极限订货簿模型的扩散近似

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英文标题：
《A diffusion approximation for limit order book models》
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作者：
Ulrich Horst and D\\\"orte Kreher
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper derives a diffusion approximation for a sequence of discrete-time one-sided limit order book models with non-linear state dependent order arrival and cancellation dynamics. The discrete time sequences are specified in terms of an $\\R_+$-valued best bid price process and an $L^2_{loc}$-valued volume process. It is shown that under suitable assumptions the sequence of interpolated discrete time models is relatively compact in a localized sense and that any limit point satisfies a certain infinite dimensional SDE. Under additional assumptions on the dependence structure we construct two classes of models, which fit in the general framework, such that the limiting SDE admits a unique solution and thus the discrete dynamics converge to a diffusion limit in a localized sense.
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中文摘要：
本文推导了具有非线性状态相关订单到达和取消动态的离散时间单边极限订单簿模型序列的扩散近似。离散时间序列是根据$\\R\\u+$值的最佳投标价格过程和$^2\\u{loc}$-值的交易量过程来指定的。结果表明，在适当的假设下，插值离散时间模型的序列在局部意义上是相对紧的，并且任何极限点都满足一定的无限维SDE。在依赖结构的附加假设下，我们构造了两类适合一般框架的模型，使得极限SDE允许唯一解，从而离散动力学在局部意义上收敛到扩散极限。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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关键词：Applications Differential Quantitative cancellation Assumptions

极限订单书模型的扩散近似Sulrich HORST和D¨ORTE KREHERAbstract。本文推导了具有非线性状态相关订单到达和取消动态的离散时间单边极限订单模型序列的差分近似。离散时间序列以R+值的最佳投标价格过程和Lloc值的交易量过程表示。结果表明，在适当的假设下，插值离散时间模型的序列在局部意义上是相对紧的，并且任何极限点都满足某个有限维SDE。在依赖结构的其他假设下，我们构建了两类模型，这两类模型适用于一般框架，使得极限SDE允许唯一解，从而离散动力学在局部意义上收敛到一个差异极限。1、动机和设置在现代金融市场中，几乎所有交易都是通过限额订单（LOB）结算的。LOB是等待执行的未执行订单的记录。随机分析通过对适配比例（“高频”）限制的描述，为理解限额订单市场中订单聚合和执行的复杂系统提供了强大的工具。比例限制允许从基础微观动力学（单个订单到达和ca细分）对宏观整体动力学（价格和现存量）进行易于处理的描述。在本文中，我们证明了一类马尔可夫链在LOB微观结构模型中收敛到有限维扩散的新函数收敛结果。LOB的标度限制最近在概率和金融数学文献中引起了相当大的关注。根据缩放假设，可以得出流体极限（参见[6、7、8、9]）或扩散极限（参见[1、4、18]）。

【9】和【8】首先研究了全订单的流体限制，其中表明，在标度参数的某些假设下，离散timeLOB模式ls序列在概率上收敛于确定性微分方程的解。虽然有一些关于概率LOB模型的工作假设了SPDE或volumeprocess的度量值动态（参见[10，14]），但从限额指令簿的微观（“逐事件”）描述出发，很少有关于度量值差异限额推导的工作。[1]和[17]中考虑的特殊模型有两个例外。工作【1】扩展了【9】和【8】中的模型，在预先限制中引入了额外的噪声项，在这种情况下，动态可以通过缩放限制中的SPDE来近似。论文[1、8、9]基于相同的缩放假设。我们的工作是基于这样一个问题，即在不同的标度假设下，相同的逐事件动力学是否可以通过高频区的差异过程近似，而无需在预先限制中添加额外的噪声项。1.1. LOB动态。本文中考虑的单侧LOB模型由一系列离散时间r×L（r+；r）值过程（n）描述=B（n），v（n）, 每个n的位置∈ N、 非负一维过程B（N）描述了最佳投标价格的动态，L（R+；R）值过程v（N）描述了投标方体积密度函数的动态。2010年数学学科分类。60F17、91G80。关键词和短语。泛函极限定理，微分极限，标度极限，随机微分方程的收敛性，极限指令簿。这项研究得到了CRC 649：经济风险的部分支持。

此外，这项研究的一部分是在第二位作者访问国家科学基金会资助的纯数学和应用数学研究所（IPAM）时进行的。本文的前一个版本的标题是“插值马尔可夫链到有限维离散的函数收敛定理及其在极限订货簿中的应用”我们确定了一些T>0，并引入了缩放参数x（n），v（n），和t（n）。它们分别表示刻度大小、单个订单对书籍状态的影响以及两次连续订单之间的时间间隔。我们将Tn：=T型/t（n）, x（n）j：=jx（n）和t（n）j：=jt（n）∧ T代表所有j∈ 与非n∈ N、 对于alln∈ N和x∈ R+我们定义区间I（n）（x）asI（n）（x）：=hx（n）j，x（n）j+1对于x（n）j≤ x<x（n）j+1。初始最佳投标价格由B（n）=bn给出某些bn的x（n）∈ N、 初始体积密度函数由非负确定性阶跃函数v（N）给出∈ 上的L（R+；R）x（n）-网格。按照[8]的建模框架，我们假设有三个事件改变了图书的状态：价格上涨（事件a）、价格下跌（事件B）和限价下单，分别是取消（事件C）。根据置换运算符（1）M（n）k（·）：=Cφ（n）kω（n）kx（n）I（n）π（n）k（·）单侧LOB模型的动力学可以通过以下点过程来描述：对于每个n∈ Nand all k=1，Tn，B（n）k=B（n）k-1+ x（n）hBφ（n）k-A.φ（n）kiv（n）k=v（n）k-1+ v（n）M（n）k（2），其中事件指示器函数φ（n）kis是一个随机变量，取集合{a，B，C}中的值[-M、 M]值随机变量ω（n）k指定放置或取消的大小（M>0），非负性变量π（n）k指定放置或取消的位置。1.2. 预览主要结果。

在推导LOB模型序列的扩散极限（2）时，首要的挑战是确定一个合适的收敛概念。而对于任何π∈ R+，I（n）（π）L（R+）=x（n）1/2，对于任何有界f∈ L（R+），I（n）（π），fL（R+）=ZI（n）（π）f（x）dx=Ox（n）.因此，似乎不可能用x（n）→ 0, t（n）→ 0，和v（n）→ 0证明了体积密度函数收敛于L（R+；R）值的扩散过程。然而，观察到对于任何m，π>0，我们有x（n）·/x（n）Xj=0I（n）（π）x（n）j[0，m]（·）L=x（n）m级- x（n）jπx（n）k1/2=零x（n）对于任何有界f∈ 拉尔索*x（n）·/x（n）Xj=0I（n）（π）x（n）j, f【0，m】+L=x（n）Zmx（n）jπx（n）kf（x）dx=Ox（n）.这建议研究累积体积过程V（n）的收敛性=V（n）kk≤TN（3）V（n）k（x）：=x（n）x个/x（n）Xj=0v（n）kx（n）j, x个∈ 而不是直接分析体积密度函数的收敛性。为此，我们将选择局部收敛概念，因为函数V（n）在整条直线上不是平方可积的。我们的主要贡献是建立序列S（n）的收敛概念和收敛结果：=B（n），V（n）, n∈ N、 特别是，我们陈述了保证（i）该序列相对紧凑的充分条件；（ii）任何极限点求解由标准布朗运动和圆柱布朗运动驱动的有限维SDE；（iii）限制SDE具有唯一的解决方案。建立了收敛概念后，第二个主要挑战是过程的动力学S（n），n∈ N、 由于逐事件动力学的原因，没有以标准的SDE形式给出，并且系统只能通过指定随机变量π（N）k、ω（N）k和φ（N）k的条件分布来控制。

因此，我们的大部分工作都致力于确定合适的被积函数G（n）S（n）（t）半鞅随机测度Y（n），使得S（n）（t）可以表示为（4）S（n）（t）=S（n）+ZtG（n）S（n）（u）dY（n）（u），t∈ 连续时间插值后的[0，T]。一旦序列S（n）的动力学∈ N、 已被纳入标准SDE形式，仍需研究其收敛性。一些作者研究了有限维随机积分的收敛性。Chao[3]和Walsh[19]认为半鞅随机测度是某些核空间中的分布值过程。Kallianpur和Xiong[13]证明了核空间值SDE的扩散近似。他们的方法需要一个与我们的空间逐点动力学不兼容的依赖结构，因此不适用于我们的建模框架。Jakubowski[12]给出了Hilbert空间值半鞅在一致紧性条件下的收敛结果。Kurtz和Protter【16】使用相同的均匀紧密性条件，但允许更一般的设置。特别是，他们还研究了有限维随机微分方程解的收敛性。Ganguly[5]进一步扩展了这些结果，以研究当积分器的近似序列不再一致紧时，有限维随机微分方程的收敛性。我们的证明依赖于[16]中的结果。我们首先建立充分的条件，保证序列（n），n∈ N、 收敛到一些L（R+）#-半鞅Y。随后我们证明了序列G（n），n∈ N、 满足紧性，并在局部意义上收敛到某个函数G。

最后，我们证明，（4）c中的随机微分方程序列在局部意义上收敛于形式为（5）S（t）=S+ZtG（S（u））dY（u），t∈ [0，T]。证明SDE收敛性的挑战在于验证[16]中关于近似序列的积分器和系数函数的条件，以及我们的收敛概念局限于空间而非时间这一事实。最后，我们给出了上述SDE解唯一性的充分条件。例如，我们证明，如果只有漂移而不是波动率依赖于状态，则唯一性成立。1.3. 论文的结构。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们陈述了价格过程动力学的条件，这些条件保证了它们的归一化函数收敛到标准布朗运动。在第3节中，我们陈述了订单到达和取消的动力学条件，这些条件保证了体积过程的标准化方程收敛到圆柱形布朗运动。虽然对价格的分析相当标准，但对数量得出类似的结果要繁琐得多。首先，我们在第3.2小节中展示了漂移、波动率和相关函数的收敛性。然后，利用协方差矩阵的正交分解，我们在第3.3小节中将体积过程表示为一个由“无数离散布朗运动”驱动的离散随机微分方程。在第3.5小节中，我们证明了“无数离散d布朗运动”定律收敛于圆柱布朗运动。

在第4节中，我们定义了描述LOB动力学的随机积分和随机微分方程，并验证了满足[16]中的条件。这使我们能够得出第5节中关于极限LOB动力学特征描述的结果，作为有限维SDE的解。最后，我们给出了两个具体的例子，其中LOB动态弱收敛于有限维SDE的唯一解。1.4. 符号对于每个n∈ N我们确定概率spa c eOhm（n） ，F（n），P（n）带过滤器, Ohm（n） o=F（n） F（n） · · ·  F（n）k · · ·  F（n）Tn F（n）。我们假设随机向量φ（n）k，ω（n）k，π（n）kF（n）k对所有n都是可测的吗∈ N和k≤ Tn.我们定义Hilbert空间：=R×L（R+；R），k（X，X）kE：=| X |+kXkLand其本地化版本LOC：=R×Lloc（R+；R）with Lloc（R+）：=f：R+→ RZmf（x）dx<∞  m级∈ N.此外，我们定义了所有n∈ N Eloc值随机过程S（N）=S（n）kk=0，。。。，TnviaS（n）k：=B（n）k，V（n）k,式中，方程式（2）和（3）中定义了B（n）和V（n）。适用于所有n∈ N和k=1，Tnwe设置δV（n）k：=V（n）k- V（n）k-1，δB（n）k：=B（n）k- B（n）k-1，Δ^v（n）k（x）：=EδV（n）k（x）F（n）k-1., Δ^B（n）k：=EδB（n）kF（n）k-1.,δv（n）k（x）：=δv（n）k（x）- Δ^v（n）k（x），δB（n）k：=δB（n）k- Δ^B（n）k.W.l.o.g.我们假设x（n）-1.∈ N代表所有N∈ N、 2。价格过程的波动在本节中，我们分析了最佳投标价格过程B（n）的波动。为此，我们引入了第四个缩放参数p（n）=o（1），控制所有事件中价格变化的比例。[1、8、9]中的缩放限制需要两个时间尺度，第一个时间尺度用于限制订单的下达和取消，另一个时间尺度相对较慢，用于价格变化。缩放参数p（n）引入了“慢”时间刻度。假设2.1。

对于每个n∈ N存在两个函数p（N）：Eloc→ R和R（n）：Eloc→ R+满足边界条件（6）r（n）（s）= x（n）p（n）（s） s=（0，v）∈ Eloc，对于所有k=1，Tn，（7）Pφ（n）k∈ {A，B}F（n）k-1.= p（n）r（n）S（n）k-1.a、 s.和（8）Pφ（n）k=BF（n）k-1.- Pφ（n）k=AF（n）k-1.= p（n）x（n）p（n）S（n）k-1.a、 存在η>0 s uch，对于所有n∈ N和s∈ Eloc，（9）r（n）（s）+p（n）（s）+> η.为了便于记法，我们将在下面简单地写P和E，而不是写P（n）和E（n），因为从上下文中可以清楚地看出我们使用的概率空间。注意，事件变量的条件分布由等式（7）和（8）唯一确定。此外，等式（6）保证过程B（n）始终保持正值。下一个假设控制不同标度参数收敛到零的相对速度。由于离散系统动力学与[8]中的相同，我们必须使用不同的比例来获得不同的扩散极限，而不是流体极限。从直觉上看，所有单个事件的平均影响必须比生成性更大。通过将[8]中的缩放假设与下面的假设2.2进行比较，我们可以看出这就是这种情况。假设2.2。适用于所有n∈ Nt（n）=p（n）x（n）=v（n）= o（1）。备注2.3。事件变量的条件分布由方程（8）和（7）唯一确定，这一事实不同于[8]中的相应假设，即推导出高频区中的大量数字。事实上，虽然（7）c也可以在[8]中找到，（8）是唯一重要的额外假设-除了不同的标度之外-需要推导出高频限值下价格过程的差异动态。

类似的假设也可以在[1]中找到。假设2.1的方程式（7）和（8）与假设2.2一起得出，对于所有n∈ N和k≤ 几乎可以肯定t（n）hr（n）S（n）k-1.i=EδB（n）kF（n）k-1.,t（n）p（n）S（n）k-1.= EhδB（n）kF（n）k-1i=Δ^B（n）k。让我们将B（n）的（近似）归一化增量过程定义为（10）δZ（n）k：=δB（n）kr（n）S（n）k-1., Z（n）k：=kXj=1δZ（n）jk=1，那么我们可以为所有人写∈ N、 B（N）（t）=B（N）+t型/t（n）Xk=1δB（n）k=B（n）+t型/t（n）Xk=1马力（n）S（n）k-1.t（n）+r（n）S（n）k-1.δZ（n）ki（11）通过Z（n）k的线性插值，k=1，Tn，我们得到了连续时间过程z（n）（t）：=TnXk=0Z（n）kht（n）k，t（n）k+1（t） ，t∈ [0，T]。定理2.4。在假设2.1和2.2下，Z（n）=Z（n）（t）t型∈[0，T]在D（[0，T]；R）T上弱收敛于标准布朗运动Z，如n→ ∞.证据首先请注意，方程式（7）和（8）意味着对于所有n∈ N和k≤ Tn，（12）- 1.≤x（n）p（n）S（n）k-1.r（n）S（n）k-1.≤ 1此外，根据定义（13）t（n）p（n）S（n）k-1.≤ EδB（n）kF（n）k-1.≤ x（n）n→∞-→ 因此，对于任何t∈ [0，T]t型/t（n）Xk=1EδZ（n）kF（n）k-1.=t型/t（n）Xk=1t（n）r（n）S（n）k-1.-t（n）p（n）S（n）k-1.r（n）S（n）k-1.→ t a.s.Second，（9）和（12）意味着对于所有n∈ N和k≤ Tn、hr（n）S（n）k-1.我-2.≤人力资源（n）S（n）k-1.我-2nr（n）S（n）k-1.>ηo+hr（n）S（n）k-1.我-2.p（n）S（n）k-1.+>η≤η+hr（n）S（n）k-1.我-2.人力资源（n）S（n）k-1.i>x（n）η≤η+x（n）ηa.s.因此，存在一个收敛于zero s uch的确定性序列（cn），对于所有k=1，田纳西州，δZ（n）k=h类x（n）Bφ（n）k-A.φ（n）k- t（n）p（n）S（n）k-1.国际卫生条例（n）S（n）k-1.我≤ 2.x（n）+t（n）p（n）S（n）k-1.ηη+x（n）≤ cna。s、 （14）我们认为，对于所有ε>0，t型/t（n）Xk=1EδZ（n）knδZ（n）k>εo≤cnεt型/t（n）Xk=1EδZ（n）k≤tε·cn→ 0，即满足Lindeberg条件。因此，函数中心极限定理（参见。