分位数频率分析和频谱发散度量

（b） 此处和之后的粗体字突出显示了单侧95%置信区间上限（p1 64 p 1 p 1000）小于或等于0.05（相当于p0 039）的估计DP值。观察到一条（垂直线）。与表1中的标准测试类似，表2中的QFA测试表明，2008–2012年系列的两个模型都可能缺乏fit，如KS指标的小p值所示，与分位数上的聚合方法无关。本系列的WL测试响应不如KS测试强烈。根据图3和这些指标的不同灵敏度曲线（第3节），这表明可能在谱峰所在的低频区域缺乏fit。Ksmean比Ksmax反应更灵敏的观察结果表明，与白噪声的可能偏差分布在广泛的分位数范围内，而不是集中在少数几个分位数上。对于1998–2002系列，与表1中的标准测试相比，Ksmean和W Lmeanin的较小p值对GARCH模型产生了一些怀疑。正如p值的增加所表明的那样，GJR-GARCH模型似乎为1998–2002年系列提供了更好的拟合。然而，表1中标准试验的p值似乎表明了相反的结果。图7有助于QFA更仔细地检查残差。

对顶部面板的目视检查证实，GARCH模型的残差中存在一定的白噪声偏差，尤其是0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0KS-MAXCDF1000 1200 1400 1600 1800 2000 22000.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0WL-MAXCDF0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.40.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0KS-MAXCDF1000 1200 1400 1600 1800 2000 22000.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0WL-MaxCDF图6：顶行：2008–2012年系列GARCH残差白噪声假设下KSmax（左）和W Lmax（右）的模拟累积分布函数。底行：2008–2012年系列的GJR GARCH残差相同。垂直线表示度量的观察值。1998-2002年和2008-2012年系列，偏差出现在许多分位数水平，证明表2中KSmeans的smallerp值是合理的。对图7底部面板的目视检查表明，GJRGARCH模型在不同程度上减少了这些偏差，证明表2中p值的增加是合理的。为了执行基于QFA的拟合优度直接测试，我们首先通过使用函数模拟（11）中的序列，获得（7）–（10）中的预期光谱qand Q，该函数具有估计参数和高斯分布中的随机样本，校准后与观测残差的均值和方差相匹配。图8描述了GARCH和GJR-GARCH模型的累积分位数谱。正如我们所见，虽然GARCH模型只产生相对于分位数水平对称的分位数谱，但GJR-GARCH模型成功捕获了分位数周期图中的一些不对称特征（图3的底部面板）。

其他实验（未显示）证实，如果将高斯分布替换为0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.10.20.30.40.50.60.70.80.9频率分位数0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.10.20.20.30.40.60.70.80.9频率分位数0.000.050.100.150.250.300.350，则无法产生此类不对称光谱.400.450.500.00 0.05 0.100.15 0.20 0.250.10.20.30.40.50.60.70.80.9频率分位数级别0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.10.20.30.40.50.60.70.80.9频率分位数级别0.000.050.100.200.250.300.350.450.500.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.10.30.40.50.60.70.80.9频率分位数级别0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.00 0.05 0.10 0.15 0.200.250.10.20.30.40.50.60.70.80.9频率分位数水平0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.50图7：顶行：1992-1996（左）、1998-2002（中）和2008-2012（右）系列GARCH模型残差的累积分位数周期图。底层：GJR-GARCH模型残差的累积分位数周期图。垂直线表示白噪声累积相等周期图的预期行为：频率均匀增长，分位数水平恒定。具有非对称分布的GARCH模型（例如，具有期权的非对称高斯分布）。通过查看图9中的图表，可以进一步了解GJR-GARCH在1998–2002年系列中相对于GARCH所取得的改进，图中显示了0.1、0.5和0.9级系列的分位数周期图以及GARCH和GJR-GARCH模型的分位数谱。

两种模型在0.5和0.9水平上几乎相同；但GJR-GARCH在0.1级时产生了比GARCH更强的低频峰值，这与观察到的模式更接近。我们使用指标（7）–（10）来测量观测到的分位数周期图与已安装模型的分位数谱的偏差。这些指标的零分布是在高斯白噪声的固定模型下，通过参数自举从模拟序列中获得的。表3显示了所有车型系列组合的p值。0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.10.20.30.40.50.60.70.80.9频率分位数级别0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.10.20.30.40.50.60.70.80.9频率分位数级别0.000.050.100.200.250.300.350.400.450.500.00 0.05 0.10 0.20 0.250.10.20.30.40.50.60.70.80.9频率分位数级别0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.00 0.05 0.10 0.15 0.200.250.10.20.30.40.50.60.70.80.9频率分位数级别0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.10.20.30.40.50.60.70.90频率分位数级别0.000.050.100.200.250.300.400.450.500.00 0.05 0.15 0.20 0.250.10.20.30.40.60.70.80.9频率分位数级别0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.50图8：顶行，1992-1996（左）、1998-2002（中）和2008-2012（右）系列的GARCH模型的模拟累积分位数谱。下一行，模拟GJR-GARCH模型的累积分位数谱。结果对1992-1996年系列的两个模型和1998-2002年系列的GJR-GARCH模型都产生了一些疑问，表明在WL更敏感的中频区域可能缺乏FIT。另一方面，表3中2008-2012年系列缺乏有效性的证据不如表2中的证据有力。

这可能是由于谱峰的强统计可变性掩盖了残差中的次级偏差。因此，考虑剩余法和直接法都是有益的。通过选择IN（7）–（10），将QFA的重点放在不同的数量区域，可以进行更详细的深入诊断测试。例如，受金融时间序列不对称行为的激励，人们可以分别放大中间分位数、较低分位数或较高分位数，以确定模型在捕获中小回报、较大负回报或较大正回报行为方面可能存在的失败。表4包含此类诊断分析的结果，用于说明表3中基于所有分位数的聚合度量的结果。深入诊断表明，中间分位数区域，表示small0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.500.0000.0050.0100.0150.0200.0250.030频率0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.500.0000.0050.0100.0150.0200.030频率0.00 0.05 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.500.0000.0050.0100.0150.0200.0250.030频率0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.450.500.0000.0050.0100.0150.0200.0250.030频率0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.500.0000.0050.0100.0150.0200.0250.030频率0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.500.0000.0050.0100.0250.0250.030频率图9：顶行、分位数周期和GARCH Fit（粗线），用于1998–2002系列，级别为0.1（左）、0.5（中）和0.9（右）。除GJR-GARCH给出的fit外，下排与上排相同。至中等回报率，是1992-1996年系列GARCH和GJR-GARCH模型中可能出现的不足之处。

相比之下，代表大量负回报的下分位数区域在1998–2002年系列的模型中显示出缺乏症状，而代表大量正回报的上分位数区域则表明2008–2012年系列可能存在缺乏特徵的问题。4.2判别测试根据第3节所述的方法考虑表5中的判别测试结果。在本例中，我们对所谓的制度变迁问题感兴趣，即，我们想确定三个时期的SPX收益率序列是否可视为共同的潜在随机机制或不同机制的产物。制度变迁的一般问题已经通过多种方式得到解决，如建立明确允许制度变迁的时间序列模型和检测新制度的影响。Ang和Timmermann（2012）最近进行了一项调查。我们的方法取决于我们如何定义常见的随机机制。表5所示结果表3：通过直接逼近模型系列KSmaxW LmaxKSmeanW LmeanGARCH 1992–1996 0.604 0.074 0.392 0.0231998–2002 0.447 0.027 0.254 0.3602008–2012 0.142 0.705 0.040 0 0.842GJR-GARCH 1992–1996 0.917 0.059 0.692 0.0311998–2002 0.648 0.029 0.423 0.4092008–2012 0.229 0.666 0.051 0.812注。（a） 结果基于1000次参数引导运行。（b） 在所有频率上计算所有指标。基于三种GJR-GARCH模型。每个模型适用于三个系列中的一个，然后使用（7）–（10）中的指标对照其余系列进行检查。

我们选择GJR-GARCH模型而非GARCH模型，因为它们在拟合所有三个系列时表现更好，这是由表3中K均值的较大p值确定的。由于判别测试中使用了不同的模型，因此结果不一定是相互的。一般来说，如果在系列B上训练的模型不能充分拟合系列A，我们会说“系列A不同于系列B”。这与说“系列B不同于系列A”不同，因为后者意味着在系列A上训练的模型不适合系列B。这些测试的结果可能会有所不同，尤其是当模型无法与他们所训练的系列产生良好的匹配时。尽管如此，当模型与所有序列（包括模型训练序列）进行拟合优度测试时，仍可以通过检查相同指标的p值变化进行有意义的比较。例如，如果a系列与B系列模型的判别测试的P值较小，而直接拟合优度测试的P值较大，则表明a系列可能与B系列不同。将此标准与表3中的结果一起应用于表5中的结果，表明（a）系列1992-1996可能与系列1998-2002和系列2008-2012表现不同，尤其是（b）系列2008-2012可能与系列1992-1996和系列1998-2002表现不同。

结果不建议表4：采用直接方法进行的基于QFA的拟合优度测试的p值：钻取中间数量模型系列KSmaxW LmaxKSmeanW LmeanGARCH 1992–1996 0.491 0.023 0.304 0.0001998–2002 0.257 0.110 0.207 0.780208–2012 0.029 0.817 0.230 0.932GJR-GARCH1992–1996 0.527 0.014 0.416 0.0011998–2002 0.418 0.110 0.276 0.7772008–2012 0.101 0.781 0.290 0.935以下QuantilesModelSeries KSmaxW-LmaxKSmeanW-LmeanGARCH 1992–1996 0.321 0.578 0.209 0.5971998–2002 0.919 0.012 0.696 0.2342008–2012 0.325 0.821 0.195 0.403GJR-GARCH1992–1996 0.914 0.604 0.734 0.5931998–2002 0.890 0 0.008 0.555 0.248208–2012 0.287 0.837 0.151 0.418Upper QuantilesModelSeries KSmaxW-LMaxksmeang 1992-1996 0.805 0.686 0.801 0.5161998-2002 0.241 0.173 0.1620.0932008–2012 0.087 0.320 0.014 0.658GJR-GARCH1992–1996 0.572 0.659 0.750 0.5411998–2002 0.284 0.196 0.451 0.1312008–2012 0.080 0 0.314 0.014 0.673注。（a） 中间分位数限制在0 3 0 7之间，下分位数限制在0 0 3之间，上分位数限制在0 7 1之间。（b） 其他注释见表3脚注。表5：使用GJR-GARCH模型的基于QFA的判别测试p-Vaules KSmaxW LmaxKSmeanW Lmean1992–1996 1998–2002 0.191 0.055 0.182 0.0352008–2012 0.169 0.075 0.092 0.0351998–20021992–1996 0.794 0.027 0.526 0.2992008–2012 0.471 0.055 0.284 0.4472008–20121992–1996 0.001 0.421 0.009 0.3701998–2002 0.233 0.617 0.031 0.736注。见表3脚注。基于W Lmax，1998–2002系列可能与1992–1996系列表现不同，因为表3中的相同数据表明，1992–1996模型可能无法很好地拟合1992–1996系列。基于表6中详细的深入诊断测试以及表4中相应的拟合优度测试，可以对这些系列进行更多说明。

这些结果表明，1992-1996年系列可能与1998-2002年系列和2008-2012年系列不同，主要在中间分位数，可能在中频区域（后者由WL指标的响应性表示）。结果还表明，1998-2002年系列可能与1992-1996年系列和2008-2012年系列在一些较低的数量和中频区域有所不同（如W Lmax所示）。最后，结果表明，2008-2012年系列可能与1992-1996年系列在下分位数和上分位数以及1998-2002系列仅在上分位数表现不同，这两个系列都位于谱峰所在的低频区域（如KS指标所示）。请注意，1992–1996系列与其他低分位数高分位数系列之间的差异仅在1992–1996模型的帮助下提出，而不是在1998–2002模型或2008–2012模型的帮助下提出。

这是因为1998-2002年和2008-2012年模型中与低频谱峰相关的巨大统计可变性使得指标对差异不敏感。表6：使用GJR-GARCH模型的基于QFA的判别测试的p-Vaules:Drill-DownMiddle QuantilesSeriesModel KSmaxW LMaxmeanw Lmean1992–1996 1998–2002 0.420 0.016 0.275 0.0002008–2012 0.365 0.016 0.233 0.0001998–2002 1992–1996 0.383 0.132 0.308 0.7632008–2012 0.409 0.135 0.244 0.7692008–20121992–1996 0.160 0.726 0.320 0.9291998–2002 0.127 0.7632008 2 0.304 0.935以下量化系列模型KSmaxW LmaxKSmeanW Lmean1992–1996 1998–2002 0.159 0.545 0.110 0.4862008–2012 0.143 0.576 0.084 0.4481998–20021992–1996 0.882 0.017 0.609 0.2092008–2012 0.834 0.014 0.530 0.2722008–20121992–1996 0.001 0.732 0.005 0.0861998–2002 0.254 0.821 0.112 0.340量化系列模型KSmaxW LMax KSMeanw Lmean1992-1996 1998-2002 0.338 0.681 0.492 0.4822008-20120.156 0.679 0.172 0.4481998–20021992–1996 0.805 0.164 0.705 0.1062008–2012 0.185 0.173 0.215 0.1212008–20121992–1996 0.001 0.137 0.004 0.1651998–2002 0.056 0.228 0.008 0.525注。见表4.5的脚注结论性意见在本文中，我们介绍了一些用于时间序列模型诊断检查和时间序列判别分析的谱散度度量。这些指标基于最近提出的分位数周期图，这些分位数周期图源自三角分位数回归（Li 2008、2012、2013）。分位数周期图表示不同分位数和频率下时间序列的序列相关性。