退休时破产概率最小化

然后假设命题在时间t=t-1时成立，我们表明它也必须在时间t时成立。实际账户余额（t=0）：$A=（$A）*（1）=（$A）*RF（0）/RF（0）实际账户余额（t=1）：（$A）*（（1，α））–（$A）*（WR）=（$A）*（（1，α）-WR）=（$A）*（RF（0）*[1+1/RF（1）]–WR=（$A）*（RF（0）*[1+1/RF（1）]–RF（0））=（$A A）*（RF（0）*[1+1/RF（1）–1]=（$A）*RF（0）/RF（1）实际账户余额（t=t-1）：（$A）*RF（0）/RF（t-1）实际账户余额（t=t）：[（$A）*RF（0）/RF（t-1）]*（（t，α））–（$A）*WR）引理A1。假设（A.1）（A.2a）（A.2b）（A.2c）（A.2d）（A.2e）（A.3a）（A.3b）（A.3c）（A.4a）（A.4b）（A.4c）（A.4d）（A.4e）（A.4f）（A.5）（A.6）=（$A）*[射频（0）*[射频（t-1）*[射频（t-1）*[射频（t）]/射频（t-1）-WR=（$A）*[射频（0）*[射频（1+1/射频（t）]–射频（0）]=（$/RF（t）–1）]=（$A）*RF（0）/RF（t）我们在第II-C节中指出，破产系数的倒数等于剩余的实际提款数。这一陈述是命题A1的直接结果。也就是说，1/RF（t）=在时间t剩余的实际取款的#，而RF（t）=1/（#在时间t剩余的实际取款）。附录B.给定破产标准C（t-1）命题B1：给定破产标准C(≤ t-1），破产（t）发生If（t，α）≤ RF（t-1）。证明：实际账户余额（t=t-1）：（$A）*RF（0）/RF（t-1）实际账户余额（t=t-1）：[（$A）*RF（0）/RF（t-1）]*∏1.我我1实际账户余额（t=t）：[（美元）*RF（0）/RF（t-1）]*∏1.我我1*（1+R（t，α））*（1–ER）实际提款金额（t=t）：（$A）*（WR）*∏1.我我1破产所需条件（t）：≤（1+R（t，α））*（1-ER）*[（$A）*RF（0）/RF（t-1）]*∏1.我我1. ≤  （$A）*（WR）*∏1.我我1.<-> （1+r（t，α））*（1-ER）*[1/RF（t-1）] ≤  1.<-> （t，α） ≤  RF（t-1）该值为提取前值。引理A1。（A.7a）（A.7b）（A.7c）（A.7d）提案A1。账户余额（t=t）提款金额（t=t）（A.8a）（A.8b）（A.8c）（A.8d）（A.8e）（A.8f）（A.8g）附录C.固定TDC的归纳法。1时间t=t的入职假设退休人员在时间t=t到达并进行最后一次退出。

受限样本空间S={RuinC(≤ TD）}包括单个事件，如右图所示。退休人员无需计算RF（TD），因为没有更多的提款，但自RUNC以来，RF（TD）>0（如果计算）(≤ TD）已发生。当t=TD，P（破产（>TD））=0，且值函数的充分条件（B.C.）为V（TD，RF（TD））=0，RF（TD）>0。C、 2在t=TD时入职–1假设退休人员在t=TD-1时到达，进行第二次最后一次退出，并有一次剩余退出。破产因子RF（TD1）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率（TD-1，α）计算得出的。退休人员现在面临限制样本空间S={ruint（TD），RuinC(≤ ，并寻求使P（破产（TD））最小化的α。这一直接决策是使用第II-F节中提出的框架做出的。也就是说，TheRetrie比较了各种资产配置的尾部概率，并选择了P（破产（TD））最小的一个。该优化可表示为：V（TD-1，RF（TD-1））=最小值  P（破产（TD）→ V（TD-1，RF（TD-1））=最小值  1-P（RUNC（TD））→ V（TD-1，RF（TD-1））=最小值  1-P（（TD，α）>RF（TD-1））→ V（TD-1，RF（TD-1））=最小值  1–（1–F（TD，α）（RF（TD-1）），已知破产因子RF（TD-1）。这里，F（TD，α）（·）表示已知/估计的CDF（TD，α）。注意，由于V（TD，RF（TD））=0，我们可以将V（TD-1，RF（TD-1））等效为：（C.1b）（C.1c）（C.1a）（C.1d）V（TD-1，RF（TD-1））=Min1–（1–F（TD，α）（RF（TD-1）））*（1–E（TD，α）+[V（TD，RF（TD））]，最佳=α（TD-1，RF（TD-1））。C、 3 t=TD时入职–2假设退休人员在t=TD-2时到达，最后一次退出，并有两次剩余。破产系数rf（TD-2）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率（TD-2，α）计算的。

退休人员现在面临限制样本空间S={破产（TD-1），破产（TD），破产C(≤ 如图所示，并寻求做出最优资产配置决策，以最小化P（破产（>TD-2））=P（破产（TD-1）∪破产（TD）），即未来任何时间点的破产概率。使用（6b）和（6c），我们将P（破产（>TD-2））表示为：P（破产（TD-1）∪破产（TD））=1-P（破产C（TD-1）∩ RuinC（TD））=1-P（RuinC（TD-1））*P（RuinC（TD）| RuinC（TD-1））。值函数表示为：V（TD-2，RF（TD-2））=Min1-P（RUNC（TD-1））*P（RUNC（TD）| RUNC（TD-1））→  V（TD-2，RF（TD-2））=最小值  1-P（（TD-1，α）>RF（TD-2））*P（（TD，)> RF（TD-1）|（TD-1，α）>RF（TD-2））→ V（TD-2，RF（TD-2））=最小值  1-P（（TD-1，α）>RF（TD-2））*,∩,,为了便于标注，添加了最右边的术语。回想一下，V（TD，RF（TD））=0RF（TD）>0，因此它是零的期望值。此外，如第II-G.1节所示，（TD，α）+=（（TD，α）（TD，α）>RF（TD-1）。我们的惯例是 请参考在未来时间点处于最佳状态的α，并让α表示在当前时间点处于最佳状态的α。最优 始终需要将电流V（·）降至最低。（C.3a）（C.3b）（C.4a）（C.4b）（C.4c）对于所有RF（t）>0，该概率的最佳值仅在时间t=TD-1时推导得出。时间t=TD时noruin的概率。预期的问题。t=TD，给定RuinC（TD）。（C.2）（C.4c）中比率的分子反映了在t=TD-1和TD时避免破产的概率。根据定义，这是联合PDF f（（TD-1，α），（TD，)) 概率陈述中定义的区域。该区域存在于（TD-1，α）–（TD，)平面和关节PDF定义位于平面上的三维对象。

我们通过对给定区域上的联合PDF进行积分来计算所需体积。由于（TD，)依赖于（TD-1，α），我们必须处理（TD，)首先，其中（TD，)范围从RF（TD-1）到∞.  在此感应步骤中，（TD-1，α）的范围从恒定RF（TD-2）到∞.  （TD-1，α）–（TD，)平面如图A1的横剖面线所示。假设转弯处呈钟形，则一个三维山丘对象（见右图）描绘SF（（TD-1，α），（TD，)).  所需概率是该物体在所示区域上的体积，我们必须在时间t=TD-2时对所有α进行评估。改变α会改变山丘的形状和位置，从而改变概率。（C.4c）中比率的分母是RF（TD-2）右侧相同固体的体积。我们在（C.4c）中寻求使全表达式最小化的α，其中这些概率是两个分量，见下文（C.4d）。图A1。

f（（TD-1，α），（TD，)) 对于（C.4c）中分子和分母的导数→ V（TD-2，RF（TD-2））=最小值    1-（1–F（TD-1，α）（RF（TD-2）））*,,,,,,,通过调节和假设各时间点之间的回报率是独立的，我们在比率的分子中拆分了jointPDF（见附录G.2）：→ V（TD-2，RF（TD-2））=最小值 1-（1–F（TD-1，α）（RF（TD-2）））*,,,,,,→ V（TD-2，RF（TD-2））=分钟 1-（1–F（TD-1，α）（RF（TD-2）））*,,,,,现在，由于RF（TD-1）是（TD-1，α）的函数，即RF（TD-1）=,（C.4f）中的值函数可以写成，对需要接受期望的直观解释是，V（TD-1，X）已经被发现适用于所有正破坏因子X，将X视为常数。在当前的诱导步骤中，发现X是随机的，我们通过α控制已知的PDFunder。在α上的优化中，然后在X.（C.4d）（C.4e）（C.4f）（C.5）的各种PDF中评估EX[V（TD-1，X）]。根据定义，该积分是R.V.（TD-1，α）+上[1–V（·）]的期望值。这个术语是前面发现的[1–V（TD-1，RF（TD-1））]。

DP的每个阶段都必须遵循一项优化政策。由于RF（TD-1）是（TD-1，α）的函数，这些积分必须保持嵌套，并且排序不能互换。V（TD-2，RF（TD-2））=最小值1-（1–F（TD-1，α）（RF（TD-2）））*（1–E（TD-1，α）+五、T1.,)达到最佳状态=α（TD-2，RF（TD-2））和条件RV（TD-1，α）+=（（TD-1，α）（TD-1，α）>RF（TD-2））上的期望，其中{（TD-1，α）>RF（TD-2）}≡ {RF（TD-1）>0}。C、 4在t=TD时入职–3假设退休人员在t=TD-3时到达，进行第四次最后退出，并剩下3次。破产系数rf（TD-3）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率（TD-3，α）计算的。退休人员面临限制样本空间S={破产（TD-2），破产（TD-1），破产（TD），破产C(≤ TD）}（如右图所示），并寻求做出最优资产配置决策，以最小化P（破产（TD-2）∪破产（TD-1）∪破产（TD）），即未来任何时间点的破产概率。

在有限样本空间下，P（破产（>TD-3））现在定义为：P（破产（TD-2）∪破产（TD-1）∪破产（TD））=1-P（破产C（TD-2）∩ RUNC（TD-1）∩ RuinC（TD））=1-P（RuinC（TD-2））*P（RuinC（TD-1）∩ 因此，值函数为：V（TD-3，RF（TD-3））=Min 1-P（RUNC（TD-2））*P（RUNC（TD-1）∩ 时间t=TD-3时的RuinC（TD）| RuinC（TD-2））诱导与时间t=TD-2时的诱导几乎相同，接下来将该过程推广到时间t=TD-k，然后在第II-G.1节中报告任何时间t。注意，对于所有RF（t）>0的情况，该概率的最佳值是在时间t=TD-2时得出的。（C.6）（C.7a）（C.7b）（C.8a）RF（TD-1）→ V（TD-3，RF（TD-3））=最小值  1-P（（TD-2，α）>RF（TD-3））*P（（TD-1，)> RF（TD-2）∩ （TD，)> RF（TD-1）|（TD-2，α）>RF（TD-3））→ V（TD-3，RF（TD-3））=最小值  1-P（（TD-2，α）>RF（TD-3））*,∩,∩,,→ V（TD-3，RF（TD-3））=最小值  1-（1–F（TD-2，α）（RF（TD-3）））*,,,,,,,,,,→ V（TD-3，RF（TD-3））=最小值  1-（1–F（TD-2，α）（RF（TD-3）））*,,,,,,,,,→ V（TD-3，RF（TD-3））=最小值  1-（1–F（TD-2，α）（RF（TD-3）））*,,,,,我们要求在未来的每个阶段都遵循最佳政策反映这些最佳值。

否则，该V（·）不能取最小值。应用条件概率的定义。在无破产条件下，下3个真实收益的多元密度积分。通过调节和独立性，我们分裂了联合PDF（见附录G.2）。请注意，退休人员在此时通过选择α对下一个破产因子有一定的控制权。（C.8b）（C.8c）（C.8d）（C.8e）（C.8f），因为RF（TD-2）是（TD-2，α）的函数，即RF（TD-2）=,根据定义，上述表达式是条件RV（TD-2，α）+上[1-V（TD-2，RF（TD-2））]的期望值，值函数可以写为：V（TD-3，RF（TD-3））=Min1-（1–F（TD-2，α）（RF（TD-3）））*（1–E（TD-2，α）+五、T2.,)达到最佳状态=α（TD-3，RF（TD-3）），期望值高于条件RV（TD-2，α）+=（（TD-2，α）（TD-2，α）>RF（TD-3）），其中{（TD-2，α）>RF（TD-3）}≡ {RF（TD-2）>0}。C、 5在时间t=TD时入职–kAssume退休人员在时间t=TD-k（对于k=0,1，…，TD-1）到达，并在k剩余的情况下进行最后一次（k+1）退出。破产因子RF（TD-k）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率，（TD-k，α）计算得出的。退休人员面临着严格的样本空间S={破产（TD-k+1），破产（TD-k+2），…，破产（TD），破产C(≤ TD）}（如右图所示），并寻求最优资产配置以最小化P（破产（>TD-k））=P（破产（TD-k+1）∪破产（TD-k+2）∪… ∪ 破产（TD）），是指未来任何时间点的破产概率。

在受限样本空间下，我们将P（破产（>TD-k））表示为：P（破产（TD-k+1）∪破产（TD-k+2）∪… ∪ 破产（TD））=1-P（破产C（TD-k+1）∩ RUNC（TD-k+2）∩ … ∩ RuinC（TD））=1-P（RuinC（TD-k+1））*P（RuinC（TD-k+2）∩ … ∩ RuinC（TD）| RuinC（TD-k+1））（C.8g）（C.9）RF（TD-2）（C.10a）（C.10b）对于所有RF（t）>0，在t=TD-k+1时得出该概率的最佳值。值函数由以下公式给出：V（TD-k，RF（TD-k））=Min 1-P（RUNC（TD-k+1））*P（RUNC（TD-k+2）∩ … ∩ RuinC（TD）| RuinC（TD-k+1））Let，,=,,,,  和,:,射频t型1..在t=TD-k时，向量（TD-k+2，TD）将在t=TDk+1后的所有时间点保持随机回报，假设使用了最佳资产配置。

集合,将表示k-2维中的空间，在该空间上（TD-k+2，TD）满足runc的条件（>TD-k+1）。→ V（TD-k，RF（TD-k））=最小值  1-P（（TD-k+1，α）>RF（TD-k））*P（,∈,| （TD-k+1，α）>RF（TD-k））→ V（TD-k，RF（TD-k））=最小值  1-P（（TD-k+1，α）>RF（TD-k））*,∩,∈,,→ V（TD-k，RF（TD-k））=最小值  1-（1–F（TD-k+1，α）（RF（TD-k）））*,,,,,,,,（C.10c）（C.10e）应用条件概率的定义。（C.10f）在无破产条件下积分的下一个k实回报的多元密度。（C.10g）（C.10d）→ V（TD-k，RF（TD-k））=最小值1-（1–F（TD-k+1，α）（RF（TD-k）））*,,,,,,,→ V（TD-k，RF（TD-k））=最小值  1-（1–F（TD-k+1，α）（RF（TD-k）））*,,,,,→ V（TD-k，RF（TD-k））=最小值1-（1–F（TD-k+1，α）（RF（TD-k）））*（1–E（TD-k+1，α）+五、Tk1.,)达到最佳状态=α（TD-k，RF（TD-k）），期望值大于条件RV（TD-k+1，α）+=（（TD-k+1，α）（TD-k+1，α）>RF（TD-k）），其中{（TD-k+1，α）>RF（TD-k）}≡ {RF（TD-k+1）>0}。附录D.随机TDD的归纳。1时间t=smax的入职假设退休人员在时间t=smax到达并进行最后一次退出。无需计算RF（SMax）（>0），因为不再有取款和破产(≤ SMax）已发生。时间t=SMax，P（破产（>SMax））=0和a B.C。