SlideVaR：一种风险态度可变的风险度量

这意味着投资者对市场的评估对巨大损失更加敏感。这里有几个特殊的例子：指数函数φβ（p）=如果p<βep，则为0-1γγ(1 - eβ-1γ）如果p>β（31），其中γ∈ [0，1]是一个常数。幂函数φβ（p）=如果p<β（1），则为0- γ)(1 - p）-γ(1 - β)1-γ如果p>β（32），其中γ∈ [0，1]是一个常数。Hans【13】建立了效用函数和光谱风险度量之间的关系。指数效用函数和幂函数可分别导出指数谱函数和功率谱函数。上述两个函数φβ（p）是由这两个特殊的谱函数通过简单变换得到的。（b） 在[β，1]中，φβ（p）是凹的。这意味着投资者对市场的评估对巨大损失不那么敏感。例如：幂函数φβ（p）=如果p<β（1+γ）pγ1，则为0- β1-γ如果p>β（33），其中γ∈ [0，1]是一个常数。（c） 在[β，1]中，φβ（p）是线性的。这意味着投资者评估的敏感性不会改变。CVaR的谱函数是一个特例：φβ（p）=如果p<β1，则为0- 如果p>β，则为β。（34）（d）在[β，1]中，φβ（p）是一个一般函数。例如，φβ（p）是阶跃函数φβ（p）=如果p<βωp1，则为0- β如果β6 p<βωp1- β+ωp1- β如果β6 p<βωp1- β+ωp1- β+ωp1- 如果p>β（35），其中β<β<β<1，ω，ω，ω∈ [0，1]和ω+ω，+ω=1。使用该φβ（p），Uφβ（X）可以表示为asUφβ（X）=ω·CV aRβ（X）+ω·CV aRβ（X）+ω·CV aRβ（X）。（36）该函数反映了投资者的市场评估如何影响投资者的风险态度。如果Sis是凸的，随着尾部厚度Uφβ（X）的增加，SlideVaR的守恒程度会加快。如果S是凹的，则SlideVaR的守恒度随着Uφβ（X）的增加而降低。

如果S是线性的，则SlideVaR的守恒程度会以恒定的速度变化。3.4 SlideVaR的完整结构基于上述工作，我们给出了SlideVaR的完整结构。定义3.4给出损失X的两个置信水平α和β，α>β∈ X，SlideV aRφα，β（X）定义为：SlideV aRφα，β（X）=S（Uφβ（X））·CV aRα（X）+[1- S（Uφβ（X））]·V aRβ（X）。（37）Uφβ（X）称为尾部厚度，其定义为：Uφβ（X）：=ZF-1X（p）φβ（p）dp。（38）风险规避函数φβ∈ L（[0，1]）是φβ（p）=（0，如果p<βφ（p），如果p>β，（39），其中φ∈ L（[F-1X（β），1）满足：（1）φ为正，（2）φ为非递减，（3）| |φ| |=1。S（x）isa归一化函数，定义为：S（x）：[最小（x），最大（x）]→ [0, 1]. （40）3.5 SlideVaRAs的属性对于数学属性，不同的研究人员持有不同的观点，理想的属性与风险度量的预期用途不同。Drapeau【14】强调风险度量首先应满足以下两个属性：多样性和单调性。多元化告诉人们不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里。单调性意味着，如果损失在任何情况下都比另一种情况下更大，那么风险就更大。接下来，我们将说明单调性是SlideVaR的一个全局属性。定理3.2给出置信水平α、β和风险规避函数φβ，十> X个∈ X，SlideV aRφα，β（X）>SlideV aRφα，β（X）。（41）事实上，与单调性相比，多元化的定义存在争议。例如，Artzner等人[7]强调次可加性，但Goovaerts等人[15]和Dhaenet等人[16]认为这种特性可能会导致不良情况。Drapeau【14】将扩散体现为准凸性。在本文中，我们仍然研究次可加性。定理3.3给定归一化S（x），letD={x | S（x）=1}（42）和▄x={x | Uφβ（x）∈ D、 X个∈ X}。

(43)十、 Y型∈~X，SlideV aRφα，β（X+Y）6 SlideV aRφα，β（X）+SlideV aRφα，β（Y）。（44）定理3.3有另一个表达式，我们称之为风险尾次可加性。定理3.4[风险尾次可加性]给定归一化S（x），letD={x | S（x）=1}（45）和▄x={x | Uφβ（x）∈ D、 X个∈ X}。（46）LetX*= {X | Uφβ（X）=最小值∈~XUφβ（X）}。(47)十、 Y型∈ X，如果 十、*∈ 十、*s、 t.X，Y>X*, 然后滑动aRφα，β（X+Y）6滑动aRφα，β（X）+滑动aRφα，β（Y）。（48）定理3.3和定理3.4表明，次可加性是SlideVaR的一个局部性质。考虑局部区域X，定理3.5十、∈X，如果 Y s.t.Y>X，然后是Y∈X。这是定理3.1的简单推论。这个定理意味着▄X的每个元素的风险都不比区域外的元素低，因此我们称▄X为风险尾部区域。此外，根据OREM 3.4，存在下限X*共▄X。对于任何“超过”风险界限的损失，SlideVaR满足子加性。换言之，尽管次可加性不是SlideVaR的全局属性，但它仍然满足高风险资产或高风险场景的多样性要求。平移不变性赋予风险度量一种货币意义，这意味着头寸的风险应该通过增加的现金量来降低。正同质性意味着风险随头寸规模线性增加。然而，F¨ollmer和Shied[17]指出，市场风险可能会随着头寸的价值非线性增加。例如，当头寸乘以足够大的系数时，可能会产生流动性风险【18】。在这方面，我们有定理3.6十、∈ X，如果a∈ R和a>0，则SlideV aRφα，β（X+a）>SlideV aRφα，β（X）+a.（49）如果a 6 0，则SlideV aRφα，β（X+a）6 SlideV aRφα，β（X）+a.（50）定理3.7十、∈ X，λ∈ R、 如果λ>1，则SlideV aRφα，β（λX）>λSlideV aRφα，β（X）。（51）如果0 6λ6 1，则SlideV aRφα，β（λX）6λSlideV aRφα，β（X）。

（52）这两个定理意味着SlideVaR随着损失的规模非线性增加。此外，SlideVaR是风险尾部区域X中的凸风险度量。定理3.8λ ∈ [0，1]，使用与定理3.3和定理3.4相同的符号，如果十、 Y型∈X，orX，Y∈ X和 十、*∈ 十、*s、 t.X，Y>X*,（53）我们有slidev aRφα，β（λX+（1- λ） Y）6λSlideV aRφα，β（X）+（1- λ） 滑块aRφα，β（Y）。（54）4说明为了证明所提出的模型，我们提供了VaR、CVaR、SlideVaR和GlueVaR的模拟和经验计算。首先，确定一些基本设置。（a） 主导置信水平α=0.99，额外置信水平β=0.95。（b） 风险规避函数φ（p）是指数函数φβ（p）=如果p<βep，则为0-1γγ(1 - eβ-1γ）如果p>β（55），其中γ=0.2。（c） 使用与参考文献[11]相同的参数：ω=ω=ω=。也就是说，GlueV aR0.95,0.99（X）=·V aR0.95（X）+·CV aR0.95（X）+·CV aR0.99（X）。（56）4.1模拟Slidevarf的计算首先，我们将归一化函数S（x）设置为线性函数。S（x）=如果x<a，b，则为0- a（x- a） 如果a 6 x<b，如果b 6 x，则为1，（57），其中a=20，b=40。模拟数据从高斯混合模型中随机生成，其中SP（θ）=N（u，σ）+N（u，σ）。（58）我们通过改变参数u，σ来改变数据分布的形状，以观察SlideVaR的性能。图1：固定u并更改σ图2：固定σ并更改u首先，我们确定u=0，u=0，σ=5，并将σ更改为10，15，20，25，如图1所示。图1显示，随着σ的增加，分布的峰值逐渐变尖锐，相应地，分布的尾部逐渐变厚。当σ=10和15时，SlideVaRis接近或甚至与VaR重合，并且小于GlueVaR。当σ=20时，SlideVaR介于NVAR和CVaR之间，接近GlueVaR。当σ=25时，SlideVaR接近CVaR，大于GlueVaR。

因此，随着σ的增加，SlideVaR变得越来越保守。其次，我们确定σ=10，u=0，σ=5，并将u更改为-5，10，20，30，如图2所示。图2显示，随着u的增加，分布的尾部逐渐变厚，甚至呈现双峰形式（最后两张图片）。当u=-5、SlideVaR接近VaR，小于GlueVaR。当u=10和20时，SlideVaR介于VaR和CVaR之间，接近LueVar。当u=30时，SlideVaR与CVaR一致，且大于GlueVaR。因此，随着u的增加，SlideVaR变得越来越保守。4.2滑块的经验计算经验数据isS（x）的归一化函数S（x）=如果x<a，b，则为0- a（x- a） 如果a 6 x<b，如果b 6 x，则为1，（59），其中a=1，b=4。我们考虑两个金融市场，即中国（1999年至2018年为000001.SH）和美国（1999年至2018年为SPX.GI）证券市场。我们使用历史模拟来估计VaR、CVaR、SlideVaR和GlueVaR。窗口宽度为250个观察值。图3显示，在1999年、2002年、2007年至2009年以及2015年至2016年期间，中国市场经历了严重的危机。在此期间，VaR明显低估了极端损失，CVaR覆盖了大部分损失。SlideVaR与CVaR非常接近甚至一致。由于GlueVaR处于VaR和CVaR的中间位置，GlueVaR虽然表现优于VaR，但仍不如SlideVaR。2009年和2011年美国市场也出现了类似情况。在这些时期，美国市场也经历了严重的危机，下滑超过了VaR和GlueVaR的极端损失。因此，当危机来袭时，Slidevarha有足够的能力来应对风险。这使得使用SlideVaR管理风险的投资者比使用VaR或GlueVaR的投资者损失更小。2000年、2002年和2015年至2016年期间存在一些差异。

在这些时期，危机并不特别严重。SlideVaR位于VaR和CVaR中间，因此SlideVaR和GlueVaR的表现相似。2003年至2007年以及2012年至2015年，SlideVaR在中国市场的表现也与GlueVaR相似。尽管中国市场在此期间没有受到任何危机的影响，但由于市场的高度波动性，SlideVaR仍然显著高于VaR。因此，SlideVaR和GlueVaR在危机不太严重或市场普遍相对较高的情况下具有相似的表现。从2004年到2007年以及从2013年到2015年，由于美国市场的低波动性，SlideVaR低于GlueVaR，并且非常接近VaR。这意味着SlideVaR比GlueVaR和CVaR更经济。在此期间，使用SlideVaR的投资者将面临灵活的风险控制标准和较少的风险准备金资本配置。这给了他们更多的经营自由和更充足的资本来提高盈利能力。在这两个市场的其他时期，图3：两个金融市场市场市场在危机和稳定时期之间过渡。如果市场好转，SlideVaR将从下方跨越GlueVaR。如果市场变得更糟，SlideVaR将在GlueVaR下从上方穿过。一般来说，当危机袭来时，SlideVaR和CVaR一样安全。当市场恢复稳定状态时，SlideVaR与VaR一样经济。当市场处于中间时，SlideVar和GlueVaR的表现类似。当市场处于过渡期时，SlideVaR将跟随市场自适应地调整其风险态度。因此，SlideVaR在状态变化频繁的市场中具有明显的优势。5结论为了在可行性和谨慎性之间找到一种权衡，金融从业者需要选择适当的风险措施。VaR和CVaR是应用最广泛的两种方法。

简单性是VaR的一个重要优势。然而，VaR可能严重低估某些灾难性损失，并且不满足次加性。CVaR是一种改进的方法，其性质比VaR更具吸引力：次可加性和凸性。然而，CVaR很难计算，比VaR更为保守和昂贵。更重要的是，CVaR仍然忽视了人类的主观风险态度。两个关键点是：第一，投资者在不确定性条件下的风险态度应该是衡量风险的重要参考。其次，风险态度不是绝对的。对于不同的市场表现，投资者有不同的风险态度。对于第一个关键点，Wang【8，9】提出了失真风险度量，Cerbi【10】提出了频谱风险度量。扭曲函数g和风险厌恶函数φ是投资者表达主观态度的工具。Gluevara由Belles Sampera【11】提出，旨在设计介于Var和CVaR之间的风险度量。这是一种特殊的失真风险度量。然而，对于第二个关键点，这些模型显示了市场环境的影响，因为它们的风险态度是静态的。Frittelli[12]提出了∧VaR。就风险态度而言，随着损失分布的变化，∧VaR的容忍度水平将被修改。然而，∧VaR无法描述市场环境如何影响风险态度。此外，在某些极端情况下，∧VaR和VaR可能会导致同样令人厌恶的结果。我们提出了一个新的风险度量，名为SlideVaR。SlideVaR可以表示为VaR和CVaR的组合，具有两个置信水平。分量的权重由我们建议用于测量分布尾部厚度的s（Uφα（X））确定。

φReflect Show投资者评估市场状况，并描述投资者的评估如何影响他们的风险态度。因此，SlideVaR充分考虑了投资者的不同主观态度，并充分反映了市场变化对投资者态度的影响。此外，对于实际应用来说，Slidevarha是一种相对简单直观的表达形式。SlideVaR满足了一些良好的数学特性。首先，单调性是SlideVaR的一个全局属性。接下来，我们提出了风险尾部区域的概念，即该区域的每个元素的风险都不低于区域外的元素。因此，我们提出了风险尾部次可加性，并证明SlideVaR满足它。然后，SlideVaR随着损耗的增加而非线性增加。最后，我们证明了SlideVaR在风险尾部区域是凸的。也就是说，尽管次可加性和凸性不是全局属性，但SlideVaR仍然满足高风险资产或高风险场景的多样性要求。在插图部分，我们展示了当危机来临时，SlideVaR和CVaR一样安全。当市场恢复到稳定状态时，SlideVaR与VaR一样经济。当市场处于在中间时，SlideVaR和GlueVaR的表现类似。当市场处于过渡期时，SlideVaR将跟随市场自适应地调整其风险态度。总之，SlideVaR在状态频繁变化的市场中具有明显的优势。6附录6.1定理3.2的证明：根据定理3.1，对于X>X，我们有（Uφβ（X））>S（Uφβ（X））。（60）由于CVaR和VaR满足单调性，因此CVaRα（X）>CVaRα（X），V aRβ（X）>V aRβ（X）。

（61）因此，SlideV aRφα，β（X）- SlideV aRφα，β（X）=S（Uφβ（X））·CV aRα（X）- S（Uφβ（X））·CV aRα（X）+[1- S（Uφβ（X））]·V aRβ（X）- [1 - S（Uφβ（X））]·V aRβ（X）>S（Uφβ（X））·[CV aRα（X）- CV aRα（X）]+[1- S（Uφβ（X））]·[V aRβ（X）- V aRβ（X）]>0。（62）6.2定理3.3证明：因为十、 Y型∈~X，S（Uφβ（X））=S（Uφβ（Y））=1，（63）然后SlideV aRφα，β（X）=CV aRα（X），SlideV aRφα，β（Y）=CV aRα（Y）。（64）由于CVaR满足次加性，CV aRα（X+Y）6 CV aRα（X）+CV aRα（Y）。（65）根据（25），我们有SlideV aRφα，β（X+Y）6 CV aRα（X+Y）6 CV aRα（X）+CV aRα（Y）=SlideV aRφα，β（X）+SlideV aRφα，β（Y）。（66）6.3定理3.4的证明：它是定理3.1和定理3.3.6.4的简单推论定理3.6的证明：由于Uφβ（X）是一种特殊的光谱风险度量，它满足平移不变性。即一∈ R、 Uφβ（X+a）=Uφβ（X）+a。（67）然后，滑动aRφα，β（X+a）- 滑块aRφα，β（X）- a=S（Uφβ（X）+a）·CV aRα（X）+[1- S（Uφβ（X）+a）]·V aRβ（X）- S（Uφβ（X））·CV aRα（X）+[1- S（Uφβ（X））]·V aRβ（X）=[S（Uφβ（X）+a）- S（Uφβ（X））]·[CV aRα（X）- V aRβ（X）]。（68）如果a>0，则S（Uφβ（X）+a）>S（Uφβ（X）），然后SlideV aRφα，β（X+a）>SlideV aRφα，β（X）+a。（69）如果a为6 0，则S（Uφβ（X）+a）6 S（Uφβ（X）），然后SlideV aRφα，β（X+a）6 SlideV aRφα，β（X）+a。（70）6.5定理3.7证明：由于Uφβ（X）是一种特殊的光谱风险度量，它满足正同质性。即λ>0，Uφβ（λX）=λUφβ（X）。（71）然后，SlideV aRφα，β（λX）- λSlideV aRφα，β（X）=λ·{S（Uφβ（λX））·CV aRα（X）+[1- S（λUφβ（X））]·V aRβ（X）- S（Uφβ（X））·CV aRα（X）+[1- S（Uφβ（X））]·V aRβ（X）}=λ·[S（λUφβ（X））- S（Uφβ（X））]·[CV aRα（X）- V aRβ（X）]。（72）如果λ>1，则S（λUφβ（X））>S（Uφβ（X）），然后SlideV aRφα，β（λX）>λSlideV aRφα，β（X）。（73）如果0 6λ6 1，则S（λUφβ（X））6 S（Uφβ（X））和SlideV aRφα，β（λX）6λSlideV aRφα，β（X）。

（74）6.6定理3.8的证明：它是定理3.3、定理3.4和定理？？？的简单推论？？。参考文献【1】Du ffed和Pan J.风险价值概述。《衍生品杂志》，4（3）：7–491997年。[2] Kupiec P.验证风险度量模型准确性的技术。《衍生杂志》，2（2）：73–841995年。[3] Christo Offersen P-F.评估区间预测。《国际经济评论》，39（4）：841–86219998年。[4] 《风险管理与金融机构》（第3版）。约翰·威利父子公司，2012年。[5] Perignon C、Deng Z-Y和Wang Z-J.银行是否夸大了其风险价值？《银行和金融杂志》，32（5）：783–7942008。[6] Perignon C和Smith D-R.多元化和风险价值。《银行与金融杂志》，34（1）：55–662010年。[7] Artzner P、Delbaen F、Eber J-M和Heath D.一致的风险度量。MathematicalFinance，9（3）：203–2281999年。[8] Wang S-S.《比例风险变换的保险定价和增加限额费率制定》。《保险：数学与经济学》，第17（1）：43–541995年。[9] Wang S-S、Young V-R和Panjer H-H。保险价格的公理化特征。《保险：数学与经济学》，21（2）：173–1831997年。[10] Acerbi C.风险规避和一致风险度量：谱表示定理。《银行与金融杂志》，26（7）：1505–15182002。[11] Belles Sampera J、Guillen M和Santolino M.《超越风险价值：GlueVaR扭曲风险度量》。风险分析，34（1）：121–1342014。[12] Frittelli M、Maggis M和Peri I.基于概率/损失函数的P（R）和风险值的风险度量。《数学金融》，24（3）：442–46320014年。[13] Peter W-H和Thomas M.用谱风险度量对风险规避行为进行一致建模。《欧洲运筹学杂志》，229（2）：487–4952013年9月1日。[14] Samuel D和Michael K.风险偏好及其稳健表现。