金融网络中的战略支付

此外，战略激励因素主要来源于网络中的循环——在现有的最大流量游戏工作中，这种情况是不存在的，因为网络被认为是非循环的。在我们的游戏中，计算给定策略文件的清除状态的问题与[15]中研究的稳定流量的概念密切相关。在稳定流问题中，每个节点都配备了一个外部给定的优先顺序，而不是传入和传出弧。始终存在稳定的水流，稳定的水流集形成一个晶格。在[9]中，该模型已扩展为加班设置。1.3具有支付策略的金融网络网络模型。我们考虑艾森伯格（Eisenberg）和诺伊（Noe）[12]提出的金融网络模型。有一个网络G=（V，E）和机构或企业的节点集V。各公司v∈ V拥有价值为axv的外部资产≥ 此外，这些公司通过一系列负债相互关联。各项责任（u、v）∈ E是来自FIRM u的定向边∈ V至FIR m V∈ 五、重量c（e）≥ 某些边的0 e=（u，v）是u欠v的钱的数量。我们用e+（v）={（v，u）表示∈ E} 通过E-（v） ={（u，v）∈ E} v的输出边和输入边集∈ 分别为V。总负债l（v） of FIRM v是指FIRM v欠其他公司的总金额，即：。，l（v） =Xe∈E+（v）c（E）。我们努力理解计算复杂性的问题。因此，我们将假设输入中的所有数字，即所有axvand c（e）都是整数。我们考虑基于战略支付决策的清算机制。满足0的资金流≤ fe公司≤ c（e）。给定各边缘的资金流，v公司的内部资产是来自其他公司的总收入，即aiv=Xe∈E-（v） fe。v的总资产是外部和内部资产av=axv+aiv之和。

如果总资产严格小于总负债，即平均价值<l（v） 。艾森伯格（Eisenberg）和诺德（Noe d e fi）通过按比例支付的资金流，定义了一种清算机制。在其清算机制中，每家v d公司在其支出中按比例分配其总资产，直到所有债务都付清为止。更正式地说，每条边e∈ E+（v）分配了货币流量（av）=minnc（E），av·c（E）l（v） o.公司v保留盈余av- l（五）≥ 0（如果有）。支付策略。在本文中，我们分析了企业战略性地操纵其支付时的激励。因此，我们研究如下定义的货币流动游戏。各公司v∈ V为每个输出边e选择参数化流量函数fe（y）作为策略∈ E+（v）和每个y≥ 策略fv=（fe（y））e∈E+（v）mus t满足每个y≥ 00≤ fe（y）≤ c（e）（容量限制）（1）Xe∈E+（v）fe（y）=最小{y，l（v） }（无欺诈约束）（2）直观地说，对于每一个可能的价值y，战略都是特定的≥ v公司可用总资产的0，v公司将如何分配这些资产来偿还债务。能力约束确保没有债务被超额支付，无欺诈约束要求只要有未支付的债务，v就不侵吞资产。这一定义包括按比例支付，作为一种可能的策略。给定策略文件f=（fv）v∈五、 a清除状态a=（av）V∈相对于资产向量，av=axv+Xe=（u，v）∈E-（v） fe（au）（固定点约束）（3）适用于所有节点v∈ 五、公司v的效用是av，即v的目标是选择一种策略，以最大化清算状态下的总资产。提案1。如果所有fe（y）连续，则至少存在一个清除状态。证明是Brouwer不动点定理的直接应用，因此省略了。如果策略不是连续的，则很容易在不存在清除状态的情况下构建示例。

尽管如此，即使是连续策略文件f，也可能存在多个清算状态a（甚至f或p比率文件）。考虑到具有紧凑表示的非常复杂的策略文件，计算一个平衡状态甚至可能变得很困难。边缘排名游戏。在本文的其余部分中，我们将重点讨论一组丰富而有意义的策略空间，对于这些策略空间，我们可以使用简单的算法找出一个唯一的清除状态。通过排名或资历，可以得出一种直观且具有良好动机的策略类别。在边缘排名游戏中，每个玩家∈ V根据E+（V）的严格和总体顺序花费其资产来偿还债务，我们用排列πV=（E，E，…）表示。v首先支付edgee=πv（1）的所有债务，然后e=πv（2）等，直到所有债务全部付清或资产耗尽。形式上，fei（y）=min{c（ei），max{0，y-Pj<ic（ej）}}。v的边缘排名策略完全由排名πv描述，因此我们用π=（πv）v表示边缘排名游戏中的策略文件∈五、 硬币排名游戏。作为此类策略的严格超集，请考虑以下情况：∈ V可以用其资产以单调的方式偿还债务。在硬币排名游戏中，我们依赖于CEA和axv所有值的综合性，并将货币流量解释为离散化为值为1的“硬币”。对于货币排名策略，每个支出边缘e的参数化流量函数fe（y）∈ E+（v）定义为非负整数fe（y）：N→ N、 它们的特点是有能力和无欺诈约束，并且，对于每个y，y′∈ N带y≥ y′fe（y）≥ fe（y′）（单调性约束）（4）注意，通过让硬币的值趋向于0，硬币排名策略变为任意单调分类fe（y）：R≥0→ R≥0.硬币排名策略概括了边缘排名策略。

也许与直觉相反，每个coinranking游戏也是一个特殊的边缘排名游戏——用权重c（e）替换每个边缘e。许多单位权重的多个边缘将一个coin ranking g游戏扩展为一个等价的边缘排名游戏。这种扩展意味着表示大小上的伪多项式爆破。然而，结构对等对于描述和分析硬币排名游戏的解决方案非常有用。直观地说，在扩展版ge排名游戏中玩硬币排名策略时，玩家会将第一枚硬币的资产支付给多版geπv（1），将第二枚硬币支付给πv（2），等等，直到所有债务都付清或v运行了所有资产。因此，硬币排名策略的再现可能需要虚拟多边形大小（即使在原始的非扩展游戏中也是如此）。我们将在第3.1节中讨论此问题。事实证明，在每一个硬币排名游戏中，我们都可以将注意力限制在一个子集上，该子集包含可比较代表的硬币排名策略。正在清除状态和实用程序。对于边缘或硬币排名游戏中的给定策略文件π，我们使用清算状态^a确定效用，在此状态下，我们选择网络中总收入最大化的一个，即所有公司可用的总资产之和rev（π，a）=Xv∈Vav=Xv∈Vaxv+Xe=（u，v）∈Efe（au）=Xv∈Vaxv+Xe∈E+（v）fe（av）。在许多情况下，清算状态是唯一的，没有基于最大收入的选择。此外，当一个边排名博弈中存在多个清除状态时，结果表明它们可以被安排成一个具有坐标最大值诱导偏序的格。我们选择坐标最大清除状态，因为它最大化Rev（π，a）作为社会福利的一个自然度量。从这个意义上讲，边缘排名游戏的性能反映了[12]中按比例支付的条件。

我们在后续章节中证明了这些条件。2清算状态2.1资金流游戏中的流通结构我们观察到资金流游戏中清算状态的有用流通表示。在给定策略的情况下，固定点和无欺诈约束意味着对任何清算州而言，资金流动的稳健性。现在使用辅助来源s，我们可以以流通的形式表示a中的所有货币流动。我们通过添加节点s来构建流通网络G′，对于每个v∈ V我们添加一条辅助边（V，s），其容量为c（（V，s））=∞, 对于每个v∈ 当axv>0时，我们添加一条辅助边（s，V），其中c（（s，V））=axv。这样，v的外部资产通过边缘流动（s，v）成为内部资产。w的剩余资产成为边缘流动（w，s），即s提案2的内部资产。对于货币流动博弈中策略文件f的每个清算状态a，流动G′可以分解并表示为循环。辅助电源s具有资产ofas=Pv∈Vaxv和所有辅助边（s、v）饱和。证据这是固定点和无欺诈约束的简单结果。S urplus在Firm v∈ E只有在v支付所有债务时才存在∈E+（v）fe（av）=最小值（av，l（v） ）。此外，总外部资产构成总净收入：十五∈Vaxv=Xv∈Vaxv+Xv∈VXe=（u，v）∈E-（v） fe（au）-十五∈VXe=（u，v）∈E-（v） fe（au）=Xv∈变风量空调-Xe公司∈E+（v）fe（av）=Xv∈Vmax{0，av- l（v） }每家公司的净收入被转移到辅助来源，并构成资产。因此as=Pv∈Vmax{0，av- l（v） }=Pv∈Vaxv和所有辅助ed ges（s，v）饱和。总的来说，通过将剩余资产路由到s，我们可以在每个节点获得精确的流量守恒。因此，水流可以分解并表示为循环。2.2单调策略的结构格子结构。考虑一个任意的资金流动游戏和一个单调策略。

设A为战略文件f的可行清算状态集。我们证明了（A，≥)通过坐标比较形成晶格。正式地，a≥ a’i ff av≥ a′v代表所有v；和a>a′i ff av≥ a′vf对于所有v和av>a′vf对于至少一个v。定理3。对于具有单调策略的货币流动游戏中的每一个策略文件f，这对（a，≥) 形成晶格。证据考虑A=na0≤ 影音≤ axv+Pe∈E-（v） c（e），v∈ Vo，所有可能的资产部门的集合。显然，（A，≥) 通过上述坐标比较形成晶格。对于agiven战略文件f，地图g:A→ A，g（A）v=axv+Pe=（u，v）∈E-（v） fe（au）是每个形式v的单调函数∈ V，因为对于每条边e=（u，V）∈ f i m u的策略意味着f i在au中是单调的。显然，清算状态集A是G的固定点资产向量集。应用克纳斯特-塔尔斯基定理得到了结果。有偿付能力的公司。上一个结果暗示了给定单调策略函数的^a f的唯一性。我们观察到另一个相互关联的性质，它表明，在单调的资金流动博弈中，只要所有破产企业都坚持自己的策略，最大清算状态^a是唯一的。由于Everysttrategy满足能力要求且无欺诈约束，因此，如果有偿付能力的公司收到相同的资产，则其支付的款项保持不变，反之亦然。因此，有偿付能力的企业的战略对资产向量^a没有影响。对于任何有偿付能力的企业v，任何一种战略都是最好的应对策略。提案4。对于给定的资金流动博弈，考虑任何单调策略文件f、相应的清算状态^a和任何带^av的有偿付能力的文件v≥ l（v） 。每种策略f’都是对v的最佳反应，而其他策略f-vand导致相同的清除状态^a.Proof。考虑偏差f′v，结果状态f′=（f′v，f-v） 以及由此产生的收入最大化清算状态a′。

假设^a 6=a′。公司v为溶剂un der^a，thusPe∈E+（v）fe（^av）=l（v），fe（^av）=c（E）。利用定理3，我们可以假设w。l、 例如，^a>a′（即^au≥ a’uF代表所有公司u，而^aw>a’wF代表至少一家公司w）。我们构造了一个等价的博弈，在这个博弈中，我们移除了所有的边素E+（v），而将外部资产增加到“ax（u）=axu+c（E），对于所有的u和（v，u）∈ E+（v）。观察到^a在构建的博弈中仍然是一个可行的清除状态。但是，在原始游戏中使用av的任何清除状态≥ 在非欺诈条件下，l（v）诱导f（av）=c（e），与vdue的选择策略无关。因此，任何具有av的清算状态a≥ 新博弈中的l（v）在旧博弈中仍然是一种可行的清算状态。我们得出结论，在f′下，^a是一种可行的清除状态。这与a′的最大值相矛盾。3硬币排名游戏3.1表示货币流动游戏的一个实例由网络G和边缘权重C（e）和外部资产axu的整数给出。因此，对于c（e）和axu，实例的表示在输入数字中是对数的。相比之下，如果我们考虑任意的货币排名策略，对于第五种货币，这一特定的排名超过了所有价值为1的货币。这是线性inPe∈E+（v）c（E），因此，在实例表示中只有伪多项式。我们的第一个观察结果是，在每一个硬币排名游戏中，我们都可以将注意力限制在多项式表示的阈值排名策略上。阈值排序策略πtv=（πv，τv）由每突变πvover E+（v）和阈值向量τv=（τE）E组成∈E+（v）带0≤ τe≤ 每个e的c（e）∈ E+（v）。解释如下。在πtv中，FIRM v首先支付τeto每条边e∈ E+（v），按πv的顺序依次。然后，它支付剩余的c（E）-τeto按照πv给出的顺序计算每条边。也就是说，v首先考虑边πv（1），并将第一个τπv（1）硬币支付给这条边。

接下来的τπv（2）硬币支付给边缘πv（2）等。直到| E+（v）| j=1τπv（j）硬币支付给边缘（或v耗尽资产）。然后，剩下的c（πv（1））- τπv（1）货币支付给边缘πv（1），然后支付下一个c（πv（2））- τπv（2）硬币到πv（2）等。事实上，我们可以在硬币排名游戏中限制对阈值策略的关注。提案5。对于具有清除状态^a和每个状态v的硬币排名游戏中的每个策略文件f，都有一个阈值排名策略πtv，使得该文件（πtv，π-v） 具有相同的clearingstate^a，因此，所有公司的公用设施都相同。证据在这个证明中，我们使用了硬币排名游戏的egde排名表示。让πd在边缘排名代表中显示策略。如果v是^a中的溶剂，则结果来自上述命题4。考虑破产公司v。对于文件π，考虑计算清算状态^a的TopCycleIncreasealgorithm。由于v破产，当算法终止时，存在一些未付的、top rankedunit权重多边（v，w）。对于阈值策略πtv，我们让πv（1）=（v，w）。其他边按任意顺序指定。我们指定阈值τe=fe（^av），即等于清算状态^a下边缘e上的货币流量。观察到^a在文件中保持清算状态（πtv，π-v） 。Thu s，偏离πvtoπtv不会减少v的资产。另一方面，一旦算法分配了^avtov的资产，它将精确地支付τeto每个ed ge e∈ E+（v）。然后v开始支付剩余的部分，因此πv=（v，w）是排名最靠前的边。因此，v的状态与π上的算法结束时的状态相同。因此，v不能成为任何进一步的顶级边循环的一部分，因为否则π中也会出现这种情况。

因此，^a是（πtv，π）的最大收入清算状态-v） 。3.2均衡的存在和计算我们的第一个结果是，在每个硬币排名游戏中，都有一个强大的均衡，使所有公司的总收入最大化。这种强平衡可以在多项式时间内计算出来。特别是，将实例（G、c、ax）视为一种货币流动博弈和任意清算状态，即流通网络G′中价值最大的流通。这种循环也是门槛排名策略中一种强大均衡的清晰状态。定理6。对于每一个硬币排名游戏，都有一个强大的资金流均衡，从而使网络中的总收入最大化。强平衡可以用多项式时间计算。证据考虑流通网络G′=（V，E′）。最佳循环f*这使得总流量值最大化，使s的所有输出辅助边饱和。因此，它使所有表格的总资产最大化∈E′f*e=2Xv∈Vaxv+Xe∈Ef公司*e=Xv∈Vaxv+版本（f*) .f*可以在强多项式时间内计算[30]。由于所有边权重都是整数，我们可以假设所有f*eare积分。我们可以将这种循环转化为具有阈值排名策略的策略的清算状态。每个表v选择任意阶πvover E+（v）并设置阈值τE=f*e、 显然，在该策略文件中，最优循环对应于最大r均衡清除状态^a。让我们证明该策略文件π是一个强平衡。A联盟C V of firms有一个可预测的偏差π′C=（π′V）V∈C与π′C的联合偏差后的到岸价，新文件中的结果资产a′（π′C，π-C） 绝对更好，即a′v>^AV每v∈ C、 我们会的没有联盟 V有一个可证明的偏差。假设存在一个具有可证明偏差的联盟C。检查新文件（π′C，π-C） 考虑公司v∈ C

由于a′v>^av，必须有一条边（u，v）∈ E-（v） 这在新的f′e（a′u）>fe（au）中有更严格的流入流量。现在考虑节点u。Ifu∈ C、 然后a′u>au，所以还有一些边E-（u） 这在新文件中有着严格意义上更多的流入流。否则，如果u 6∈ C、 u仍然使用从f获得的阈值排名策略*.由于这是一种单调的策略，只有当u拥有更大的资产时，才会出现更高的流量（u，v）。因此，a′u>au，所以还有一些边E-（u） 这在新文件中有更多的流入。我们可以不确定地重复这个论点。因此，必须有一个边的循环，所有边都有更多的流动（π′C，π-C） 在π以下。然而，这种循环可用于增加水流循环。这与^a代表最佳循环相矛盾。备注7。对于可证明的偏差，我们甚至可以允许任意的连续策略和任何选择的偏差清除状态。因此，从f*即使在一般的资金流动游戏中也是一种天文平衡（有适当的清算状态选择）。备注8。如果允许s偏差，则联盟（即a′u≥ ^AU适用于所有u∈ 至少一个v的C和a′v>^AV∈ C） ，这是一个简单的练习，可以看到存在硬币排名游戏，其中不存在稳定状态（称为超强均衡）。虽然计算社会最优强均衡在计算上很容易，但计算一般策略文件的最佳响应策略可能是强NP难的，因为最佳响应可以为计算困难的决策问题提供答案。对于下面的结果，我们假设硬币排名游戏在边排名表示中给出，作为一个具有单位权重多条边的网络。请注意，我们感兴趣的实例中的边权重可以限制为集{0，1}。