美式选件校准的模型简化

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英文标题：
《Model reduction for calibration of American options》
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作者：
Olena Burkovska, Kathrin Glau, Mirco Mahlstedt, Barbara Wohlmuth
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  American put options are among the most frequently traded single stock options, and their calibration is computationally challenging since no closed-form expression is available. Due to the higher flexibility in comparison to European options, the mathematical model involves additional constraints, and a variational inequality is obtained. We use the Heston stochastic volatility model to describe the price of a single stock option. In order to speed up the calibration process, we apply two model reduction strategies. Firstly, a reduced basis method (RBM) is used to define a suitable low-dimensional basis for the numerical approximation of the parameter-dependent partial differential equation ($\\mu$PDE) model. By doing so the computational complexity for solving the $\\mu$PDE is drastically reduced, and applications of standard minimization algorithms for the calibration are significantly faster than working with a high-dimensional finite element basis. Secondly, so-called de-Americanization strategies are applied. Here, the main idea is to reformulate the calibration problem for American options as a problem for European options and to exploit closed-form solutions. Both reduction techniques are systematically compared and tested for both synthetic and market data sets.
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中文摘要：
美国看跌期权是交易最频繁的单一股票期权之一，由于没有可用的封闭式表达式，因此其校准在计算上具有挑战性。由于与欧式期权相比具有更高的灵活性，该数学模型包含了额外的约束，并得到了一个变分不等式。我们使用赫斯顿随机波动率模型来描述单个股票期权的价格。为了加快校准过程，我们采用了两种模型简化策略。首先，使用约化基方法（RBM）定义一个合适的低维基，用于参数相关偏微分方程（PDE）模型的数值逼近。通过这样做，解决$\\ mu$偏微分方程的计算复杂度大大降低，用于校准的标准最小化算法的应用明显快于使用高维有限元基础。其次，采用了所谓的非美国化策略。这里的主要思想是将美式期权的校准问题重新表述为欧式期权的问题，并利用闭式解。针对合成数据集和市场数据集，对这两种还原技术进行了系统的比较和测试。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Model_reduction_for_calibration_of_American_options.pdf (1.27 MB)

2022-6-25 00:16:56 上传

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关键词：Applications Minimization Mathematical Differential Quantitative

美国选装件校准的模型简化。BURKOVSKA、K.GLAU、M.MAHLSTEDT和B.WOHLMUTHAbstract。由于没有可用的封闭式表现主义，因此它们的校准在计算上具有挑战性。由于与欧式期权相比具有更高的灵活性，因此数学模型包含了额外的约束，并得到了一个变分不等式。我们使用赫斯顿随机波动率模型来描述单个股票期权的价格。为了加快校准过程，我们采用了两种模型简化策略。首先，使用约化基方法（RBM）为参数相关偏微分方程（uPDE）模型的数值近似确定合适的低维基础。通过这样做，可以大大降低求解uPDE的计算复杂度，并且用于校准的标准最小化算法的应用速度明显快于使用高维有限元基础。其次，采用了所谓的非美国化策略。这里的主要思想是将美式期权的校准问题重新定义为欧式期权的问题，并探索封闭形式的解决方案。针对合成数据集和市场数据集，对这两种还原技术进行了系统的比较和测试。期权定价的数学模型通常敏感地依赖于一组参数，例如利率、长期方差、均值回归率、波动率波动率和相关参数。只有在这些参数已知的情况下，才能进行可靠的预测。虽然利率通常是先验的，但其他参数不能直接从观察到的市场数据中获取，而必须通过具有计算挑战性的校准过程来确定。

不断变化的市场形势需要快速的参数设置算法。这里，我们考虑美国类型的单一股票期权。这类期权取决于路径，因为期权持有人有权在任何时候行使期权，直至到期。此外，这也是在交易所交易的最受欢迎的选择之一。为了能够对市场波动做出即时反应，复杂性降低技术是一项特别有趣的技术。欧洲和美国的选项都可以基于时间和资产价格上的参数依赖型偏微分方程，参见，例如，[，]和其中的参考文献。然而，由于行使美式期权的灵活性高于欧洲期权，美式模型的数学模型必须通过适当的不平等约束来丰富，以反映无障碍原则。然后将所考虑的问题转化为aweak变分不等式问题，半光滑牛顿格式可作为非线性解算器应用于该问题。经典的有限离散化方案，如有限元素或有限差分，则需要相当高维的基础空间，从而形成大型系统。截止日期：2018年7月23日。关键词和短语。缩减基差法、模型缩减、美式选项、校准、赫斯顿模型、非美式化。这项工作得到了DFG赠款WO671/11-1的部分支持；国际研究培训组IGDK1754，由德国研究基金会（DFG）和奥地利研究基金会（FWF）资助；毕马威风险管理卓越中心。arXiv:1611.06452v1【math.NA】2016年11月19日美国选项2校准的模型简化已解决。

为了降低计算成本，我们采用了两种不同的缩减技术。第一种方法基于缩基方法，该方法非常适用于依赖参数的偏微分方程，而第二种方法利用了一个事实，即对于更简单的欧式选项，可以访问闭式解。reducedbasis方法的关键思想是将局部支持的标准FEM基函数替换为由uPDE的解和特定参数选择形成的基函数。通过这样做，我们通常可以得到尺寸相当小的稠密代数系统。RBM并不是一种新方法，已在广泛应用的文献中进行了广泛研究，参见[，]和其中的参考文献。然而，很少有人关注金融领域的应用。最近关于模型简化技术的研究主要集中在POD方法上，包括[，，，]等。可在[，]中找到RBM的第一个结果。在[]中，RBM被应用于更复杂的模型，例如，以参数函数作为初始条件。虽然这些参考集中于欧式期权的最简单情况，但在[，]中考虑了由抛物线变分不等式描述的美式期权。在抛物变分不等式的情况下，适当构造约化基空间比变分不等式更具挑战性。为了解决这个问题，可以使用POD角度贪婪策略[]或非负矩阵因式分解算法[，]。我们还提到了在时空框架下，关于平稳情形[，]和指令情形下变分不等式的RBM的相关工作，例如[26]。期权定价与不可观测参数的校准相关。

这项任务可以表述为一个最小二乘最小化问题，该问题找到了一个模型参数，可以在最小二乘意义上最小化模型和市场期权价格之间的差异。这些问题通常需要对uPDEto的数值解进行多次评估，以获得不同的参数值，这会导致较高的计算成本。因此，为了加速校准程序，同时仍能提供准确的结果，我们旨在应用RBM。其想法是用RBM方法构建的更简单的代理模型，或者用POD技术（例如，[，]）替代复杂的PDE模型。文献[，]中已经研究了欧洲期权线性情况下的RBM校准，但据我们所知，美国期权的扩展尚未解决。我们还提到了使用POD方法将RBM应用于PDE约束优化问题[]，以及最近关于约化基方法的工作[19]。校准问题也可以在逆问题理论的背景下进行研究。大多数工作都是在Black-Scholes模型中重建欧洲期权的隐含波动率曲面。这导致了一个有限维的病态逆问题。例如，我们参考[]，其中分析了逆问题的唯一可解性和稳定性，并参考[]，其中提出了适当的Tychonov正则化策略来解决问题的固有病态性。类似地，在[，]中，导出了解的存在性及其最优性条件。

在目前的情况下，由于有限维参数空间，我们通常认为相应的逆问题是适定的，因此我们不使用正则化项。我们注意到，对于校准，也可以直接在随机框架中工作，并计算模型价格，例如，使用蒙特卡罗方法，如[]中所述应用后向回归方案，或使用不同的蒙特卡罗估计，如[，]中所述。或者，可以应用（二项式）树方法，例如[，]中的方法。对于Europeanoptions，可以使用闭式解决方案，也可以使用FFT技术，例如参见[，，]。校准美式期权的FourierMODEL REDUCTION 3基于转换的定价方法已扩展到美式期权的定价，例如参见[]和[]。当在固定时间评估的建模随机过程的傅立叶变换以闭合形式可用时，这些方法适用。在本文中，我们将重点介绍一种基于PDE的方法，该方法具有更广泛的范围。而PDE和RDM的离散化技术形成了一个相当灵活的美国选项[，]。这些策略首先将价格转换为伪欧式期权价格，然后通过直接应用计算成本较低的闭式解来校准欧式期权。在[]中，非美国化技术是。e、 ，对RBM策略和去美国化策略进行了数值研究，并针对Heston模型进行了比较[33]。论文的其余部分结构如下：模型问题和校准程序在3中简要介绍。在第四节中，我们讨论了一个基于赫斯顿模型的美式期权定价问题变分不等式的POD角贪婪RBM。第5节介绍了通过“去美国化战略”（DAS）获得的替代模型。第6节对RBM和DAS进行了数值研究。

第6.3节介绍了两种技术的比较研究。在这里，我们使用合成和真实市场数据集来校准未知参数。2、模型问题在特定模型中计算期权（欧洲或美国）的价格，suitableS>timeT>0，strike priceK>0，以及输入参数集，由向量u表示∈ P、 其中P Rpis是一个参数域。尽管前三个组成部分S、K、T是已知的，并由市场数据提供，但输入参数向量u是未知的，利率大于0的情况除外，需要从市场中估计。这些类型的问题称为参数识别或校准问题。也就是说，给出了一组市场期权价格的观察结果，我们对能够为观察到的市场数据提供最佳拟合的参数u感兴趣。Soption pricesPobsi=不同到期日的POB（S、Ti、Ki）和不同罢工的POB，i=1，M、 从数学上讲，期权价格的校准可以表述为一个Leatsquares最小化问题：findu∈ Popt公司∈ P，该溶剂为minuJ（u），J（u）：=MMXi=1 | Pobsi- Pi（u）|，（2.1），其中Pi（u）=P（S，Ti，Ki；u）是模型价格，例如可以通过求解相关的uPDE来计算。更准确地说，对于欧洲选项，Pi（u）解决Pi（u）τ+L（u）Pi（u）=0，in[0，T）×Rn+，（2.2a）P（Ti；u）=Hi，in Rn+，（2.2b），其中Hi是一个支付函数，Hi=（Ki- S） +用于put andHi=（S- Ki）+forn，τTmaxTii，美式期权校准的MMODEL缩减4在美式看跌期权的情况下，Pi（u）满意度Pi（u）τ+L（u）Pi（u）≤ 0，in[0，T）×Rn+，（2.3a）Pi（u）≥ Hi，in[0，T）×Rn+，（2.3b）Pi（u）τ+L（u）Pi（u）（Pi（u）- Hi）=0，in[0，T）×Rn+，（2.3c）P（Ti；u）=Hi，in Rn+，（2.3d），其中Hi：=（Ki- S） +。这两个问题都有合适的边界条件。

运算符是一种空间（积分）微分运算符，由用于定价期权的模型定义，例如Black-Scholes[]、CEV模型、Heston[]。在这里，我们将自己限制在一些其他模型之外。3、赫斯顿模型及其校准我们继续讨论，介绍了用于校准期权价格的赫斯顿模型[]，并描述了该模型的校准程序。模型问题。（3.1a）和波动率（3.1b）动力学，dS=ιSdτ+σSdW，（3.1a）dν=κ（γ- ν） dτ+ξ√νdW，（3.1b）资产价格：={Sτ：τ≥}表现出具有维纳过程W、漂移ι和波动率σ的几何布朗运动：=√ν. 随机瞬时方差ν：={ντ：τ≥}由均值回复平方根过程（称为Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程）驱动，长期方差γ>0，均值回复率κ>0，方差波动率（也称为波动率波动率）ξ>0。ρ关联的维纳过程∈[-,1]. 此外，假设所谓的Feller条件，即如果参数满足2κγ>ξ，（3.2）参见，例如[]，则方差过程（3.1b）严格为正。除非另有说明，否则我们将重点设置参数，以确保始终充满填料条件。根据It^o演算，（3.1）可以重新表示为偏微分方程（2.2），（2.3），参见，例如，[]，其中u：=（ξ，ρ，γ，κ，r），运算符L（u）定义为以下L（u）P（u）：=νSP（u）S+ξνρSP（u）νS+ξνP（u）ν+卢比P（u）S+κ（γ- ν)P（u）ν- rP（u）。（3.3）我们注意到，算符（3.3）属于对流扩散反应类型，其可变系数为退化的s=0，ν=0。为了消除assetprice变量中的退化性，标准做法是执行S的对数变换。

引入新变量x：=对数（S/K），我们表示byw（τ，ν，x，u）：=P（τ，ν，Kex；u）对数转换变量中的价格，即w（0，ν，x；u）=χ（x）：=（Kex- K） +对于美式期权校准的看跌期权和模型简化5χ（x）：=（K-Kex）+打电话。LetL（u）是对数变换变量中与toL（u）相对应的微分算子，给定byL（u）w（u）= · A（u）w（u）- b（u）·w（u）- rw（u），（3.4a）带 :=ν,x个T、 扩散矩阵A（u）和速度向量b（u）A（u）：=νξρξρξ 1, b（u）：=-κ(γ - ν) +ξ-r+ν+ξρ. （3.4b）在有界域上考虑PDEOhm := （νmin，νmax）×（xmin，xmax） R、 xmin<xmax<νmin<νmaxD∪NwhereΓd对应于边界的非平凡Dirichlet部分Ohm, 和ΓNstandsin【20】，wν（t，ν，x）=0，onΓN：={（ν，x）∈ Ohm : ν ∈ {νmin，νmax}，（3.5a）w（t，ν，x）=Ke-rt，onΓD：={（ν，x）∈ Ohm : x=xmin}，（3.5b）w（t，ν，x）=0，onΓD：={（ν，x）∈ Ohm : x=xmax}。（3.5c）对于美式看跌期权，我们规定了[15，20]中提出的边界条件，w（t，ν，x）=χ（x），onΓD：=ΓD∪ ΓD，wν（t，ν，x）=0，onΓN.（3.6a）接下来，我们以变分形式重新计算问题。我们引入以下函数空间x=H(Ohm), V：={V∈ X:vΓD=0}，（3.7）配备标准sk·kX=k·kH，k·kV=|·| H，对应于H(Ohm) 诺曼半范数。设V的对偶空间，用V的H·、·iV×V特征对表示。然后我们确定双线性形式：V×V→ R对应于赫斯顿模型，a（u，v；u）：=ZOhmA（u）u·v+ZOhmb（u）·uv+ZOhmruv。（3.8）注意ν≥ νmin>0，ρ∈(-,1） henceA（u）在Ohm.

根据所有u∈ p双线性形式（·，·；u）是连续的，满足V×V，[]上的Garding不等式，即存在常数0<αa≤ αa（u），0<γa（u）≤ γa<∞, 0≤ λa（u）≤ λa<∞, 使| a（u，v；u）|≤ γa（u）kVkVkVu、 五∈ 五、 （连续性）a（V，V；u）≥ αa（u）kvkV- λa（u）kvkL(Ohm)v∈ 五、 （Garding不等式）对于时间上的半离散化，我们使用θ=1/2的θ-格式。Lett：=T-τ和，TItkkt<k≤ Iwith公司t=t/I。定义周（u）：=w（tk，ν，x；u）∈ 十、 我们将其分解为wk=uk+ukL，其中uk∈ 范杜克∈ Xis是非均匀Dirichlet数据的连续扩展。此外，对于所有u∈ P、 五∈ 五、 θ∈[0,1]，k∈ 一、 式中：={，…，I-}, 我们定义了美式选项6线性函数fk+θ（u）校准的模型简化∈ Vas followFk+θ（v；u）：=-t型英国+1升（u）- ukL（u），vL(Ohm)- 一θuk+1L（u）+（1- θ） ukL（u），v；u. （3.10）使用测试功能v∈ （2.2）中的V得出以下变分公式t型英国+1- 英国，vL(Ohm)+ a（uk+θ，v；u）=fk+θ（v；u），v∈ 五、 （3.11）式中，uk+θ：=θuk+1+（1- θ） 英国。（2.3）鞍点形式，参见，例如，【39】。定义W=Vand M W作为双锥byM：={η∈ W:b（η，v）≥ 0，v∈ 五、 五≥ 0}，（3.12），其中b（η，v）：=hη，viV×v，对于所有η∈ W、 五∈ 五、 对于u∈ 潘德克∈ 一、 我们介绍了函数gk+1∈ W、 gk+1（η；u）：=b（η，χ）- b（η，uk+1L（u））。然后我们得出以下变分鞍点公式：对于u∈ P、 k级∈ 一、 θ∈ [0，1]，结果（uk+1（u），λk+1（u））∈ V×M，满足所有η∈ M、 五∈ 五、t型英国+1- 英国，vL(Ohm)+ a（uk+θ，v；u）- b（λk+1，v）=fk+θ（v；u），（3.13）b（η- λk+1，uk+1）≥ gk+1（η- λk+1；u). （3.14）注意，对于所有u∈ P、 k级∈ 一、 fk+θ∈ Vand双线性形式（·，·；u）是连续的，满足Garding不等式。因此，对于足够小的时间步长t<（1/θλa（u）），通过广义Lax-Milgram参数，问题（3.11）允许唯一解u（u）∈ 五、 [，]。