退休时破产概率最小化

对于值函数为VR（SMax，RF（SMax））=0，RF（SMax）>0。D、 2在t=SMax时入职–1假设退休人员在t=SMax-1时到达，退出，最多1次再培训。RF（SMax-1）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率（SMax-1，α）计算得出的。根据定义，括号内的终端（C.10h）是P（runc（>TD-k+1））。（C.10i）通过调节和独立性（见附录G.2）。（C.10h）（C.10j）RF（TD-k+1）退休人员寻求α最小化P（破产（>SMax-1））=P（破产（SMax）），我们表示为：VR（SMax-1，RF（SMax-1））=最小 P（破产（SMax））→ VR（SMax-1，RF（SMax-1））=最小值 1–P（Runc（SMax））→ VR（SMax-1，RF（SMax-1））=最小值1–[P（TD=SMax-1 | TD≥ SMax-1）*（1）+P（TD>SMax-1 | TD≥ SMax-1）*P（（SMax，α）>RF（SMax-1））]→ VR（SMax-1，RF（SMax-1））=最小值 P（TD>SMax-1 | TD≥ SMax-1）*[1-P（（SMax，α）>RF（SMax-1））]→ VR（SMax-1，RF（SMax-1））=最小值 P（TD>SMax-1 | TD≥ SMax-1）*[1–（1–F（SMax，α）（RF（SMax-1））]）]，已知破产因子RF（SMax-1）。我们也可以将VR（SMax-1，RF（SMax-1））表示为：VR（SMax-1，RF（SMax-1））=最小  P（TD>SMax-1 | TD≥ SMax-1）*[1–（1–F（SMax，α）（RF（SMax-1）））*（1–E（SMax，α）+[VR（SMax，RF（SMax））]）]最佳=αR（SMax-1，RF（SMax-1））。D、 3在t=SMax时入职–2假设退休人员在t=SMax-2时到达，退出，最多2次再培训。RF（SMax-2）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率（SMax-2，α）计算得出的。P（Runc（SMax））给定d>SMax-1。预期的问题。时间t=SMax后无破产，给定Runc（SMax）。

（此表达式=1。）（D.1b）（D.1c）（D.1a）（D.1d）（D.1e）（D.1f）RF（SMax）=RF（SMax-1）/（（SMax，α）-RF（SMax-1）），该项=P（TD=SMax | TD≥ SMax-1）Runc（SMax）≡ （时间t之前死亡=SMAX退出尝试）∪ （活到t=SMax并成功退出）退休人员寻求α最小化P（破产（>SMax-2））=P（破产（SMax-1）∪破产（SMax）），对于agivenα，可以表示为：P（破产（>SMax-2））=P（破产（SMax-1）∪破产（SMax））=1-P（破产c（SMax-1）∩Runc（SMax））=1–P（TD=SMax-2 | TD≥ SMax-2）*（1）+P（TD>SMax-2 | TD≥ SMax-2）*P（（SMax-1，α）>RF（SMax-2）∩ Runc（SMax））=P（TD>SMax-2 | TD≥ SMax-2）*[1-P（（SMax-1，α）>RF（SMax-2））*P（Runc（SMax）|（SMax-1，α）>RF（SMax-2））]P（Runc（SMax）|（SMax-1，α）>RF（SMax-2））=,*P（（SMax-1，α）>RF（SMax-2）∩ Runc（SMax））P（（SMax-1，α）>RF（SMax-2）∩ Runc（SMax））=P[（（SMax-1，α）>RF（SMax-2）∩ （TD=SMax-1 | TD>SMax-2））∪（（SMax-1，α）>RF（SMax-2）∩ （TD=SMax | TD>SMax-2）∩ （SMax，)> RF（SMax-1））]TDand（（SMax-1，α），（SMax，)) 是独立的，因为随机市场回报与退休人员最终退出的随机时间无关。此外，需要TD=SMax-1和TD=SMax的事件的联合是相互排斥的，因为两者都不可能发生（D.2a）（D.2c）（D.2d）。在SMax-1退出并避免在SMax破产的事件可以通过两种方式发生：在SMax-1退出并在SMax之前经历死亡，或者在SMax-1退出，然后再次在SMax退出。请注意，在给定TD>SMax-2的情况下，所有这些都会展开≡TD公司≥ SMax-1，见（D.2c）。（D.2b）（D.2e）（D.2f）这两个事件是独立的，因为（SMax-1，α）和Td是独立的R.V.s。这两个事件相互排斥。这两个事件不是独立的，因为SMax-1是（SMax-1，α）的函数。同时最后，事件（SMax-1，α）>RF（SMax-2）和（SMax，)> RF（SMax-1）不是独立的，因为RF（SMax-1）=RF（SMax-2）/[（SMax-1，α）-RF（SMax-2）]。

因此，我们将（D.2f）表示为：P（（SMax-1，α）>RF（SMax-2）∩ Runc（SMax））=P（（SMax-1，α）>RF（SMax-2））*P（TD=SMax-1 | TD≥ SMax-1）+P（（SMax-1，α）>RF（SMax-2）∩ （SMax，)> RF（SMax-1））*P（TD=SMax | TD≥ SMax-1）=P（TD=SMax-1 | TD≥ SMax-1）*,,+ P（TD=SMax | TD≥ SMax-1）*,,,,,=,*,P（TD=SMax-1 | TD≥ SMax-1）+P（TD=SMax | TD≥ SMax-1）*,,将（D.2i）中的术语替换回（D.2e）表明，它只不过是对条件RV（SMax-1，α）+的期望值[1–VR（SMax-1，RF（SMax-1））]。如果使用α= 在t=SMax-1时，我们可以将给定α在t=SMax-2时的原始概率（D.2a）表示为：P（破产（>SMax-2））=P（TD>SMax-2 | TD≥ SMax-2）*[1-P（SMax-1，α）>RF（SMax-2））*（1-E（SMax-1，α）+五、S1.,)]如果最优α= 如果退休人员到达t=SMax-1并成功退出，则该术语精确地为Maxα[P（runc（SMax））]，根据定义为1–VR（SMax-1，RF（SMax-1）），参见（D.1c）。

下面将显示α=必须在t=SMax-1时使用，以最小化t=SMax-2时的VR（SMax-2，RF（SMax-2））。（D.2g）（D.2h）（D.2i）（D.2j）RF（SMax-1）对于P（破产（>SMax-2）），要在t=SMax-2的所有α上最小化，[·]中的函数必须在每个RF（SMax-1）处取其最小值，这恰好发生在VR（SMax-1，RF（SMax-1））。联合PDF被拆分（见附录G.2）。最后，我们将t=SMax-2处的值函数表示为：VR（SMax-2，RF（SMax-2））=Min P（TD>SMax-2 | TD≥ SMax-2）*{1-（1-F（SMax-1，α）（RF（SMax-2）））*（1-E（SMax-1，α）+[VR（SMax-1，RF（SMax-1））]）}，在=αR（SMax-2，RF（SMax-2））。D、 4时间t=SMax时的入职–3假设退休人员在时间t=SMax-3时到达，退出（最多保留3个），并根据刚刚观察到的投资组合回报率（SMax-3，α）更新RF（SMax-3）（>0）。