非参数和半参数资产定价

H"ardle和Mammen（1993）在参数估计中引入了一种人工偏差来解决这个问题。他们使用核加权回归，形式为（）（）（）（）n^Hi j jj1^inHi jj1KXXmX^mXKXXθθ==-=-∑∑,        （17） 代替（）imXθ，根据公式（16），他们使用（）n2^Hi ii1^^TmXmXθ==-∑（18） 测试统计。T的分布未知；然而，它可以通过野生引导法来确定（见H"ardle和Mammen，1993）。2.4. 风险和绩效衡量、“β”和“α”估计相关的不可分散风险可通过β^线性衡量；也就是CL的斜率系数。在非线性的情况下，贝塔估计是有偏差的，因此我们用半参数方法近似市场风险。5 H"ardle et al.（2004）表明（）（）（）（）（）（）（）T01 p^^^^xx，x，。。。，xβββ*=可以通过最小化（（）{}（）01 p01 pn2pii ihi^^^^，…）来估计，。。。，i1^^^最小Y X X。。。X X K X Xββββββ** *=-- --- - -∑.    （21）（）^xβ*可通过加权最小二乘法（WLS）进行估计，其形式为（）（）1TT^xXWXXWYβ-*=,            （22）式（4）中定义了重量，（）（）（）（）（）（）（）（）（）2p11 12p22 22pnn n1X x x x x x1X x x xX1X x x x x x x x-- --- -=-- -LLMM M O ML，p是回归的幂，12nYYYY=手动（）（）（）h1h2hnKxX 0 00KxX 0W。00KxX--=-llmmoml等式（22）中定义的估计是局部多项式回归（见H"ardle et al.，2004）。（）^xβ*向量的元素数与估计方程的幂相同，因此，例如，（）0^xβ*是（^xmhregression函数的局部常数估计，它本身就是Nadaraya Watson核回归。（）1^xβ*近似于可确定平均斜率的（）mx的导数。

CAPM是一个线性模型，因此它假设回归的幂为1，因此我们将多项式回归的幂取为1，并以这种方式估计“beta”。Blundell（1991）表明，“beta”只是导数估计的期望值；也就是说，5我们将其用于单变量回归；然而，它可以很容易地推广到多变量情况（见H"ardle et al.，2004）。（）（）（）111nhii^^^Em x Xnββ*=′=≈∑.          （23）等式（23）足以估计市场风险，即使线性不成立。该程序的优点是，它还考虑了线性仅在特定间隔内有效的情况；在任何情况下，给定资产的风险都不一定是恒定的，这使得在极端情况下对极端风险的估计成为可能，因此这种风险度量比简单的CAPMβ更为现实。Jensen（1968）如果线性不成立，则α测度是有偏差的，因此我们导出了一个类似于导数估计的半参数测度。资产的平均绩效可由其风险调整后回报的盈余（由CAPM代替估计的半参数β计算）确定，这称为“α”或半参数α；也就是说，（）（）（）（）（）11niii^^Ex YXnααβ** *==≈-∑,          （24）其中^β*定义见等式（23）。只有当特性“曲线”在每个点的理论CL（零截距）正上方/下方由alpha表示时，Jensen alpha才是一个适当的性能度量，只有当线性保持时，这才是正确的。另一方面，公式（24）估计了每个点的异常回报率，每个点的异常回报率可能因点而异，平均绩效是点估计的平均值。3.

在分析数据中，我们从标准普尔500指数、标准普尔中盘指数400指数和标准普尔小盘指数600指数中随机抽取50-50只股票。这些指数代表了大型、中型和小型资本化股票的回报率。市场回报率是CRSP数据库中可用的回报率，该回报率是经过资本化加权和股息调整的。该指数跟踪纽约证券交易所（NYSE）、美国证券交易所（AMEX）和纳斯达克股票的回报情况。利用Fama-French三因素模型扩展我们的分析，我们使用了CRSP数据库中的SMB和HML因素（这些因素基于按规模和账面市值6划分的六个投资组合）。无风险利率是CRSP一个月期国库券的收益。我们使用1999年1月1日至2008年12月31日十年期的每日申报表。我们的数据并非没有生存偏差（例如，见Elton，1996）；也就是说，只有那些在调查期结束时仍在市场上的公司才有资格加入数据库。这可能会在估计参数中引入选择偏差，因为那些破产、承担更大风险且可能显著表现不佳的公司。然而，我们必须注意到，生存偏差并不是一个严重的问题，因为除了大盘股公司外，我们还包括中小型公司。结果在本节中，我们应用前几节中给出的估计和测试程序给出了我们的结果。首先，我们展示了单因素模型的结果，然后我们给出了基于核回归的Fama-French三因素（1996）模型的推广。为了展示我们的结果，我们随机选择了一只股票，即Lowe’s Companys股份有限公司。

（低），这是标准普尔500指数的一个组成部分，另一个在CL中表现出非线性的组成部分，即National Oilwell Varco Inc（标准普尔500指数的组成部分）。6投资组合的详细描述见Fama and French（1996）或Kenneth French网站。4.1. 美国股票收益率的单因素解释在本小节中，我们基于核回归估计单因素资产定价模型。这些估计值是CAPM的推广，我们的估计值允许Alpha和Beta随时间变化，并且定价函数可以是非线性的。图1面板A显示了Lowe’s股份有限公司的CL。粗体曲线是等式（3）中定义的核回归，虚线是等式（2）中定义的线性回归，虚线是95%水平7下核回归的置信带。核回归的R2几乎高出4%（0.369 vs.0.356），字母没有显著差异（它们在四个小数点以下相同）；然而，线性贝塔显著向下偏移（1.15 vs.1.09）。我们不能拒绝Lowe’s Inc.的CL线性，其结果也得到95%置信区间的支持。8另一方面，图1面板B中National Oilwell Varco Inc.的线性度可在95%的水平上被拒绝。请在此处插入图1，我们将上述计算应用于我们数据库中随机选择的所有150只股票。结果根据市值分为三部分：大盘股、中盘股和小盘股。与公司规模无关，核回归的平均R2更高。考虑到大盘股，在95%显著性水平下，50个案例中有9个可以拒绝CLs的线性。

这一结果非常重要，我们可以拒绝标准普尔500指数成分股收益率与市场收益率之间的线性关系。对于中小市值股票，我们可以在两种情况下拒绝CL的线性，这意味着在95%的置信水平下不能拒绝中小市值公司的线性。在150个案例中，共有13个案例（8.7%）的置信区间计算见H"ardle（2004）。8我们使用wild bootstrapping方法为T检验生成250个不同的样本。我们可以拒绝零假设；也就是说，可以在95%置信水平下拒绝美国股票的CLs线性（见表1）。请在此插入表1。我们拒绝接受标准普尔500指数中18%的公司和我们数据库中所有公司中8.7%的线性零假设，在这种情况下，通过线性回归估计的参数是有偏差和不一致的，因此，应通过非线性方法估计市场风险（“beta”）和异常回报（“alpha”）。参数和半参数字母没有显著差异；然而，线性和核beta之间的平均差异为11%，这是显著的。9中小型公司的线性CL不能被拒绝，因此在这些情况下可以使用线性回归。两种方法估计的大盘股异常收益率差异不显著；表现出非线性的股票的平均α值分别为0.05和0.05，表现出线性的股票的平均α值分别为0.04和0.04。然而，平均非线性核beta显著高于OLS估计值（1.31 vs.1.21），而如果线性保持不变，则没有显著差异（0.90 vs.0.92）。

在线性可被拒绝的情况下（平均0.14 vs.0.13），中等市值股票的Alpha之间没有显著差异，在线性不能被拒绝的情况下，它们是相同的（0.05）。β值不同，如果线性不成立，则平均为1.72 vs.1.39；然而，如果我们不能拒绝线性，则没有显著差异（0.93 vs.0.94）。在小公司的情况下，如果线性保持（0.07），平均α值没有差异；然而，beta略有不同：1.00 vs.0.91。在重新调整线性的情况下，α平均值仍然相同（0.08），β没有显著差异（1.33 vs.1.34）。9平均差值通过（）150LR KRj11^^abs 1/150βββ计算=-∑.总结参数估计的结果，我们可以认为核函数和OLSα几乎是相同的；线性是否成立并不重要。另一方面，当CL的线性可以被拒绝时，OLSβ显著向下偏移。平均贝塔系数与公司规模成反比，证实了小公司效应（见Banz，1981；Basu，1983）。那些以非线性特征曲线为特征的股票，其“beta”较高，这表明极端情况会导致线性无效，因为异常值会增加风险；另一方面，这些极端很难用市场的线性运动来解释。这是一个惊人的结果，如果线性可以被拒绝，那么两种方法估计的beta差异在小型公司中并不是最大的，而是在中型公司中；然而，我们必须注意的是，数据库中只有两支中型股的特征曲线呈现非线性。

如果可以拒绝线性，那么在大盘股上的差异也很显著，这与之前的结果一起表明，线性与公司规模无关。图2显示了Lowe’s Inc.的特征曲线在市场风险溢价函数中的导数估计。可以看出，估计的相关风险不是常数；它在尾部表现出高波动性，此外，在正尾部，风险随着市场风险溢价而上升。图2面板B显示了National Oilwell Varco股份有限公司的衍生估计。估计的市场风险与面板A中的市场风险相似；在正常情况下，beta是常数；然而，在极端情况下，估计非常不稳定。“Beta”在维持CAPM的分布中心部分保持不变；然而，在尾部，它的行为不同。非常数风险估计有几个原因：首先，可以想象，线性在尾部不成立，导致了非常数导数估计；其次，尾部的观测值数量较低，这在估计中引入了噪声。请在此处插入图2。图3面板A显示了Lowe’s Inc.在市场风险溢价作用下的绩效评估。在正常情况下，“alpha”是稳定的，接近于零；然而，证券对市场的极端消极和积极运动的反应不同。股票价格会对极端负面的市场波动作出过度反应，导致显著的负“α”；然而，在积极的尾部，我们衡量了显著的积极绩效；也就是说，极端市场波动越大，异常回报率越大。

我们必须注意，由于数据稀疏，回归估计在尾部的精度较低。图3面板B显示了National Oilwell Varco股份有限公司的性能估计。结果与Lowe’s Inc.的情况相似。在正常情况下，“alpha”相对稳定，与零无显著差异；而在极端情况下，表现在负尾显著为负，在正尾显著为正。半参数阿尔法估计的结果给共同基金行业带来了一个重要的启示：只有当市场出现极端波动时，基金经理才能战胜市场。请插入图3。我们使用表1中的半参数beta作为解释变量，以平均日收益率作为因变量来估计横截面回归（SML）。表2按市值列出了SML的估计参数。请在此处插入表2，中盖SML的斜率系数最高（0.0407），因为大盖线的斜率非常小（0.0081），曲线几乎平坦。标准普尔小型股600股票的SML估计斜率为负值（-0.0344）；也就是说，风险越大，预期回报越小。这一结果表明，单因素模型无法解释小企业效应（见Banz，1981；Basu，1983；Fama和French，1995；1996）。我们数据库中所有150家公司的SML估计值的斜率系数为0.0085，这仍然非常平坦。图4显示了标准普尔规模指数和所有股票的SML。我们将wild bootstrap线性测试应用于SML，我们可以得出结论，在任何通常的显著性水平下，线性都不能被拒绝。

基于横截面回归，我们可以认为，无论是时变贝塔系数，还是非线性定价函数，都不能解释单因素背景下美国股票收益的横截面，因为核心回归无法解释小企业效应。请在此处插入图4 4.2。美国股票收益的多因素解释如前一小节所示，单变量资产定价模型无法解释美国股票收益，因为它无法描述小公司的收益，因此我们估计了Fama-French三因素模型的线性和核心版本。Fama-French三因素模型（Fama和French，1996）扩展了单因素模型，增加了两个风险因素：一个是小公司效应，即小盘股和大盘股（SMB）之间的收益利差；另一个是“相对困境”，即高账面市值与低账面市值之间的收益利差（HML）。表3显示了基于Fama-French因子的线性回归和核回归的结果。Fama-French三因素模型的核形式由式（4）估计，半参数的^KRβ、^KRsand^KRhare是以式（23）中类似的方式在每个数据点估计的因素的简单平均值，半参数的α（^KRα）由以下等式估计：（）（）（）nKR KR i KR 1、i KR 2、i KR 3、ii11^^^^^^^^Ex YXsXhXnαβ==≈---∑（25）其中Xds为回归系数（分别为市场风险溢价、SMB和HML系数）。然而，在任何情况下都不能拒绝线性，因为除了一种情况外，所有情况下的核回归的R2s都较高。我们的半参数测量值与参数估计值仅略有不同，因为不能拒绝线性，因此参数估计值并不显著。

即使在小盘股中，贝塔系数也与预期收益率呈正相关，小盘股核心贝塔系数与小盘股平均收益率的相关系数为10.55%。小型股对中小企业系数的影响最大，其次是中型股，对大型股的影响最小。即使采用线性回归，这三个因素也足以解释美国股票的预期回报；然而，即使我们允许时变beta和非线性定价函数，单因素模型也无法解释美国股票回报的横截面。请在此插入表3，因此，如果应用三因素模型，非参数方法不会对线性模型增加任何值。然而，即使在小盘股的情况下，单因素和三因素模型的beta也具有相同的正符号。此外，线性和核CAPMβ与预期收益呈负相关，而三因素设置下的线性或核β与预期收益呈正相关。5、结束语根据我们的结果，8.7%的美国股票可以拒绝采用单因素CAPM的CL线性，因此标准线性估计量不能用于估计市场风险和表现。我们建议使用半参数方法来估计“α”和“β”，因为我们的研究表明，当线性保持时，它们与线性度量没有显著差异，而当线性可以被拒绝时，它们提供了很好的替代方法。风险和绩效指标；也就是说，当市场出现极端波动时，贝塔和阿尔法并不是恒定不变的；然而，标准措施将表明不断的估计。