SlideVaR：一种风险态度可变的风险度量

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英文标题：
《SlideVaR: a risk measure with variable risk attitudes》
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作者：
Wentao Hu
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  To find a trade-off between profitability and prudence, financial practitioners need to choose appropriate risk measures. Two key points are: Firstly, investors\' risk attitudes under uncertainty conditions should be an important reference for risk measures. Secondly, risk attitudes are not absolute. For different market performance, investors have different risk attitudes. We proposed a new risk measure named SlideVaR which sufficiently reflects the different subjective attitudes of investors and the impact of market changes on investors\' attitudes. We proposed the concept of risk-tail region and risk-tail sub-additivity and proved that SlideVaR satisfies several important mathematical properties. Moreover, SlideVaR has a simple and intuitive form of expression for practical application. Several simulate and empirical computations show that SlideVaR has obvious advantages in markets where the state changes frequently.
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中文摘要：
为了在盈利能力和谨慎性之间找到一个平衡点，金融从业者需要选择适当的风险度量。两个关键点是：第一，投资者在不确定性条件下的风险态度应该是衡量风险的重要参考。其次，风险态度不是绝对的。对于不同的市场表现，投资者有不同的风险态度。我们提出了一种新的风险度量方法SlideVaR，它充分反映了投资者的不同主观态度以及市场变化对投资者态度的影响。我们提出了风险尾域和风险尾次可加性的概念，并证明了SlideVaR满足几个重要的数学性质。此外，SlideVaR具有简单直观的表达形式，便于实际应用。一些模拟和实证计算表明，SlideVaR在状态变化频繁的市场中具有明显的优势。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：Slide 风险态度 风险度量 DEVA VaR

SlideVaR：一种风险态度可变的风险衡量方法研究舒文涛2019年4月23日摘要为了在可行性和谨慎性之间找到一种权衡，金融从业者需要选择适当的风险衡量方法。两个关键点是：第一，投资者在不确定性条件下的风险态度应该是衡量风险的重要参考。其次，风险态度不是绝对的。对于不同的市场表现，投资者有不同的风险态度。我们提出了一个名为SlideVaR的新风险度量，它充分反映了投资者的不同主观态度，并充分反映了市场变化对投资者态度的影响。我们提出了风险尾部区域和风险尾部次可加性的概念，并证明了Slidevar满足几个重要的数学性质。此外，SlideVaR具有简单直观的表达形式，便于实际应用。一些模拟和经验计算表明，SlideVaR在状态频繁变化的市场中具有明显的优势。关键词：SlideVaR；风险尾部区域；风险尾部次加性；风险态度；VaR；CVaR1简介风险管理是投资者每天面临的问题。投资者需要在稳定性和谨慎性之间找到一种权衡。在实现这一目标的过程中，选择合适的风险措施起着重要作用。一种流行的风险度量是VaR。设X为损失，V aRα（X）=inf{X∈ R:P[X 6 X]>α}=F-1X（α）。（1） 简单是一个重要的优势。首先，VaR很容易理解。根据Du fieand Pan[1]，VaR可定义为给定时间范围T和置信水平α，即市场价值损失，其概率最多为1- α. 变量仅为损失分布的α百分位数。此外，VaR易于计算和回归测试[2-4]。

然而，VaR只能在一定概率下给出一个阈值，而不能描述超过阈值的损失。因此，灾难性损失可能被严重低估，尤其是当损失分布趋于厚尾时。此外，VaR不满足次可加性。因此，通过忽略投资组合不同部分之间的差异，VaR可能高估了整体风险【5，6】。CVaR是Rockafellar于1997年提出的一种改进方法。CV aRα（X）=1- αZαF-1X（p）dp=E[X | X>V aRα（X）]。（2） CVaR是表示超过VaR的极端损失平均值的条件期望。CVaR满足更具吸引力的数学特性。Artzner等人提出了一致性风险度量[7]：满足平移不变性、次加性、正同质性和单调性的风险度量称为一致性。他们证明CVaR满足次可加性且一致。然而，CVaR仍然忽视了人的主观风险态度。从风险感知的角度来看，金融风险是否会造成损害以及损害的程度与人类的主观感知和风险的客观存在有关。因此，投资者在不确定性条件下的风险态度应该是衡量风险的重要参考。Wang[8，9]于1997年首次提出失真风险度量。给定畸变函数g，畸变风险度量ρg（X）为：ρg（X）=Z-∞[g（P[X>X]）- 1] dx+Z+∞g（P[X>X]）dx。（3） （参考…）表示当且仅当失真函数为concave时，失真风险度量是一致的。Acerbi提出了光谱风险度量[10]。给定一个风险规避函数φ，我们称该函数mφ（X）：=ZF-1X（p）φ（p）dp，X∈ X（4）光谱风险度量。光谱风险度量是通过φ对不同分位数进行加权得到的。Acerbi[10]证明了光谱风险度量是一致的。

扭曲函数g和风险规避函数φ是投资者表达主观态度的工具。GlueVaR由Belles Sampera提出，旨在设计介于NVAR和CVaR之间的风险度量。它是一种特殊的失真风险度量，可以表示为VaR和CVaR的线性组合，具有两个置信水平：GlueV aRα，β（X）=ω·V aRα（X）+ω·CV aRα（X）+ω·CV aRβ（X），α<β。（5） 然而，由于这些模型的风险态度是静态的，它不能充分反映投资者的主观态度。在实际的投资市场中，大多数投资者的风险态度不是绝对的，而是会随着不同的情况而变化。例如，当市场波动时，投资者倾向于使用更为保守的策略。在这一点上，他们更厌恶风险。相反，如果当前形势良好，一些投资者将采取更积极的策略，在这一点上，他们将承受更高的风险。换句话说，一些投资者会对市场表现进行评估，对于不同的市场表现，投资者有不同的风险态度。因此，在衡量风险时，市场环境对风险态度的影响是一个可有可无的因素。∧VaR包含该因素的考虑因素。Frittelli[12]提出了∧VaR，用一个非递减右连续函数∧（x）∧V aRα（x）=inf{x替换恒量置信水平α∈ R:P[X 6 X]>λ（X）}。（6） ∧VaR是该函数与损失累积分布函数（CDF）的最小交集。就风险态度而言，∧VaR的容忍水平将随着损失分布的变化而改变。换言之，∧VaR的用户只能接受概率较低的较大损失。

虽然Frittelli[12]考虑了市场环境对风险态度的影响，但直接使用损失CDF和∧（x）的交叉点无法描述市场环境如何影响风险态度。此外，无论分布如何变化，∧VaR仍然是具有一定置信水平的分位数。因此，在某些极端情况下，∧VaR和VaR可能会导致同样令人厌恶的结果。我们的动机是设计一个风险衡量指标，充分反映投资者的不同主观态度，并充分反映市场变化对投资者态度的影响。同时考虑到一些良好的数学性质。最后，新的风险度量应该有一个相对简单和直观的表达形式，以便实际应用。因此，我们提出了一种新的风险度量方法SlideVaR。首先，SlideVaR可以表示为VaR和CVaR的组合。在不同的权重下，SlideVar的风险态度可以在VaR和CVaR之间滑动。其次，VaR和CVaR的权重由尾部指标（Uφα（X））确定，我们定义该指标来测量分布尾部的厚度。随着X的CDF的变化，S（Uφα（X））发生变化，进而改变SlideVaR的风险态度。第三，我们提出了风险尾部区域的概念，即该区域的每个要素的风险都不低于区域外的要素。因此，我们提出了风险尾次可加性，并证明SlideVaR满足它。后续工作的结构如下。在第二部分中，我们介绍了一些相关的基本知识。在第三部分中，我们定义了SlideVaR并分析了其数学特性。在第四节中，提供了一些插图。

最后，我们进行了讨论和总结。2准备工作2.1连贯的风险衡量在量化风险之前，监管机构应确定哪些损失是不可接受的，然后确定风险准备金资本的最低金额，使其可以接受。这个最低储备资本通常被称为风险度量。风险度量可以定义为映射ρ：X→ R其中X是所有可能损失的集合。Artzner等人提出了一致性风险度量。[7] 其中包含了他们对资产管理的风险态度。定义2.1（一致性）满足平移不变性、次可加性、正同质性和单调性四个公理的风险度量称为一致性风险度量。（a） 平移不变性：ρ（X+a）=ρ（X）+a，十、∈ 十、一∈ R、 （7）（b）次可加性：ρ（X+X）6ρ（X）+ρ（X），十、 X个∈ 十、（8） （c）正同质性：ρ（λX）=λρ（X），λ > 0, 十、∈ 十、（9） （d）单调性：如果X 6 Y，则ρ（X）6ρ（Y），十、 Y型∈ 十、（10） Artzner等人[7]证明，VaR无法满足次加性，因此不是一致风险度量。相反，CVaR是一致的。2.2光谱风险度量通过对损失分布的分位数进行加权，可以获得任何经典风险度量。例如，V aRα将100%的权重分配给α%分位数，将0%的权重分配给其他分位数。CV aRα是通过将相同的权重分配给α%分位数以上的分位数，而将0%的权重分配给剩余的分位数来实现的。Acerbi【10】推广了这一想法，并提出了光谱风险度量，为每个分位数分配不同的权重。首先，Acerbi[10]定义了风险规避函数φ，它是赋范空间L（[0，1]）的一个元素，其中每个元素都由一类函数表示，这些函数最多在零测度的[0，1]子集上有所不同。该空间中的范数由| |φ| |=Z |φ（p）| dp给出。

（11） 显然，L元素（[0，1]）的单调性和正性不能像函数那样逐点定义。因此，定义2.2（单调性）φ减小，如果q∈ （a、b）和ε>0，使得[q- ε、 q+ε][a，b]，Zqq-εφ（p）dp>Zq+εqφ（p）dp。（12） φ增大，如果q∈ （a、b）和ε>0，使得[q- ε、 q+ε] [a，b]，Zqq-εφ（p）dp 6Zq+εqφ（p）dp。（13） 定义2.3（正值）φ为正值，如果我 [a，b]，ZIφ（p）dp>0。（14） 函数φ用于设置每个分位数的权重。在实践中，φ似乎是投资者表达其对风险的主观态度的工具。接下来，Acerbi【10】给出了以下定义2.4（光谱风险度量），如果风险规避函数φ∈ L（[0，1]）满足：（1）φ为正，（2）φ增加，（3）| |φ| |=1。然后我们调用函数mφ（X）：=ZF-1X（p）φ（p）dp，X∈ X（15）是由φ生成的光谱风险度量。Acerbi[10]证明了光谱风险度量是一致的。φ是单调递增函数这一事实是证明次可加性的关键。这一事实为我们提供了对一致性概念的直观见解：“如果一个度量给更坏的情况赋予更大的权重，那么它就是一致的。”3一个新的风险度量系列：SlideVaR3.1 SlideVaR的基本结构为了方便起见，我们首先给出了SlideVaR的基本结构。使用上文第3.1节中的相同假设，给出损失X的两个置信水平α和β，α>β∈ X，SlideV aRφα，β（X）由SlideV aRφα，β（X）=S（Uφβ（X））·CV aRα（X）+[1定义- S（Uφβ（X））]·V aRβ（X）（16），其中Uφβ（X）：X→ R称为X的尾部厚度，S（X）：[最小（X），最大（X）]→ [0，1]是异常化函数。根据定义，SlideV aRφα，β是CV aRα和V aRβ的组合。置信水平α和β有不同的含义。较小的一个β对应于坏的情况，而largeroneα对应于最坏的情况。

SlideVaR的风险态度由S（Uφβ（X））控制。当S（Uφβ（X））=0时，SlideVaR最具攻击性。它表示不良情景的最小损失（即V aRβ）。当S（Uφβ（X））=1时，SlideVaR是最保守的。它表示最坏情况下的平均损失（即CV aRα）。当S（Uφβ（X））时∈ （0，1），风险态度介于最激进和保守之间。回顾Gluev aRα，β（X）=ω·V aRα（X）+ω·CV aRα（X）+ω·CV aRβ（X），（17）很容易发现SlideVaR和GlueVaR具有相似的视角。然而，受变动风险度量框架的限制，GlueVaR的系数是常数。当市场处于波动性极高的时期时，VaR往往会低估一些灾难性损失。此时，组合的VaR部分将削弱GlueVaR覆盖风险的能力。相反，由于CVaR比VaR更保守，CVaR部分将导致低波动或轻度波动期间的GlueVaR过度膨胀。考虑∧VaR，∧V aRα（X）=inf{X∈ R:P[X 6 X]>λ（X）}。（18） 因为∧VaR是具有一组置信水平的最小VaR，无论损失分布如何变化，∧VaR仍然是具有一定置信水平的分位数。这意味着∧Var只能从置信度方面进行调整。因此，在某些极端情况下，∧VaR和VaR可能会导致同样令人厌恶的结果。相反，SlideVaR覆盖极端风险的能力将随着CV aRα（X）比例的增加而增加。可以看出，Uφα（X）是SlideVaR可变风险态度的关键。它还直接影响SlideVaR在不同市场条件下的性能。3.2尾部厚度：Uφα（X）在本节中，我们定义了一个指标Uφβ来描述损失β-尾部分布的特征。

它不仅是调整风险态度的基础，也充分反映了参与者的主观态度。定义3.2鉴于置信水平β，指标Uφβ定义为：Uφβ（X）：=ZF-1X（p）φβ（p）dp。（19） 函数φβ∈ L（[0，1]）是φβ（p）=（0，如果p<βφ（p），如果p>β（20），其中φ∈ L（[F-1X（β），1）满足：（1）φ为正，（2）φ为非递减，（3）| |φ| |=1。非递减函数φβ表明，对于低于β%分位数的分位数，我们给予它们0权重。相反，我们对大于β%分位数的较大分位数赋予更大的权重。因此，关于两个损失X，X∈ X满意（F-1X（p）6=F-1X（p）如果p<β，F-1X（p）=F-1X（p）如果p>β，（21）我们有Uφβ（X）=Uφβ（X）。（22）因此，Uφβ（X）专门用于描述β-尾分布的特征。我们将尾部指标Uφβ（X）称为X的尾部厚度。事实上，Uφβ是一种光谱风险度量。根据单调性，我们有φβ（X）∈ [最小（X），最大（X）]。（23）考虑到SlideVaR的结构，使用Uφβ（X）确定组合中元素的权重。因此，我们需要定义一个归一化函数，将Uφβ（X）转换为0到1之间的值。定义3.3我们称非递减函数（x）：[最小（x），最大（x）]→ [0，1]（24）归一化函数S（x）。结合Uφβ（X）和S（X），我们在SlideV aRφα，β（X）表达中使用S（Uφβ（X））作为CV aRα（X）的权重。此外，因为S（x）∈ [0，1]，V aRβ（X）6 SlideV aRφα，β（X）6 CV aRα（X）。（25）这就是为什么Uφβ（X）专门设计用于β-尾部分布的原因：无论β左侧分布的形状如何，相应的风险都包含在所有可能的最小滑动风险中。S（Uφβ（X））满足以下单调性：定理3.1（Mon1）：十> X个∈ X，S（Uφβ（X））>S（Uφβ（X））。（26）（Mon2）：如果∈ R和a>0，然后S（Uφβ（X+a））>S（Uφβ（X））。

（27）如果a 6 0，则S（Uφβ（X+a））6 S（Uφβ（X））。（28）（Mon3）：如果λ∈ R和λ>1，然后S（Uφβ（λX））>λS（Uφβ（X））。（29）如果0 6λ6 1，则S（Uφβ（λX））6λS（Uφβ（X））。（30）上述定理是Uφβ（X）和S（X）单调性的简单推论。由于CVaR比VaR更为保守，且α>β，这些单调性特性反映出，随着损失规模的增加，SlideVaR的保守性程度增加。对于不同的Tx，函数φ是固定的。通过定义函数φ，投资者可以在一个独立于市场表现的位置上表达他们对分布尾部的看法。因此，尾部厚度Uφβ（X）可以作为投资者对市场的评价。该函数反映了投资者的市场评估，影响了投资者的风险态度。例如，在经济危机期间，我们可能更倾向于使用非常保守的策略。因为恐慌可能使我们对任何混乱都非常敏感。相反，当经济繁荣时，为了赚取更多利润，我们可能会倾向于使用更具侵略性的策略，对损失具有更高的容忍度。3.3投资者的主观态度Lidevar充分考虑了从业者的主观态度。由于Uφβ（X）被设计为用一个数字来描述分布特征，因此它可以被视为投资者对市场状况的评估。φβ（p）可被视为一条“规则”，用于确定该“评估”中某个分位数的比例。事实上，φβ（p）既是客观的，也是主观的。一方面，φβ（p）是p的函数∈ [0，1]，独立于损失X的分布。即，一旦确定φβ（p），“评估规则”将不受市场变化的影响。另一方面，“规则”完全由投资者的主观态度决定。例如，（a）在[β，1]中，φβ（p）是凸的。