高维全局最小方差投资组合的估计

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英文标题：
《Estimation of the Global Minimum Variance Portfolio in High Dimensions》
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作者：
Taras Bodnar, Nestor Parolya and Wolfgang Schmid
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We estimate the global minimum variance (GMV) portfolio in the high-dimensional case using results from random matrix theory. This approach leads to a shrinkage-type estimator which is distribution-free and it is optimal in the sense of minimizing the out-of-sample variance. Its asymptotic properties are investigated assuming that the number of assets $p$ depends on the sample size $n$ such that $\\frac{p}{n}\\rightarrow c\\in (0,+\\infty)$ as $n$ tends to infinity. The results are obtained under weak assumptions imposed on the distribution of the asset returns, namely it is only required the fourth moments existence. Furthermore, we make no assumption on the upper bound of the spectrum of the covariance matrix. As a result, the theoretical findings are also valid if the dependencies between the asset returns are described by a factor model which appears to be very popular in financial literature nowadays. This is also well-documented in a numerical study where the small- and large-sample behavior of the derived estimator are compared with existing estimators of the GMV portfolio. The resulting estimator shows significant improvements and it turns out to be robust to the deviations from normality.
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中文摘要：
我们利用随机矩阵理论的结果估计了高维情况下的全局最小方差（GMV）投资组合。这种方法得到了一个无分布的收缩型估计量，它在最小化样本外方差的意义上是最优的。假设资产数量$p$取决于样本量$n$，使得$frac{p}{n}\\ rightarrow c \\ in（0，+\\infty）$随着$n$趋于无穷大，则研究其渐近性质。结果是在对资产收益率分布的弱假设下得到的，即只需要存在四阶矩。此外，我们对协方差矩阵的谱的上界没有做任何假设。因此，如果资产回报率之间的依赖关系是由一个因子模型描述的，那么理论结果也是有效的，这一模型在当今金融文献中非常流行。这在一项数值研究中也得到了很好的证明，在该研究中，导出估计量的小样本和大样本行为与GMV投资组合的现有估计量进行了比较。结果表明，估计量有了显著的改进，并且对正态性偏差具有鲁棒性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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关键词：投资组合 Quantitative distribution Multivariate Optimization

高维全球最小方差投资组合估计Staras Bodnara，Nestor Parolyaband Wolfgang Schmidc 1斯德哥尔摩大学数学系，Roslagsv¨agen 101，SE-10691斯德哥尔摩，瑞典实证经济学（计量经济学）系，莱布尼茨大学汉诺威，D-30167汉诺威，德国统计系，欧洲大学维亚德里纳，邮政信箱1786，15207 Frankfurt（Oder），GermanyAbstractWe使用随机矩阵理论的结果估计高维情况下的全球最小方差（GMV）投资组合。这种方法得到了一个无分布的收缩型估计量，它在最小化样本外方差的意义上是最优的。假设资产的数量p依赖于样本大小n，使得pn→ c∈ (0, +∞) 因为n趋于完整。结果是在对资产收益分布施加weakasumptions的情况下得到的，即只需要存在四个矩。此外，我们对协方差矩阵的谱的上界没有做任何假设。因此，如果资产回报之间的依赖关系由因子模型来描述，那么理论结果也是有效的，这一模型在当今金融文献中非常流行。这在一项数值研究中也得到了很好的证明，在该研究中，导出估计量的小样本和大样本行为与GMV投资组合的现有估计量进行了比较。

由此得出的估计值显示出了显著的改善，结果证明这与正态性的偏差有关。JEL分类：G11、C13、C14、C58、C65关键词：全局最小方差组合、大维渐近、协方差矩阵估计、随机矩阵理论。1简介自Markowitz（1952）介绍了他关于投资组合选择的开创性工作以来，这一主题已成为金融学中发展非常迅速的分支。马科维茨的一个想法是，在预算约束下，将投资组合最小化。这种方法产生了众所周知且经常使用的投资组合，即全球最小方差投资组合（GMV）。有大量关于GMV投资组合的论文（见Jagannathan和Ma（2003）、Ledoit和Wolf（2003）、Okhrin和Schmid（2006）、Kempf和Memmel（2006）、Bodnar和Schmid（2008）、Frahm和Memmel（2010）等）。我们提醒大家，GMV投资组合是以下优化通信作者的唯一解决方案。电子邮件地址：schmid@europa-大学。deproblemw∑nw→ 最小值，w1=1，（1.1），其中w=（w，…，wp）表示组合权重向量，1是一个合适的向量，并且∑nstands表示资产回报的协方差矩阵。注意，在本文中，p是样本大小n的函数，因此协方差矩阵也依赖于n。这由指数n表示。（1.1）的解由wgmv=∑给出-1n∑-1n。（1.2）GMV投资组合（1.2）在所有投资组合中的方差最小。它也用于多期投资组合选择问题（参见Brandt（2010））。虽然该投资组合具有一些良好的理论性质，但在考虑资产收益率分布参数的不确定性时，会出现一些问题。实际上，我们不知道实际中的总体协方差矩阵，因此，必须对其进行适当的估计。

因此，GMV投资组合的估计与资产收益协方差矩阵的估计密切相关。传统估值器是估计GMV投资组合的一种常用方法（1.2）。这种传统的估计是通过将（1.2）中的协方差矩阵∑nb替换为其样本对应的Sn来构造的。Okhrin和Schmid（2006）推导了传统估计量的分布，并在资产收益服从多元正态分布的假设下研究了其性质，而Kempf和Memmel（2006）分析了其条件分布性质。此外，Bodnar和Schmid（2009）得出了样本GMV投资组合主要特征的分布，即其方差和预期收益。如果资产p的数量是固定的，且其显著小于样本中观察值n的数量，则传统估计值是一个不错的选择。这种情况通常用于统计学，称为标准渐近（见Le Cam和Yang（2000））。在这种情况下，传统估计量是GMV投资组合的一致估计量，并且是渐近正态分布的（Okhrinand Schmid（2006））。因此，对于较小的固定尺寸p∈ {5，10，15}我们可以使用sampleestimator，但如果投资组合中的资产数量非常大，比如p∈ {100，500，1000}，与n相当。这里我们处于资产数量p和样本量n趋于一致的情况。当NP和n的大小相当时，这种双重渐近性有一种解释。更准确地说，当p/n趋于浓度比c>0时。这种类型的渐近被称为高维渐近或“Kolmogorov”渐近（见Baand Silverstein（2010））。

在高维渐近条件下，传统的估计量表现出很强的不可预测性，且远不是最优估计。它往往低估了风险（见ElKaroui（2010）、Bai和Shi（2011））。一般来说，集中度c的值越大，传统估值器就越差。将因子结构的假设强加于资产回报率，Bai（2003）、Fan et al.（2008）、Fan et al.（2012）、Fan et al.（2012）、Fan et al.（2003）、Fan et al.（2008）、Fan et al.（2012）、Fan et al.（2012）以有效的方式解决了这个问题。（2013）等。然而，如果因子结构不存在，那么高维度的问题仍然存在。在这种情况下，提出了GMV投资组合权重的进一步估计。DeMiguel等人（2009年）建议引入一些额外的投资组合约束，以避免维度诅咒。另一方面，可以使用有偏差的收缩估计量，但可以通过最小化其均方误差显著降低投资组合的风险。广义收缩估计量是传统估计量和已知目标的凸组合（对于GMV投资组合，它可以是朴素的等权投资组合）。他们首先被斯坦（1956）考虑。最近，多位作者表明，投资组合权重的收缩估计量确实会带来更好的结果（见Golosnoy和Okhrin（2007）、Frahm和Memmel（2010））。特别是，Golosnoy和Okhrin（2007）通过收缩投资组合权重本身而非整个样本协方差矩阵，考虑了多元收缩估计量。Frahm和Memmel（2010）也使用了同样的想法，他们为GMV组合构建了一个可行的收缩估计量，该组合在传统组合中占主导地位。

这些估计值存在几个问题：首先，通常采用正态分布；第二，支配并不意味着最优；第三，大尺寸行为（大p和大n）似乎是不可接受的。本文的目的是为GMV投资组合推导一个可行且简单的估计量，该估计量在某种意义上对于小样本和大样本都是最优的，并且也是无分布的。为此，我们构造了一个最优收缩估计量，研究了它的渐近性质，并一致地估计了未知量。估计量是利用随机矩阵理论得到的，这是概率论的一个快速发展的分支。Marcenko andPastur（1967）证明了该理论的主要结果，Silverstein（1995）在非常一般的条件下进一步扩展了该理论。现在它被称为马尔-岑科-帕瑟方程。它的重要性在许多科学领域都得到了体现，因为它显示了真实协方差矩阵及其样本估计是相互联系的。了解这些信息，我们可以为高维量建立合适的估计量。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提出了GMV投资组合的收缩估计量，该估计量在最小化样本外方差方面是最优的。第2.1节研究了c<1时产生的收缩强度的渐近行为，第2.2节研究了c>1时产生的收缩强度的渐近行为，结果表明，当样本量和投资组合维度都增加时，收缩强度几乎必然趋向于确定性量。这一结果使我们能够确定GMV投资组合的oracle估值器，而第2.3节给出了相应的Bonafide估值器。在第3节中，我们对c的不同值进行了模拟研究∈ (0, +∞)在数据生成过程中施加的各种分布假设下。

在此，将导出的收缩估计的性能和收敛速度与GMV投资组合的现有估计进行了比较。第4节给出了我们的实证研究结果，我们将建议的估计数以及现有的估计数应用于包括标准普尔500指数（Standard&Poor\'S 500）中returnson资产在内的真实数据。第5节总结了所有获得的结果。冗长的证明移至附录（第6节）。2 GMV投资组合的最优收缩估计t Yn=（y，y，…，Yn）是由p上的n个收益向量组成的p×n数据矩阵≡ p（n）资产。设E（yi）=unand Cov（yi）=∑Nfi∈ 1.n、 我们假设p/n→ c∈ (0, +∞) asn公司→ ∞. 这种极限行为也被称为“大维渐近”或“theKolmogorov渐近”。在这种情况下，传统估值器的表现很差甚至很差，往往会高估/低估资产回报的未知参数，即平均向量和协方差矩阵。在本文中，假设存在一个p×n随机矩阵xn，该矩阵由独立且同分布（i.i.d.）的实随机变量组成，其平均值和单位方差均为零，如thatYn=un+∑nXn。（2.1）值得注意的是，观测矩阵yn由相关行组成，尽管其列是独立的。

通过控制从属条目数量的增长，可以进一步削弱列的独立性假设，而Yn的元素没有特定的分布假设（见Friesen et al.（2013））。本文中使用的两个主要假设是（A1）资产收益的协方差矩阵∑nis是一个非随机p维正定义矩阵。（A2）对于某些ε>0，矩阵元素Xnhave一致有界4+ε矩。这两个正则条件非常一般，适用于许多实际情况。假设（A1）在财务和统计问题中很常见。它没有对数据生成过程施加强烈限制，而假设（A2）纯粹是技术性的。此外，它似乎只影响拟议估值器的收敛速度（见Rubio et al.（2012））。样本协方差矩阵由n=nYn（I）给出-n） Yn=n∑nXn（I-n） Xn∑n，（2.2），其中符号I表示适当维度的单位矩阵。2.1 Oracle估计器。案例c<1 GMV投资组合的传统估计量是通过用估计量（2.2）替换未知的人口协方差矩阵∑nin（1.2）得到的。这导致^wGMV=S-1nS-1n。（2.3）接下来，我们通过优化收缩参数α并筛选一些目标投资组合bn，得出GMV投资组合权重的最优收缩估计量。然后研究了其分布特性。c的广义收缩估计（GSE）∈ （0，1）由^wGSE=αnS定义-1nS-1n+（1-αn）bn，bn1=1（2.4），其中bn∈Rp是给定的非随机（或随机但独立于实际观测向量Yn，即Yn的最后一列）向量。没有对我们感兴趣的收缩强度αn进行假设。目的是确定最佳收缩强度αn。

对于给定的目标投资组合BN，其最小化样本外风险L=| |∑n（^wGSE（αn）- wGMV）| |=（^wGSE（αn）- wGMV）∑n（^wGSE（αn）- wGMV），（2.5）（参见Frahm和Memmel（2010），Rubio等人（2012））。损失函数（2.5）可以重写为l=^wGSE（αn）∑n^wGSE（αn）- σGMV，（2.6），其中σGMV=∑-1nis是GMV投资组合的总体方差，^wGSE（αn）∑n^wGSE（αn）被称为权重为^wGSE（αn）的投资组合的样本外方差。使用（2.4），我们想要解决以下优化问题minαnL=minαnαnσS+2αn（1- αn）S-1nS-1n∑nbn+（1- αn）bn∑nbn- σGMV，（2.7），其中σS=S-1n∑nS-1n（1S-1n1）（2.8）是GMV投资组合权重的传统估计量的样本外方差。取L相对于α的导数，并将其设为零，我们得到Lαn=αnσS+（1- 2αn）S-1n∑nbnS-1n- (1 - αn）bn∑nbn=0。（2.9）从上一个方程式中，很容易找到最佳收缩强度α*ngiven byα*n=bn∑nbn-S-1n∑nbnS-1nσS- 2秒-1n∑nbnS-1n+bn∑nbn=bn公司-S-1nS-1n∑nbnbn公司-S-1nS-1n∑nbn公司-S-1nS-1n. （2.10）以确保α*nis（2.7）的最小值，我们计算L的二阶导数，它必须是正的。它认为Lαn=σS-21秒-1n∑nbnS-1n+bn∑nbn=bn公司-S-1nS-1n∑nbn公司-S-1nS-1n> 0（2.11）几乎可以肯定。最后一个不等式总是正确的，因为矩阵∑的正不确定性和bn=S的事实-1nS-1N概率为零。在定理2.1中，我们证明了最佳收缩强度α*nis几乎肯定渐近等价于非随机量α*∈ [0，1]在大维渐近SPN下→ c∈(0, 1). 设σbn=bn∑nbnbe为目标投资组合的方差，letRbn=σbn- σGMVσGMVbe目标投资组合的相对损失bn。定理2.1。假设（A1）-（A2）。设0<Ml≤ σGMV≤ σbn≤ Mu<∞ 对于所有n，那么它保持α*不适用。s-→ α*=(1 - c） Rbc+（1- c） Rbforpn公司→ c∈ （0，1）为n→ ∞, （2.12）其中RBI是Rbn的限制。

此外，GMV投资组合的传统估计量的样本外方差σ具有以下渐近行为σSa。s-→1.- cσGMVforpn→ c∈ （0，1）为n→ ∞. （2.13）附录中给出了定理2.1的证明。定理2.1为我们提供了有关GMV投资组合最优收缩估计量的重要信息。特别是，定理2.1的应用立即导致α的一致估计*n、 σGMV和σs，见下文第2.3节。值得注意的是，假设0<Ml≤ σGMV≤ σbn≤ Mu<∞ 是金融市场的天然产物。它确保了GMV投资组合的总体方差有一个符合资本资产定价模型的下限，因为投资组合方差不能小于市场风险（参见Elton等人（2007年，第7章））。此外，目标投资组合σbn方差有界的假设也是可以接受的，因为它使得收缩到方差有限的投资组合是不明智的。最重要的是，即使协方差矩阵的最大特征值是无界的，这个条件也成立。如果资产回报率遵循因子模型，则会出现这种情况，这是当今金融文献中非常流行的方法（参见Fan et al.（2008），Fan et al.（2012））。值得指出的是，如果weassume而不是0<Ml，同样的结果也是正确的≤ σGMV≤ σbn≤ Mu<∞ 人口协方差矩阵的谱范数的有界性，即∑n的一致有界最大特征值。关于GMV投资组合的传统和最优收缩估计的性能问题的答案在推论2.1中给出。推论2.1。（a） 在定理2.1的假设下，我们得到了GMV投资组合的传统估计的相对损失=σS- σGMVσGMVa。s-→c1类- cforpn公司→ c∈ （0，1）为n→ ∞.