了破产的新定义。他们在混合观测方案下引入了巴黎废墟的概念。更具体地说，当风险过程大于0时，将在泊松到达时间对其进行额外监控，直到观察到负盈余。然后，将持续观察该过程，并给予保险公司一段宽限期，使其恢复到可解决的a级水平≥ 否则，巴黎就会破产。在本文中，我们研究了[9]中定义的一般保险风险模型的混合观测方案下的巴黎破产。我们对双边退出问题、拉普拉斯变换和概率日期：2019年7月24日提出了概率分析和简化结果表达式。关键词和短语。巴黎破产，混合观测方案，Lévy保险风险过程，第二代尺度函数。根据Lkabous和Renaud[13]提出的延迟尺度函数，在混合观测方案下的巴黎废墟。我们的方法是基于[2]中得到的具有指数执行延迟的巴黎破产的Gerber–Shiu分布表达式，并结合[11]中的一些结果。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了有关谱负Lévy过程和经典尺度函数的必要背景材料，包括延迟尺度函数和一些文献中已有的具有延迟的函数恒等式。第3节介绍了主要结果，然后讨论了这些结果。

在第4节中，我们推导出新的技术恒等式，然后为主要结果提供证明。在最后一节中，我们提供了在混合观测方案f或布朗风险模型下Parisianruin概率的显式计算。1.1. 混合观测方案下的巴黎废墟。首先，我们表示bτ+b=inf{t以上X的第一个传递时间≥ 0:Xt≥ b} 。对于标准Lévy保险风险过程X，在[14]中研究了延迟r>0的巴黎破产时间：定义为κr=inf{t>0:t- gt>r}，（1）其中gt=sup{0≤ s≤ t： Xs型≥ 0}. 然后，巴黎破产第一次发生时，低于零的偏移持续时间超过固定的实施延迟。Loeffen等人【14】获得了巴黎破产概率的非常好且紧凑的表达式：对于r>0和x∈ R、 我们有px（κR<∞) = 1.- （E[X]）+R∞W（x+z）zP（Xr∈ dz）R∞zP（Xr∈ dz），（2），其中（x）+=最大值（x，0），W是x的所谓比例函数（见下一节的定义）。[2，7，8]中也考虑了具有随机时滞的巴黎破产。在这种情况下，固定延迟r被一个独立的指数随机数代替，当漂移长度小于0时，它会第一次出现，超过指数时钟。当泊松到达时间低于0时观察到X时，它也对应于第一次通过时间，即-= 最小值{Ti>0:XTi<0，i∈ N} ，（3）式中，t是速率λ>0的独立泊松过程的到达时间。我们将使用符号T-而不是κλ。在[9]中，具有恢复barriera的混合观测方案下的巴黎破产时间≥ 0，固定延迟r>0定义为￠κλa，r=inft型∈Tn，τ+ao θTn: XTn<0和t- 田纳西州≥ r、 n个∈ N,其中θ是马尔可夫移位算子（Xsoθt=Xs+t）。换句话说，当风险流程高于a级时≥ 0时，在泊松到达时间对其进行离散监控，直到观察到负urplus。

然后，将连续观察该过程，并授予保险公司一个固定延迟r，以恢复到可解水平a。Li等人[9]使用标准概率分解，并使用拉普拉斯变换技术，获得了混合观测方案下巴黎破产概率的以下表达式。定理1。对于r，λ>0，a≥ 0和x∈ R、 我们有PXκλa，r<∞= 1.- ψ′（0+）ΦλλZ（x，Φλ）- ψ′（0+）ΦλλZ（a，Φλ）λRreλ（r-s） gx，a，λ（s）ds1- λRreλ（r-s） ga，a，λ（s）ds，其中gx，a，λ（s）=Z∞一ΦλλZ（x，Φλ）- W（x+z- （a）zrP（Xr∈ dz）。我们希望通过使用概率方法使其更接近方程式（2），从而改进此结果。在不丧失一般性的情况下，我们假设a=0，我们将写出￠κλ0，r=￠κλr.2。Levy保险风险流程我们说X={Xt，t≥ 如果0}是滤波概率空间上的谱负过程（SNLP），则它是一个Lévy保险风险过程(Ohm, F、 {Ft，t≥ 0}，P），这是一个具有固定和独立增量且没有位置跳跃的过程。为了避免琐事，我们排除了X具有单调路径的情况。由于Lévy过程X没有正跳跃，它的拉普拉斯变换存在：对于所有λ，t≥ 0，EheλXti=etψ（λ），其中ψ（λ）=γλ+σλ+Z∞e-λz- 1+λz1（0,1）（z）π（dz），对于γ∈ R和σ≥ 0，其中∏是（0，∞) 称为x的Lévy度量∞(1 ∧ z） ∏（dz）<∞.最后，注意E[X]=ψ′（0+）。我们将使用标准的马尔可夫表示法：从X=X开始时的X定律用px表示，相应的期望值用Ex表示。当X=0时，我们写P和E。我们回忆起Kendall的身份（见[3，推论VII.3]）：在（0，∞) × (0, ∞), 我们有Rp（τ+z∈ dr）dz=zP（Xr∈ dz）dr.（4）最后，我们得到了著名的bExhe上方第一次通过时间的拉普拉斯变换表达式-qτ+b{τ+b<∞}i=eΦq（x-b） 。(5)2.1. 缩放功能。

我们现在给出s标度函数wqa和Zqof X的定义。首先，回想一下，存在一个函数Φ：[0，∞) → [0, ∞) 定义为Φq=sup{λ≥ 0 |ψ（λ）=q}（ψ的右逆）s uchψ（Φq）=q，q≥ 现在，对于q≥ 0时，过程X的q标度函数定义为[0，∞) 带Laplace transformZ∞e-λyWq（y）dy=ψq（λ），对于λ>Φq，（6），其中ψq（λ）=ψ（λ）- q、 这个函数对于x是唯一的、正的且严格递增的≥ 0且对于q进一步连续≥ 我们通过设置Wq（x）=0（x<0），将wqt扩展到整个实数线。当q=0时，我们写W=ww。我们还通过Zq（x，θ）=eθx定义了另一个尺度函数Zq（x，θ）1.- ψq（θ）Zxe-θyWq（y）dy, x个≥ 0，（7）和Zq（x，θ）=eθxf或x<0。对于θ=0，我们得到Zq（x，0）=Zq（x）=1+qZxWq（y）dy，x∈ R、 （8）使用（6），我们还可以将标度函数Zq（x，θ）重写如下Zq（x，θ）=ψq（θ）Z∞e-θyWq（x+y）dy，x≥ 0, θ ≥ Φq.（9）已知，对于任何x∈ R、 林茨→∞Wq（x+z）Wq（z）=eΦqx，（10），对于θ>Φq，limx→∞Zq（x，θ）Wq（x）=ψq（θ）θ- Φq.（11）为了结果的紧凑性，我们将使用以下函数。对于p，p+q≥ 0和x∈ R、 我们设定w（p，q）a（x）=Wp（x）+qZxaWp+q（x- y） Wp（y）dy=Wp+q（x）- qZaWp+q（x-y） Wp（y）dy，（12），其中第二个方程使用在[16]（s）中获得的下列恒等式- p） ZxWp（x- y） Ws（y）dy=Ws（x）- Wp（x）。为了以后使用，请注意，我们可以显示∞e-θzW（p，s）a（a+z）dz=Zp（a，θ）ψp+s（θ），θ>Φp+s。（13）最后，我们从[1]和[10]中得到了以下有用的恒等式：对于θ，p，q≥ 0（p- q） ZaWp（a- x） Zq（x，θ）dx=Zp（a，θ）- Zq（a，θ），（14）和s≥ 0，x>a（s- （p+q））ZxaWs（x- y） W（p，q）a（y）dy=W（p，s-p） a（x）- W（p，q）a（x）。(15)2.2. 延迟缩放功能。

由Lkabous和Renaud【13】介绍，我们使用∧（p）（X；r，s）=Z定义的X的（r，s）延迟p标度函数∞W（p+s，-s） z（x+z）zrP（Xr∈ dz），（16）并使用（12），我们可以将∧（p）（x；r，s）重写为∧（p）（x；r，s）=Z的形式∞W（p，s）x（x+z）zrP（Xr∈ dz）。（17） 当s=0时，我们恢复了最初在【15】中定义的函数∧（p）。更精确地说，当ns=0时，我们有∧（p）（x；r，0）=∧（p）（x，r），其中∧（p）（x，r）=Z∞Wp（x+z）zrP（Xr∈ dz），（18），当q=0时，我们写∧=∧（0）。时滞尺度函数（16）出现在文献[13]中，作为混合时滞巴黎破产的双边退出问题的解：f或p≥ 0、b、r、λ>0和x≤ 贝克斯河-pτ+b{τ+b<κλr}i=∧（p）（x；r，λ）∧（p）（b；r，λ），（19），其中κλr定义为κλr=T-∧ κr.（20）在主要结果中，函数S（q）和Θ（q）由S（q）（x，r）=Zq（x）+∧（q）（x，r）给出- ∧（q）（x；r，-q） ，Θ（q）（x；r，λ）=e（λ+q）rZq（x，Φλ+q）+∧（q）（x；r）- ∧（q）（x；r，λ），当q=0时，我们注意到Θ（0）=Θ。备注2。有趣的是，函数Θ（q）（x；r，λ）分别用与巴黎遗址（20）、（1）和（3）相关的标度函数∧（q）（x；r，λ）、∧（q）（x；r）和Zq（x，λ+q）表示。它可以称为混合尺度函数。2.3. 巴黎破产退出问题。这里是一组已知的负谱Lévy过程的函数恒等式，它们的尺度函数。从[2]中，我们得到了巴黎废墟上的Gerber–Shiu分布的以下表达式，具有指数执行延迟-qT-, XT公司-∈ dy，T-< τ+ai=λZq（x，Φλ+q）Zq（a，Φλ+q）W（q，λ）a（a- y）- W（q，λ）x（x- y）dy，（21）其中y≤ 0和x≤ a、 当→ ∞, 我们得到了-qT-, XT公司-∈ dy，T-< ∞我=（λΦ+q- Φq）Zq（x，Φλ+q）Zλ+q(-y、 Φq）-λW（q，λ）x（x）- y）dy.（22）来自Landriault等人【8】，我们有x≤ a、 Exhe公司-qτ+a，τ+a<T-i=Zq（x，Φλ+q）Zq（a，Φλ+q）。(23)3. 主要结果我们现在介绍我们的主要结果。

首先，我们推导了在定理1的基础上增加aParisian延迟时的双边退出问题。我们给出了混合观测方案下双边退出问题、拉普拉斯变换和巴黎破产概率的概率分析和简单的结果表达式。定理3。对于q≥ 0、b、r、λ>0和x≤ b、 我们有-q（￠κλr-r） {κλr<τ+b}i=λ+qS（q）（x，r）-Θ（q）（x；r，λ）Θ（q）（b；r，λ）S（q）（b，r）！，（24）Exhe-qτ+b{τ+b<κλr}i=Θ（q）（x；r，λ）Θ（q）（b；r，λ），（25）和xhe-q（￠κλr-r） {κλr<∞}i=λ+qS（q）（x，r）- Θ（q）（x；r，λ）×S（q，λ）（r）, （26）式中▄S（q，λ）（r）=q/Φq-R∞Z（Z，Φq）- eΦqzzrP（Xr∈ dz）e（λ+q）rλ/（Φλ+q）- Φq）-R∞（Zq+λ（z，Φq）- eΦqz）zrP（Xr∈ dz）。在（26）中设置q=0，我们得到以下巴黎人单位概率的新表达式。推论4。对于x∈ R和λ，R>0，我们有pxκλr<∞= 1.- Θ（x，r；λ）×S（0，λ）（r）。（27）备注5。当ψ′（0+）>0时，我们有▄S（0，λ）（r）=E[X]Eλrλ/Φλ-R∞（Zλ（Z）- 1） zrP（Xr∈ dz）。然后，Pxκλr<∞= 1.- E[X]Θ（X；r，λ）Eλrλ/Φλ-R∞（Zλ（Z）- 1） zrP（Xr∈ dz）。（28）我们的巴黎破产概率表达式具有与方程（2）相似的结构，并且与定理1中的表达式不同，这是因为在[9]中的证明中，他们使用了不同的方法。3.1. 讨论结果。定理3中的函数恒等式与巴黎函数恒等式具有类似的结构。在方程式（24）中，函数S（q）（·，r）和Θ（q）（·；r，λ）的作用与比例函数Zq（·）和Zq（·，Φλ+q）在下列巴黎函数恒等式中的作用相似：对于x≤ b、 我们有-qT-{T-<τ+b}i=λ+qZq（x）-Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）Zq（b）. （29）首先，我们将证明函数S（q）（·，r）收敛，如r→ 0，至缩放功能ZQ（·）。

利用r中的拉普拉斯变换，结合肯德尔恒等式、托内利定理，（5）和（13），我们得到了∞e-θre-qr∧（q）（x；r）dr=Z∞e-Φθ+qzWq（x+z）d z=Zq（x，Φθ+q）θ，andZ∞e-θre-qr∧（q）（x；r，-q）dr=Zq（x，Φθ+q）θ+q。然后，利用初值定理，我们得到了limr→0e-qr码∧（q）（x；r）- ∧（q）（x；r，-q）= limθ→∞θZ∞e-（θ+q）r∧（q）（x；r）- ∧（q）（x；r，-q）dr=limθ→∞qθ+qZq（x，Φθ+q）=0。其中最后一个等式是limθ→∞qθ+qZq（x，Φθ+q）=limθ→∞qθ（θ+q）Φθ+qΦθ+qθZq（x，Φθ+q）,andlimθ→∞Φθ+qθZq（x，Φθ+q）=limθ→∞Φθ+qZ∞e-Φθ+qyWq（x+y）dy=Wq（x），其中最后一个等式来自初值定理。那么，limr→0e-qrS（q，λ）（x，r）=Zq（x）。通过相同的步骤，我们还可以显示LIMR→0Θ（q）（x；r，λ）=Zq（x，Φλ+q）。因此，limr→0排气-q▄κλr{▄κλr<τ+b}i=Exhe-qT-{T-<τ+b}i.4。证明我们主要结果的证明基于技术性但重要的引理，以及更标准的概率分解。我们使用[2]中具有指数实现延迟的巴黎破产的Gerber–Shiu分布表达式和[11]中的一些结果来获得我们的关键引理（下面的引理6）。首先，我们的主要兴趣是推导以下标识的闭合公式-qT-可湿性粉剂XT公司-+ z{T-<τ+b}i，其中p，q≥ 0，x≤ b和wp是X引理6的标度函数。对于p、q、b≥ 0，λ，r，z>0和x≤ b、 我们有-qT-可湿性粉剂XT公司-+ z{T-<τ+b}i=λp- （q+λ）Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）W（q，p-q） b（b+z）- W（q，λ）b（b+z）-λp- （q+λ）W（q，p-q） x（x+z）- W（q，λ）x（x+z）, （30）安迪斯-qT-可湿性粉剂XT公司-+ z{T-<∞}i=（Φλ+q）- Φq）p- （q+λ）Zp（x，Φλ+p）（Zp（x+z，Φq）- Zλ+q（x+Z，Φq））-λp- （q+λ）W（q，p-q） x（x+z）- W（q，λ）x（x+z）. （31）证明。

使用（21），我们有-qT-可湿性粉剂XT公司-+ z{T-<τ+b}i=Z-∞Wp（y+z）排气-qT-, XT公司-∈ dy，T-< τ+bi=λZq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）Z-∞Wp（y+z）W（q，λ）b（b- y） dy公司- λZ-∞Wp（y+z）W（q，λ）x（x- y） dy=Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）λZzWp（z- y） W（q，λ）b（b+y）dy- λZzWp（z- y） W（q，λ）x（x+y）dy=λp- （q+λ）Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）W（q，p-q） b（b+z）- W（q，λ）b（b+z）-λp- （q+λ）W（q，p-q） x（x+z）- W（q，λ）x（x+z）, （32）在上一个等式中，我们使用了恒等式（15）。使用（22）和（14）后接第二个标识。备注7。最后一个引理推广了可在众多参考文献中找到的经典恒等式（有关λ→ ∞) , 参见例[16]，即：对于任何p，q≥ 0和a≤ x个≤ b、 我们有-qτ-aWp公司Xτ-a+z{τ-a<τ+b}i=W（p，q-p） a+z（x+z）-Wq（x- a） Wq（b- a） W（p，q-p） a+z（b+z）。（33）在下面介绍我们的主要引理之前，我们从[11]中获得了以下恒等式。Exhe公司-qτ+{τ+<r}i=e-qr∧（q）（x，r），x≤ 0，（34）和∧（q）（0，r）=eqr。（35）以下身份是新的，对于证明我们的主要结果至关重要。引理8。对于p、q、b≥ 0，λ，r>0和x≤ b、 我们有-qT-∧（XT-, r） 1{T-<τ+b}i=λ+q∧（q）（x；r，-q）- ∧（q）（x；r，λ）-Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）∧（q）（b；r，-q）- ∧（q）（b；r，λ）,（36）安迪斯-qT-∧（q）（XT）-, r） 1{T-<τ+b}i=∧（q）（x；r）- ∧（q）（x；r，λ）-Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）∧（q）（b；r）- ∧（q）（b；r，λ）. （37）证明。利用q=0的（30）和托内利定理，我们得到了-qT-∧（XT-, r） 1{T-<τ+b}i=Exe-qT-Z∞WXT公司-+ zzrP（Xr∈ dz）1{T-<τ+b}=λλ+qZ∞W（q，-q） x（x+z）- W（q，λ）x（x+z）zrP（Xr∈ dz）-λλ+qZq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）Z∞W（q，-q） b（b+z）- W（q，λ）b（b+z）zrP（Xr∈ dz）。此外，利用（31）和p=q以及Tonelli定理，我们得到了-qT-∧（q）（XT）-, r） 1{T-<τ+b}i=Exe-qT-Z∞Wq公司XT公司-+ zzrP（Xr∈ dz）1{T-<τ+b}=Z∞W（q，0）x（x+z）- W（q，λ）x（x+z）zrP（Xr∈ dz）-Zq（x，Φλ+q）Zq（b，Φλ+q）Z∞W（q，0）b（b+z）- W（q，λ）b（b+z）zrP（Xr∈ dz），结果如下。4.1.