基于深度学习的最小二乘正倒向随机

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英文标题：
《Deep Learning-Based Least Square Forward-Backward Stochastic
  Differential Equation Solver for High-Dimensional Derivative Pricing》
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作者：
Jian Liang and Zhe Xu and Peter Li
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We propose a new forward-backward stochastic differential equation solver for high-dimensional derivatives pricing problems by combining deep learning solver with least square regression technique widely used in the least square Monte Carlo method for the valuation of American options. Our numerical experiments demonstrate the efficiency and accuracy of our least square backward deep neural network solver and its capability to provide accurate prices for complex early exercise derivatives such as callable yield notes. Our method can serve as a generic numerical solver for pricing derivatives across various asset groups, in particular, as an efficient means for pricing high-dimensional derivatives with early exercises features.
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中文摘要：
我们将深度学习求解器与最小二乘蒙特卡罗方法中广泛使用的最小二乘回归技术相结合，提出了一种新的用于高维衍生品定价问题的正倒向随机微分方程求解器。我们的数值实验证明了我们的最小二乘后向深层神经网络解算器的效率和准确性，以及它能够为复杂的早期行使衍生工具（如可赎回收益率票据）提供准确的价格。我们的方法可以作为跨各种资产组的衍生工具定价的通用数值解算器，尤其是作为具有早期练习功能的高维衍生工具定价的有效手段。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Deep_Learning-Based_Least_Square_Forward-Backward_Stochastic_Differential_Equati.pdf (868.57 KB)

2022-6-24 11:28:12 上传

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关键词：深度学习 最小二乘 学习的 Quantitative Differential

基于深度学习的高维导数PricingJian Liang的最小二乘前向后向随机微分方程求解器*, Zhe Xu+，Peter Li2020年6月发布的v1.1摘要我们将深度学习解算器与最小二乘蒙特卡罗方法中广泛使用的最小二乘回归技术相结合，提出了一种新的用于高维衍生品定价问题的正反向随机微分方程解算器，用于美式期权的估值。我们的数值实验证明了我们的最小二乘后向深层神经网络解算器的准确性，以及它能够为复杂的早期运动衍生品（如callable yieldnotes）生成准确的价格。我们的方法可以作为一个通用的数值解算器，用于对各种资产组的衍生工具进行定价，尤其是作为一种精确的方法，用于对具有早期行使特征的高维衍生工具进行定价。关键词：前向-后向随机微分方程（FBSDE）、深度神经网络（DNN）、最小二乘回归（LSQ）、百慕大期权、可赎回收益率票据（CYN）、高维导数内容1简介2*吉安富国银行股份有限公司模型风险部。liang@wellsfargo.com+浙江富国银行股份有限公司模型风险部。xu@wellsfargo.comCorp orate Model Risk，富国银行，peter。li@wellsfargo.com2背景知识52.1正倒向随机微分方程。52.2百慕大期权。72.3可赎回收益率票据。73正向DNN法84最小二乘反向DNN法94.1反向DNN法。104.2最小二乘回归。114.3最小二乘反向DNN法。

. . . . . . . . . . 115数值结果125.1正向与反向DNN方法。135.2百慕大期权测试。145.3可赎回收益率票据测试。165.4效率测试。175.4.1欧洲期权的效率测试。195.4.2百慕大期权和CYNs的效率测试。206结论201引言正如著名书籍【11】所述，金融衍生工具或简单的衍生工具可以定义为一种金融工具，其价值取决于（或源自）其他更基本的基础变量的价值。基本变量可以是交易资产，如普通股、大宗商品和债券等。它们也可以是股票指数、利率、外汇汇率等。套期保值者可以使用衍生工具来减少他们面临的市场变量未来潜在变动的风险，也可以使用投机者来押注市场变量的未来方向。最常见的衍生品类型是期货合约、远期合约、掉期和期权。衍生产品定价在学术界和工业界都得到了广泛的研究。除了简单的衍生产品，如期货、远期、掉期和欧洲普通期权，数字方法可用于衍生产品定价。Tree、PDE和Monte Carlo是复杂衍生品定价的三种主要方法。然而，由于实施的复杂性和数字负担，树方法和基于经典有限差分的PDE方法都不适用于高维衍生品定价。这就是众所周知的“维度诅咒”。因此，蒙特卡罗方法在高维衍生品定价中得到了广泛的应用。

为了确定最佳行权策略，在对早期行权产品（如美国期权、百慕大期权、可赎回结构性票据等）进行定价时，必须在蒙特卡罗方法中嵌入一些额外的数值程序，因为在早期行权时间进行次级MC模拟以计算续发的预期收益在计算上是不切实际的，已经提出了各种技术。[1] 提出了一种分层状态方法，该方法根据状态变量（而非股票价格）对股票价格路径进行排序，以确定支付效果。然而，在Barraquand和Martineau的方法中，无法获得结果的误差估计。[2] 提出了一种模拟树方法对美式期权进行定价，该方法还可以生成美式期权的上下界。[13] 提出了一种最小二乘蒙特卡罗算法来对美式期权进行定价，并在该方法中，在早期练习步骤中引入了最小二乘回归来估计延续的预期收益。由于最小二乘蒙特卡罗算法计算效率高且易于实现（[19]），因此它是从业者中使用最广泛的算法，用于定价具有早期练习特征的高维衍生工具。机器学习在衍生品定价中的应用可以追溯到20世纪90年代，当时[9]在非参数回归中使用神经网络来估计期权价格。在最近的一项研究中【5】应用高斯过程回归中的机器学习，从产品、市场和模型参数训练的中立网络预测期权价格。

除了在期权定价中使用它们作为回归工具，最近，研究人员使用机器学习技术来近似与衍生工具定价相关的抛物线偏微分方程的解，特别是对于高维模型，其中经典方法面临挑战。[17，18]应用深伽辽金方法解决定量金融应用中出现的高维偏微分方程，包括期权定价。[6，8]在本文中提出了一种创新算法，称为前向DNN，其中深层神经网络用于求解非线性抛物型偏微分方程。通过推广的Feynman-Kac定理，他们将PDE公式化为等价的倒向随机微分方程（BSDE），然后开发了一种求解BSDE的深度中立网络算法。他们的算法实现简单，可以直接应用于欧式高维衍生品定价。[16] 提出了与[6]工作中不同的损失函数，并将中性网络直接放置在利益的解决方案上。因此，在Raissi的算法中，解覆盖了整个时空域，而不仅仅是Weinane算法中的初始点。此外，Raissi算法还具有神经网络参数个数与时间离散间隔个数无关的优点。请注意，Weinan E或Raissi的方法更适用于欧洲风格的衍生品定价，但不适用于具有早期行使特征的衍生品。[7] 证明了在前向DNN方法中使用渐近展开作为先验知识可以大大减少损失函数，加快收敛速度。

他们还将forwardDNN方法扩展到了可用于美国篮子期权定价的反射BSDE。[20] 针对LIBORmarket模型下百慕大互换期权的定价问题，提出了一种反向DNN算法。然而，由于Wang等人的工作中没有数值研究，因此他们的反向DNN对百慕大方案的有效性和准确性尚不清楚。将反向DNN的结果与经典方法（如最小二乘蒙特卡罗模拟）的结果进行比较。由于模拟路径上的贴现支付被视为不提前行使条件下的延续值，预计aBermudan swaption的价格在Wang等人的算法中会有偏差。在本文中，我们提出了一种基于后向深度学习的最小二乘前向后向随机微分方程求解器，用于定价高维导数，尤其是具有早期练习特征的高维导数。文献[10]报道了将中性网络与回归相结合来解决早期行使期权的应用，如美式期权定价问题。在Kohler等人的工作中，神经网络被用作非参数回归的优化工具，而在我们的工作中，神经网络被用于求解BSDE。与Wang等人的算法不同，该算法只适用于消失漂移项，我们的算法可用于一般漂移函数。此外，在我们的算法中，最小二乘回归用于确定早期练习的最佳条件。尽管已经有很多关于使用神经网络逼近偏微分方程解以进行衍生品定价的研究，但与经典数值方法相比，很少有研究评估其效率。

我们的工作还通过比较基于DNN的算法与经典MonteCarlo模拟来缩小这一差距，从而为什么情况下基于DNN的算法更有效提供指导。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了前向后随机微分方程（FBSDE）的一些基本背景知识，这是我们的最小二乘后向DNN方法的关键知识。此外，webrie fly解释了百慕大期权和可赎回收益率票据的概念，这将在我们的数值测试中用作示例。第3节描述了正向DNN方法（[6]）。在第4节中，我们首先概述了反向DNN方法，然后介绍了最小平方反向DNN方法。百慕大期权和可赎回债券的数值结果见第5节。第5节还包括基于DNN的方法的效率测试。我们在第6.2节背景知识中总结了我们的论文。在本节中，我们首先介绍了前向-后向随机微分方程（FBSDE）的一些基础知识，然后描述了百慕大期权和可赎回收益率票据（CYN）的合同特征。在第5.2.1节正向-反向随机微分方程中，这两种工具都用于执行我们的数值测试。金融数学中的许多定价和优化问题可以在反向随机微分方程（BSDE）中重新表述。这些方程是随机微分方程（SDE）形式的非直观终值问题-dYt=f（t，Yt，Zt）dt- ZtdWt，YT=ξ，（2.1），其中wt是在完全概率空间上定义的标准d维布朗运动。

给出了平方可积终端条件ξ（相对于时间T之前由布朗运动产生的滤波可测量）和所谓的漂移项f。当BSDE用于衍生工具定价时，YT对应于衍生工具价值，ZT与对冲组合相关。在许多投资组合优化问题中，yt与价值过程相对应，而最优控制通常可以从Zt得到。最后，还可以应用BSDE来获得非线性抛物型偏微分方程的Feynman-Kac型表示公式。在上面的方程中，yT和zT分别对应于偏微分方程的解和梯度。在本文中，我们将关注一个形式为dxt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt，X=X的正反向随机微分方程（FBSDE），-dYt=f（t，Xt，Yt，Zt）dt- ZtdWt，YT=g（XT）。（2.2）这里g（·）是支付函数。forward backward的名称来源于这样一个事实，即给定初始值时XM向前移动，给定终值时Y向后移动。假设XT是股票价值，然后是DXT=（r- q） Xtdt+σXtdWt。（2.3）为简单起见，我们假设r是常数贴现率，q是常数股息，σ是常数波动率。我们只在必要时使用下标。以与推导Black-Scholes偏微分方程相同的方式，我们构造了一个投资组合∏=Y- 十、 以及 将进行选择，以便投资组合的价值具有确定性。d∏=dY- dX公司- qXdt公司=Yt+σXY十、dt公司+YXdX公司- dX公司- qXDT术语qXdt的产生是因为股票支付股息，股息将使投资组合的价值减少股息金额。如果我们选择 =Y十、 然后我们得到了∏=Yt+σXY十、dt公司- qXdt。由于投资组合的价值是无风险的，我们必须有d∏=r∏dt=r（Y- 十） dt。这导致以下Black-Scholes PDEYt+σXYX+（r- q） X个Y十、- rY=0。

（2.4）从引理来看=Yt+σXY十、dt公司+YXdX公司=雷- （r）- q） X个Y十、dt公司+YX（（r- q） Xdt+σXdW）=rY dt+σXYXdW，或- dY=-rY dt- σXYXdW，（2.5）即f=-rY，Z=σXYXin Eq（2.2）。上述陈述可以很容易地扩展到高维衍生品定价（Y=Y十、 X，···，Xd), 我们有（忽略下标t）dXi=uit、 Xidt+σit、 XidWiXi=xi-dY=-rY dt-XσiXiYXidWi（2.6）YT=克XT，XT，···，XdTcov公司dWi，dWj= ρijdt |ρij |<1.2.2百慕大期权百慕大期权是一种特殊期权，只能在预定日期行使。百慕大期权可在到期日以及在购买日和到期日之间的特定日期行使。百慕大期权可以被视为美式期权（可在到期之前的任何日期行使）和欧式期权（仅在到期时行使）的混合体。如果不提前行使，百慕大通话到期时的支付函数由v（T）=maxdXi=1ωiXi（T）给出- K、 0！，（2.7）其中K是期权的走向，权重ωi是给定的常数。当exerciseevent发生时，期权到期，持有人将获得其内在价值。假定运动次数为t<t<t<…<田纳西州≤ T时，百慕大期权的价值可写为v（T）=D（T，T）supτ∈T（T）EQ[V（τ）| Ft]，（2.8），其中D（T，T）是贴现因子，T（T）是锻炼时间集，预期在风险中性措施下进行。2.3可赎回收益率票据可赎回收益率票据（CYN），也称为发行人可赎回的最差票据，是一种收益增强产品。CYN的性能由Anisuer保证的优惠券来限制。顾名思义，发行人可以自行决定，通常在预先确定的观察日期调用该产品。

基础实体通常由几个股票或股票指数组成；从而使其成为基于最差功能的产品。CYN的callnotice日期通常与优惠券记录日期相同。我们将组合记录日期表示为ti，i=1，2，···，N，tN=T等于到期日期T。息票支付受障碍条件的限制，并且在到期时提供敲入障碍。单位名义arec的息票支付（ti）=riΘ（p（ti）- Bi）对于i=1，2，···，N- 1c（tN）=rNΘ（p（T）- BN）- Θ（B）- p（T））最大值（K- p（T），0），（2.9），其中Ri是具有息票日息票屏障Bion的或有息票，B是到期时的敲入屏障，K是敲入-投入罢工，p（T）是自交易开始以来的相关绩效。p（t）定义为asp（t）=minj∈{1,2，···，d}“Xj（t）Xj（0）#，（2.10）和Θ（x）是Heaviside函数Θ（x）=（1表示x≥ 00，否则。（2.11）此外，赎回后（在预定到期日或提前发行人催缴股款时），PrincipalNotifial将退还给持有人。i=1，2，···，N时，i支付（T）=名义+c（tN）callvalue（ti）=名义- 1.（2.12）给定通话时间为t<t<t<…<田纳西州≤ T，可赎回收益票据在T时的值isV（T）=D（T，T）infτ∈T（T）EQ[V（τ）| Ft]，（2.13），其中D（T，T）是贴现因子，T（T）是通话时间集，在风险中性度量下的期望值为。3正向DNN方法使用深度神经网络（DNN）的正向求解器主要由[6]和[8]开发。FBSDE（方程式（2.2））可通过以下方式进行数值求解：o使用标准蒙特卡罗方法模拟FBSDE的样本路径。o使用深度神经网络（DNN）近似Z，然后随时间插入FBSDE topropagate。本节简要介绍了正向DNN方法。更多详情请参见[6]和[8]。