基于深度学习的最小二乘正倒向随机

因此，在生成MC样本后，我们使用TensorFlow中的最小二乘回归例程在经典最小二乘MC中实现回归步骤，而不是使用子采样作为并行化策略。这种选择与Choudhury等人的方法具有相同的精神，即并行化过程中最耗时的部分。由于经典最小二乘法MC是我们评估反向DNN方法准确性的基准，我们的方法避免了经典最小二乘法MC结果中潜在的亚抽样偏差。此外，由于计算资源完全由TensorFlow管理，无论是Classic最小二乘MC还是backward DNN，我们对这两种方法的效率进行了公平的比较。5.4.1欧式期权的效率测试表5.6给出了从5个维度到50个维度的欧式期权的测试结果。可以看出，反向DNN方法可以产生与经典MC非常接近的价格（大约2美分或更少）。虽然经典MC速度更快，但由于内存问题，它无法在桌面上生成20维及以上的结果。BackardDNN方法速度较慢，但我们测试的所有案例都可以产生结果，因为它不需要大量样本来产生准确的结果。显然，总的来说，如果有足够的计算资源，DNN方法对欧式期权的定价并不有效，因为它比经典MC慢5到6倍，这主要是由于DNN初始化和优化的高成本造成的。

然而，如果只有内存有限的机器，DNN方法是解决大规模问题的一种选择。表5.6:Europeanoptions1Y AtmeEuropean CallMC BDNNprice std error desktop（s）server（s）price std error desktop（s）server（s）5 stocks 8.1033 0.0142 78 57 8.1146 0.0169 486 33010 stocks 7.2546 0.0127 157 112 7.2318 0.0159 882 54420 stocks 6.8038 0.0119-230 6.7856 0.0144 1904 98150 stocks 6.5121 0.0113-576 6 6 6.4975 0.0137 6205.4 2百慕大期权和CYNs的效率测试表5.7 forBermudan期权和表5.8 CYNs从5个维度到50个维度的测试结果。首先可以看出，反向DNN方法（此处为最小二乘反向DNN）可以产生与经典最小二乘MC非常接近的价格（在大多数情况下为1美分或更少），这证明了其有效性和准确性。值得注意的是，对于百慕大期权，反向DNN结果的标准偏差与我们选择参数时经典MC方法平均值的MC误差非常相似。

对于CYNs，尽管反向DNN的结果的标准偏差比经典MC方法的平均值的MC误差高一个数量级，但它们仍然非常小。与欧洲期权的有效性测试类似，经典的MC方法虽然快5倍或更多倍，但由于内存问题，无法在台式计算机上产生20维及以上的结果。表5.7:Monte Carlo和最小二乘反向DNN方法对Bermundan options1Y ATMBermudan CallLSQ MC LSQ BDNNprice std error desktop（s）服务器price std error desktop（s）服务器5库存8.2709 0.0124 82 60 8.2795 0.0160 509 34510库存7.4112 0.0110 177 116 7.4127 0.0153 972 56920库存6.9760 0 0 0.0103-237 6.9745 0.0141 2549 97650库存6.7372 0.0100-658 6.71000.0137 21552 34766结论在这项工作中，我们开发了一个基于深度学习的最小二乘正反向随机微分方程求解器，可用于高维导数定价。我们的深度学习实施遵循了与表5.8中探索的方法类似的方法：Monte Carlo与最小二乘反向DNN方法的比较onCYNs1Y CYNLSQ MC LSQ BDNNprice std error desktop（s）server（s）price std error desktop（s）server（s）server（s）5 stocks 1.0449 0.0000 84 60 1.0448 0.0008 506 34210 stocks 1.0402 0.0001 179 122 1.0390 0.0011 947 56320 stocks 1.0257 0.0001-235 1.02360.0016 2860 101250库存0.9778 0.0002-659 0.9633 0.0023 20947 3274by【6，8】和【20】。然而，正向DNN方法更适合欧洲风格的衍生品定价，而Wang等人的反向DNN方法可能无法充分考虑早期行使特征。在我们的方法中，我们将类似于最小二乘蒙特卡罗方法（[13]）的最小二乘回归技术嵌入到backwardDNN算法中。

百慕大期权和可赎回收益率票据的数值测试结果表明，基于与基于有限差分的PDE方法和classicalMonte Carlo模拟的比较，我们的最小二乘反向DNN方法可以产生非常精确的结果。该方法可用于各种衍生工具定价应用，如障碍期权、美式期权、可转换债券等。总之，我们的最小二乘反向DNN算法可以作为定价导数的通用数值解算器，最适用于具有早期行使特征的高维衍生工具。虽然反向DNN方法比经典的蒙特卡罗方法慢，但它的内存效率很高，可以用较少的计算资源处理大规模问题。致谢作者感谢Agus Sudjianto博士向他们介绍了在衍生品定价中使用机器学习的领域，并感谢Liuren Wu教授审阅了手册。作者还感谢Bernhard Hientzsh博士进行了非常有价值的讨论。参考文献【1】Barraquand，J.，和Martineau，D.（1995）。高维多变量美国证券的数值估值。《金融与定量分析杂志》30（3），383–405。[2] Broadie，M.和Glasserman，P.（2004年）。高维美式期权定价的随机网格方法。计算金融杂志7（4），35–72。[3] Chen，C.，Huang，K.，和Lyuu，Y.（2015）。用并行计算加速最小二乘蒙特卡罗方法。《超级计算杂志》71（9），3593–3608。[4] Choudhury，A.R.、King，A.、Kumar，S.和Sabharwal，Y.（2008）。金融工程优化：Longstaff和schwartz的最小二乘蒙特卡罗方法。2008年IEEE并行和分布式处理国际研讨会1–11。[5] De Spiegeleer，J.、Madan，D.B.、Reyners，S.和Schoutens，W。

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