基于深度学习的最小二乘正倒向随机

为简单起见，我们使用1D（单底层）案例作为示例。高维情况类似。具体而言，考虑区间[0，t]的时间离散化π={t，····，tN}，即0=t<t<····<tN=t，其中我们假设估价日期=0，发火日期=t。表示hi=ti+1- tiand dWi=Wti+1- Wti。1、标的股票Xi的M蒙特卡罗（MC）路径（简称Xti，类似于其他符号）通过Xi+1=Xi+u（ti，Xi）hi+σ（ti，Xi）dWi通过Euler方案进行采样。（3.1）该步骤与标准蒙特卡罗价格相同。可以使用其他离散化方案，例如，对数Euler离散化或Milstein离散化（[14]）。2、在时间t=0时，Yand Zare随机抽取。3、对于ti∈ π、 我们有一个- Yi+1=f（ti，Xi，Yi，Zi）hi- ZidWi，（3.2）orYi+1=Yi- f（ti，Xi，Yi，Zi）hi+ZidWi。（3.3）在给定Yi的每个时间步ti，使用采样数据Xi对某些超参数θi使用Zias Zi（θi）的深度神经网络（DNN）近似。然后，fBSDE从tito ti+1asYi+1=Yi沿时间方向向前传播- f（ti，Xi，Yi，Zi（θi））hi+Zi（θi）dWi。（3.4）沿着每个蒙特卡罗路径，当从时间0向前传播到T时，一个可以估计Y（j）Nas Y（j）NY、 Z，θ（j）, 式中θ（j）=nθ（j），···，θ（j）n-1是第j个MC路径的每个时间步的神经网络的所有超参数。4、自然损失函数将带Forward=平均所有路径Y（j）NY、 Z，θ（j）- g级X（j）N. （3.5）这里g（·）是支付函数5。Adam优化（在TensorFlow库中）用于最小化损失函数，并估计YasfY=arg最小分析路径Y（j）NY、 Z，θ（j）- g级X（j）N. （3.6）估计值是t=0时的期望导数值。

有关使用Adam优化解决上述最小化问题的更多详细信息，请参见[6]和[8]。4最小二乘反向DNN方法由于上述正向DNN方法不能应用于具有早期行使特征的价格期权，如百慕大期权，[20]提出了一种反向DNN方法，用于在伦敦银行同业拆借利率市场模型下对百慕大掉期期权进行定价。正如本文导言中所讨论的，Wang等人的算法仅适用于具有最终漂移项（方程式（2.2）中的f=0）的反向过程，百慕大掉期期权价格可能存在偏差，因为沿模拟路径的贴现支付被视为不提前行使条件下的连续值。与他们的算法不同，我们的反向DNN方法可以应用于一般漂移函数。我们还应用最小二乘回归来估计连续值，以确定最佳运动决策。4.1反向DNN方法我们希望在时间方向上反向传播，并将调用/放和耦合事件应用于导数值。根据等式（3.4），我们得到Yi=Yi+1+f（ti，Xi，Yi，Zi（θi））hi- Zi（θi）dWi。（4.1）当我们在时间方向上从ti+1向后传播到ti时，Yi+1是已知的，而Yi是确定的。我们使用一阶泰勒展开进行近似。易≈ 彝语+1+f（ti，Xi，Yi+1，Zi（θi））-fY（ti，Xi，Yi+1，Zi（θi））（Yi+1- 彝语）你好- Zi（θi）dWi，（4.2）这导致了Yi≈ 彝语+1+1-fY（ti，Xi，Yi+1，Zi（θi））hi（f（ti，Xi，Yi+1，Zi（θi））hi- Zi（θi）dWi）。（4.3）可以使用高阶泰勒展开来实现更精确的近似。对于我们的特殊方程（方程（2.5）），一阶泰勒展开近似为精确解。我们有Yi=Yi+1- Zi（θi）dWi1+rhi。

（4.4）从tN=T开始，我们可以在时间方向上向后传播到T=0，并得到估计的初始值Y（j）θ（j）对于每个采样路径，其中θ（j）=nθ（j），···，θ（j）n-1第j个MC路径的每个时间步都是神经网络的超参数。理想情况是估计初始值Y（j）θ（j）专注于一点。因此，损失函数定义为：反向=平均所有路径Y（j）θ（j）- 平均所有路径Y（j）θ（j）. （4.5）这意味着我们正试图最小化估计初始值的方差。Adam优化用于最小化损失函数LBackwardand估计YasfY=平均所有路径Y（j）eθ（j）, （4.6）式中，eθ（j）=arg minθLBackward。（4.7）最后，估计值是我们在t=0.4.2最小二乘回归时的期望导数。我们使用百慕大看涨期权来解释如何使用最小二乘回归估计的支付的条件期望来确定早期执行时的最佳策略。读者可参考文献[13]中的经典论文了解更多细节。在不丧失一般性的情况下，我们假设练习时间为tk∈ π={t，···，tN}。主要思想是采用回归方程，例如，Yk=a+bXk+cXk+v，（4.8），其中v是白噪声，v是白噪声~ N0, η. 预期导数值为estimatedasEYk=a+bXk+cXk。（4.9）在练习时，对所有具有正调用值的货币内路径执行上述最小二乘回归。请注意，最小二乘回归中可以使用其他基函数，例如加权拉盖尔多项式，这在本文中由[13]使用。通过比较调用值（即即时运动值）与continuationYk=（Ykif-EYk）派生值的期望值，可以确定运动时间的最佳策略≥ 如果EYk<调用值（tk，Xk），则调用值（tk，Xk）。

（4.10）4.3最小二乘反向DNN方法我们将我们的最小二乘反向DNN方法总结如下：1。M标的股票Xi的蒙特卡罗（MC）路径（简称Xti，类似于其他符号）通过Euler方案通过等式（3.1）进行采样。此步骤与正向DNN方法相同。2、由于我们有样本X（j）N（j=1，2，···，M）可用，我们可以计算第j个样本pathY（j）N=g的到期支付X（j）N. (4.11)3. 在给定Yi+1的每个时间步ti，使用采样数据Xi对某些超参数θi使用深度神经网络（DNN）近似Zias Zi（θi）。然后，FBSDE使用等式（4.4）从ti+1toti沿时间方向向后传播。沿着每个蒙特卡罗路径，当从时间T向后传播到0时，可以将Y（j）估计为Y（j）十、 Z，θ（j）, 式中θ（j）=nθ（j），···，θ（j）n-1是第j个MC路径的每个时间步的神经网络的所有超参数。4、在从时间T传播到0的过程中，在运动时间tk，执行最小二乘回归，并使用等式（4.10）重置每条路径的导数值。5、将LBackward设置为损失函数。Adam优化用于最小化损失函数LBackwardand estimateYas Eq（4.6）。估计值是我们在t=0时所需的导数值。请注意，上述最小二乘反向DNN方法可以很容易地扩展到高维衍生品定价（Y=Y十、 X，···，Xd).众所周知，进行边界估计的最小二乘回归方法是次优的，并且会产生较低的有偏价格。由于在我们的反向DNN方法中也使用了最小二乘回归，因此产生的价格偏差较低，与经典最小二乘蒙特卡罗（LSQ MC）中的价格偏差相同。

虽然从理论上讲，偏差可以随着回归器数量的减少而减少，但实际上，正如[19]和[15]所观察到的，增加回归器的数量并不总是减少偏差。Stentoft建议在回归中使用2阶或3阶多项式，尤其是在高维条件下，作为精度和计算时间之间的一种差异，并防止性能恶化。由于本文的目的不是评估多项式类型和阶数的最小二乘回归性能，因此我们在数值测试（第5节）中使用二阶一元多项式作为基函数进行说明。我们的测试结果表明，一元多项式可以为产品产生令人满意的结果，这可以通过与有限差分PDE解算器的结果的一致性来证明。当使用最小二乘反向DNN方法对早期可行产品进行定价时，其准确性将基于与PDE和经典LSQ MC（最多3个维度）的比较，以及与经典LSQ MC（超过3个维度）的比较。5数值结果在本节中，我们首先使用欧式期权来比较正向DNN和反向DNN方法的性能，然后使用百慕大期权和CYNs作为示例来测试我们的最小二乘反向DNN方法，并与PDE和Monte Carloresults进行比较。我们的有限差分PDE解算器仅适用于1D、2D和3D情况。对于MC解算器，我们使用M=1000000个采样路径来估计平均值。请注意，我们在1M和500K之间的相对差异小于0.5%。表5.1中描述了我们所有测试示例中使用的市场数据设置。我们所有的测试示例都是T=1，时间步长N=100。

因此，我们的时间步长hi=0.01。我们实施了[12]表5.1：市场数据设置利率r r=0.01时间步长N=100股票1股票2股票3股票4股票5股票6股票7股票8股票9股票10现货X100 150 200 175 125 100 150 200 175 125股息率q 0.03 0.02 0.05 0.04 0.03 0.02 0.05 0.00 0.04波动性σ0.2 0.3 0.25 0.24 0.15 0.2 0.3 0.25 0.24 0.15相关性ρ0.3对于所有ρij，我们测试中的深层神经网络设置如下：每个子神经网络近似Zi（θi）由4层组成（1个输入层【d维】、2个隐藏层【d+10维】和1个输出层【d维】，其中d是底层实体的数量）。在测试中，我们运行5000次优化迭代训练，并每100次迭代验证训练后的DNN。这将产生50个结果。我们使用损失函数值最小的10个结果的平均值作为导数值。MC抽样规模isM=5000.5.1正向与反向DNN方法我们首先使用1Y ATM单一标的股票欧洲看涨期权来比较正向DNN方法与反向DNN方法的表现。我们使用表5.1中的stock1作为唯一的标的股票。到期时间T=1，罢工K=100。结果如表5.2和图5.1所示。向前和向后的DNN方法都可以提供接近布莱克-斯科尔斯价格的结果。这两种方法收敛速度都很快。在正向DNN方法中可以观察到价格的微小波动。相比之下，反向DNN方法更稳定，收敛速度略快于正向DNN方法。

因此，反向DNN方法是首选方法。表5.2：欧洲看涨期权前向和后向DNN比较Black Scholes前向DNN后向DNNNPV NPV rel diff to BS NPV rel diff to BS6.8669 6.8688 0.03%6.8575-0.14%图5.1：欧洲看涨期权前向和后向DNN比较5.2本节对百慕大期权的测试，我们使用1Y ATM百慕大选项来测试我们的Leatsquare反向DNN方法的性能。我们测试了单个标的股票、2个标的股票（股票1、2）、3个标的股票（股票1、2、3）和5个标的股票（股票1、2、3、4、5）的百慕大看涨期权。走向选择为等重ωi=1/d的asPdωixi，因此选项为ATM。百慕大期权可按季度行使，或按t=0.25、0.5、0.75、1.0行使。我们将PDE和蒙特卡罗的价格与最小二乘反向DNN方法的价格进行了比较。结果如表5.3和图5.2-5.5所示。可以看出，反向DNN方法收敛速度非常快，收敛速度对问题的维数不敏感。第5.4.2节给出了10、20和50个维度的结果，LSQ MC和最小平方后向DNN方法之间的最大差异出现在50个维度上，差异为0.4%（或2.7美分）。

总的来说，最小二乘反向DNN方法可以为百慕大看涨期权生成非常准确的价格。表5.3：PDE之间的比较，Monte Carlo和最小二乘反向DNN方法百慕大期权1Y ATM百慕大呼叫PDE LSQ MC LSQ BDNN rel diff from PDE rel diff from LSQ MCsingle stock（stock 1）6.9933 6.9923 6.9863-0.10%-0.09%2支股票（stock 1，2）9.9514 9.9535 9.9488-0.03%-0.05%3支股票（stock 1，2，3）9.6987 9.7224 9.6813-0.18%-0.42%5支股票（stock 1，2，3，4，5）8.2709 8.2795 0.10%图5.2：百慕大呼叫，单一标的股票图5.3：百慕大看涨期权，2只标的股票图5.4：百慕大看涨期权，3只标的股票图5.5：百慕大看涨期权，5只标的股票5.3可赎回收益率票据的测试在本节中，我们使用1Y CYN测试复杂支付的最小二乘反向DNN方法的性能。我们测试一只标的股票，2只标的股票（股票1，2），3只标的股票（股票1、2、3）和5只标的股票（股票1、2、3、4、5）。表5.4提供了测试CYN的一些关键合同参数。我们将PDE和蒙特卡罗的价格与最小二乘反向DNN方法的价格进行了比较。结果如表5.5和图5.6-5.9所示。可以看出，所有测试样本收敛速度很快，反向DNN方法与PDE或MC方法之间的价格差异非常小。第5.4.2节给出了10、20和50个尺寸的结果。总的来说，使用最小二乘反向DNN可以获得非常准确的价格。与百慕大期权类似，LSQ MC和最小二乘反向DNN方法之间的最大差异出现在50维，差异为1.5%（或1.5美分）。

结果表明，即使在支付函数复杂的情况下，最小二乘反向DNN方法也是有效和准确的。表5.4:CYN合同参数连续优惠券ri=5%优惠券屏障Bi=70%敲入屏障B=50%敲入到位罢工K=100%通话/优惠券时间表每季度或0.25、0.5、0.75、1.0表5.5:PDE之间的比较，Monte Carlo和最小二乘反向DNN方法CYNs1Y CYN PDE LSQ MC LSQ BDNN rel diff from PDE rel diff from LSQMCsingle stock（stock 1）1.0475 1.0474 1.0474-0.01%0.00%2 stock（stock 1，2）1.0457 1.0458 1.0465 0.08%0.07%3 stock（stock 1，2，3）1.0438 1.0453 1.0452 0.13%0.02%5 stock（stock 1，2，3，4，5）1.0449 1.0449 48 0.00%图5.6：CYN，单一基础股票图5.7：CYN，2基础股票5.4效率测试在本节中，我们使用1年欧洲期权、1年百慕大期权和1年CYN来比较DNN方法和经典蒙特卡罗方法（百慕大期权和CYN的最小二乘蒙特卡罗）之间的计算效率。在我们的测试中，我们选择了5只标的股票（股票1，2，…，5），10只标的股票（股票1，2，…，10），20只标的股票图5.8：CYN，3只标的股票图5.9：CYN，5只标的股票股票（重复10只股票两次）和50只标的股票（重复10只股票五次）。欧洲/百慕大期权合同特征与第5.2节中的特征类似。走向选择为asPdωixi，等权重ωi=1/dso，选项为ATM。百慕大期权可按季度行使，或按t=0.25、0.5、0.75、1.0行使。CYN合同特征类似于第5.3节。使用相同的参数。对于经典MC（正则经典MC或最小二乘MC），我们使用M=1000000条采样路径来估计均值。

对于最小二乘反向DNN求解器，MC采样大小为5000和500次优化迭代训练，并每10次迭代验证训练的DNN。这将产生50个结果。我们使用损失函数值最小的10个结果的平均值（标准误差）作为衍生价格（标准误差）。我们在桌面和服务器上都执行了测试。测试桌面具有CPU（Intel（R）Xeon（R）Silver 4108@1.80GHz），具有8核/16线程和24GB RAM。服务器有72个内核和768GB RAM，每个内核都是Intel（R）Xeon（R）E5-2699 v3@2.30GHz。众所周知，在实践中广泛应用于高维美式/百慕大期权定价的最小二乘蒙特卡罗法的并行化是一项具有挑战性的任务，因为回归消耗了美式期权和百慕大期权的大部分计算时间，且有许多早期的执行时间。然而，由于每个练习日期的回归需要所有路径的横截面信息，回归步骤不能直接并行化。实现了这一特性，[4]将回归步骤中的奇异值分解并行化。通过并行路径生成，IBM Blue Gene的效率（加速因子/处理器数量）达到56%。[3] 建议将空间分解应用于路径生成阶段和回归/评估阶段。在Chen等人的工作中，每个子样本都是独立的Leatsquare MC运行。作者发现，8个进程的加速效率约为100%，64个进程的加速效率约为80%。尽管并行化效率有显著提高，但仍观察到定价偏差，且偏差的大小随着进程数量的增加而增加。