分位数频率分析和频谱发散度量

此外，考虑累积分位数周期图Qnk的数组也很有用，其中Qnk:k kQnk（6）Qnk和Qnk都可以图形化显示为图像。通过视觉或数字方式研究这些二维阵列的模式，以了解它们所呈现的潜在序列依赖特性，这就是我们所说的分位数频率分析（QFA）。Koenker（2005）的R包可用于获得构建这些阵列所需的分位数回归系数（2）。特别是对于固定频率k，基于线性规划（Portnoy和Koenker 1997）的单一函数调用能够产生所有函数的回归系数。对软件包中的频率Kus进行并行化进一步加快了计算速度。图3描述了图2中threeSPX系列的分位数周期图和累积分位数周期图的数组。1998-2002年和2008-2012年系列的低分位数和高分位数出现了强烈的低频活动，而1992-1996年系列的低频活动较少。在所有系列中，尤其是1998-2002年和2008-2012年系列中，都发现了下分位数和上分位数之间的不对称性。

在1992-1996年和2008-2012年系列的中间分位数处也观察到较高频率区域的大值，反映出一些小收益的短期行为，可能需要进一步检查。0.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.10.20.30.40.50.10.30.50.70.9量化级别0.0050.010.0150.020.0250.030.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0250.0300.10.20.40.50.10.30.70.9量化级别0.0050.010.0150.020.0250.030.0000.0050.0100.0200.0300.10.20.30.40.50.10.30.50.70.9分位数0.0050.010.0150.020.0250.030.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.10.20.30.40.50.60.70.80.9频率分位数级别0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.10.20.30.40.50.60.70.80.9频率分位数级别0.000.050.100.150.200.250.300.350.450.500.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.10.20.20.30.40.60.70.80.9频率分位数级别0.000.050.100.150.250.300.350.400.450.50图3：归一化分位数周期图（顶行）和累积分位数周期图（底行）1992–1996系列（左）、1998–2002系列（中）和2008–2012系列（右）。

此处和之后的所有累积等效周期图仅绘制为大多数保留特征所在频率的下半部分。3光谱发散度量和应用鉴于分位数周期图和累积分位数周期图的阵列，可以借用传统的光谱分析技术来创建基于QFA的光谱发散度量，以量化观察到的序列依赖行为与期望行为之间的差异。例如，受Kolmogorov-Smirnov统计（例如，Priestley 1981）的启发，我们定义了Ksmax:max w maxkQnkQk（7）KSmean:mean w maxkQnkQk（8）在这些表达式中，Qdenotes表示模型的预期累积分位数谱，定义了要关注的分位数频率区域，是基数，而w 0是不同分位数级别的权重函数。这两个指标的区别在于Kolmogorov-Smirnovstatistics在分位数级别上的聚合方式。预计当偏差集中在几个分位数上时，Ksmax会更加敏感，而当偏差分布在多个分位数上时，Ksmax会更加敏感。此外，我们的动机是所谓的Whittle似然（Whittle 1962）和定义新的Lmax:max wkdqnkqk（9）W Lmean:meanwkdqnkqk（10），其中x 0的dx:x log x 1是具有唯一最小值atx1的非负凸函数。这些指标检查分位数周期图，而不是累积分位数周期图。它们与Kullback-Leibler散度密切相关（Kullback和Leibler 1951）。

请注意，也可以使用非标准化分位数周期图和频谱来确定WL指标，以考虑边缘分布。与基于普通周期图的传统谱散度度量类似，（7）–（10）中基于QF的谱散度度量可用于时间序列模型优度的诊断检查。在本文中，我们考虑两种方法，分别称为残差法和直接法。在残差法中，将度量应用于模型的残差，以检查是否以及在何处可能违反模型的白噪声假设。为此，有必要设置qk1 K Qkk K，其中K表示0中的傅里叶频率总数。基于QFA的残差方法可以补充白噪声的标准portmanteau测试，例如基于平方残差的自相关性的Ljung-Box（LB）测试，以及基于平方残差的线性回归R统计量的拉格朗日乘数（LM）ARCH测试。基于QFA的测试的一个优点是，它们避免了指定某些敏感参数的需要，例如LB测试中的自相关数和LM测试中的自回归顺序。在直接方法中，谱发散度量直接应用于原始时间序列，而不是残差。在假定的模型下，目标qand Q被预期分位数谱和累积分位数谱所取代。

由于这些光谱的数学公式通常不可用，我们求助于蒙特卡罗模拟，其中包括（a）使用随机生成的残差从已确定的模型模拟大量独立实现，（b）计算每个实现的分位数周期图和累积分位数周期图，（c）计算（b）中获得的结果在实现过程中的总体平均值。谱散度度量的另一个应用是基于模型的判别分析，以确定两个观测到的时间序列是否可以被视为具有相似的序列依赖特性。在本应用程序中，我们首先为一个系列设置一个合适的模型，然后假设该模型通过良好性测试，使用基于QFA的指标检查其与其他系列的匹配程度。我们将此应用程序称为判别测试。固定分位数水平的分位数周图与普通周期图具有类似的渐近统计特性（Li 2008；2012）。因此，在包含单个值的特殊情况下，可以使用普通周期图的常规WL和KS统计的共有理论（Huang、Ombao和Stoffer 2004；Kakizawa、Shumway和Tanaguchi 1998）来近似（7）–（10）中基于QFA的指标的分布。然而，当包含多个值时，渐近理论变得更加复杂。我们将这一理论的发展留给未来的研究，同时本文将重点放在通过更实际的手段证明QFA方法的有用性上。出于实际目的，我们建议采用一种众所周知的技术，称为参数自举（Efron和Tibshirani 1993）。

在这项技术中，大量的独立实现都是从已确定的模型中模拟出来的，所得指标的经验分布用于确定观测指标的优度检验和判别检验的P值。虽然除了其他模型参数外，它还需要指定残差的分布，但参数0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.500.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.018频率0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0。40 0.45 0.500.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.6中心频率图4：左，分位数周期图，是白噪声频谱和以频率01为中心的窄带偏差的混合物。右，当中心频率变化时，分位数周期图抗白噪声的光谱发散度量（重标）：实线，Whittle似然（WL）；dashedline，Kolmogorov-Smirnov统计（KS）。bootstrapping技术的优点是实用，能够解决渐进理论无法解决的度量的细节示例属性。（7）–（10）中的指标预计会对不同类型的光谱偏差做出不同的响应。考虑一个玩具示例，其中目标是白噪声频谱，qk1 k，观察到的分位数周期图是目标和以不同频率为中心的窄带偏差的混合物。换言之，设▄qnk1▄qk k；C对于某些0 1，其中k；cis平均值和标准差的正态分布，重新标度至令人满意的KK；图4的左面板描绘了这样一个分位数周期图（对于固定值），分别为0 1、c2 0 1和0 003。图4的右面板显示了中心频率C2在0 0 5之间变化时的频谱发散度量。

为了便于比较，通过中心频率上的行程值单独缩放指标。正如我们所见，无论偏差的位置如何，WL都同样敏感，而KS则取决于位置。更具体地说，当偏差发生在低频和高频时，KS更敏感，但当偏差发生在中频时，KS就不那么敏感了。这些特性有助于理解案例研究中的诊断结果。4案例研究在本节中，我们展示了图2所示金融时间序列的一些结果，以从经验上证明QFA方法的潜在有用性。这些系列是从标准普尔500指数的每日损失值得出的每日日志回报。具体而言，如果YT和YT分别表示交易日和t1的收盘值，则t日的对数回报定义为Xt：对数YT。选择这三个时期是为了代表不同的社会和经济状况：1992-1996年期间波动性相对较低，没有重大事件；1998-2002年期间波动较大，包括网络泡沫和2001年9月11日事件；由于金融危机及其后果，2008-2012年期间的波动性非常高。

本研究仅采用尺度不变统计量，因为我们主要关注的是它们的序列依赖特性，而不是它们明显不同的尺度和边际分布。如第3节所述，该研究有两个诊断部分：（a）通过拟合优度检验，以检查某些流行的金融时间序列模型是否以及在何处可能会使用单独和直接方法缺乏拟合；（b） 判别测试，用于检查这些序列在基于模型的基础序列相关性属性中是否存在差异以及在哪里可能存在差异。在许多模型上进行了广泛的数值试验。在本文中，我们仅详细介绍了我们对两种最流行的模型的分析：GARCH模型（Engle 1982；Bollerslev 1986）和GJR-GARCH模型（Glosten、Jagannathan和Runkle 1993）。这些模型属于所谓的ARMA-APARCH系列，可表示为XTPIIXT iZtpjjZt JZT t tIID 0 1rtapiait icit irpjbjrtjr 0 ci（11）表1：标准拟合优度测试模型系列aabcLB LMGARCH 1992–1996 5.29e-4 1.42e-6 4.33e-2 9.19e-1 0.405 0.3741998–2002 2.34e-4 7.12e-6 9.49e-2 8.68e-1 0.346 0.3232008–2012 2.32e-4 2.48e-6 1.08e-18.83e-1 0.001 0.002GJR-GARCH1992–1996 4.18e-4 2.74e-6 2.68e-2 8.73e-1 1 1.0 0 0.588 0.5781998–2002 3.58e-4 6.66e-6 4.85e-2 8.71e-1 1 1.0 0 151 0.1152008–2012 1.77e-4 2 2.65e-6 4 4.33e-2 8.97e-1 1 1 1 0.0.007 0.007注：（a）LB测试采用平方的前10个自相关残差。（b） LM检验采用平方残差的10阶自回归。（c） 与实施不同，LB和LM测试均排除了残差序列中的前10个值，以缓解边界效应。（d） 粗体字突出显示p值小于或等于0.05的情况。GARCH模型对应于所有i的pp0、r 2和ci0的情况。

GJR GARCHMODEL包括额外的参数CIT，以允许来自先前激发ST i的正负值的不对称反馈。我们进一步采用pp1，它给出了最流行和有用的GARCH（1,1）模型（Hansenand Lunde 2005）。其余参数使用软件包中的函数（Wuertz 2017）根据数据进行估计。对于每个模型和系列的组合，表1总结了基于平方残差的LB和LM优度检验的估计参数和p值。测试结果表明，1992–1996和1998–2002系列的模型表现良好，但2008–2012系列的模型表现不佳。图5显示了平方残差的常规自相关分析。1992-1996年和1998-2002年的系列没有观察到明显偏离白噪声的情况，但2008-2012年系列的大AGLEAG-1自相关支持LB和LM测试的小p值。需要指出的是，表1中的p值及其后使用传统的0.05阈值突出显示，只是为了提请注意某些情况，作为潜在缺乏绩效的指示。一般来说，我们将p值视为标准化的绩效指标，使我们能够比较不同指标对0 20 40 60 80 100 120的响应-0.10-0.050.000.050.100.150.200.250.300.350.40LAG0 20 40 60 80 100 120-0.10-0.050.000.050.100.150.200.250.300.350.40LAG0 20 40 60 80 100 120-0.10-0.050.000.050.100.150.200.250.300.350.40LAG0 20 40 60 80 100 120-0.10-0.050.000.050.100.150.200.250.300.350.40LAG0 20 40 60 80 100 120-0.10-0.050.000.050.100.150.200.250.300.350.40LAG0 20 40 60 80 100 120-0.10-0.050.000.050.100.150.200.250.300.350.40LAG图5：顶行：1992-1996（左）、1998-2002（中）和2008-2012（右）系列GARCH模型的平方残差自相关函数。

底层：GJR-GARCH模型中平方残差的自相关函数。在考虑统计可变性的同时，数据不同方面可能缺乏信息。对于是否拒绝赫尔假设，我们不作二元陈述。4.1拟合优度测试表2包含基于QFA的白噪声残差测试的结果，使用w1的光谱发散度量（7）–（10）。我们取0中所有傅里叶频率的集合。分位数级别集将网格点从0.05压缩到0.95，增量为0.01。零分布和度量的p值是通过参数自举从高斯分布的随机样本中获得的，校正后的高斯分布与观测残差的均值和方差相匹配。作为示例，图6显示了2008–2012年系列GARCH和GJR-GARCH残差白噪声假设下Ksmax和W lmemanude的模拟累积分布函数。指标的报告p值定义为指标模拟值中超过表2的部分：残差逼近模型系列KSmaxW-LmaxKSmeanW-LmeanGARCH 1992-1996 0.380 0.360 0.105 0.1341998-2002 0.149 0.472 0.067 0.0852008-2012 0.001 0.546 0.013 0.354GJR-GARCH 1992-1996 0.572 0.457 0.184 0.1241998-2002 0.6620.790 0.224 0.1802008–2012 0.003 0.757 0.018 0.413注。（a） 结果基于1000次参数引导运行。