基于深度学习的伦敦银行同业拆借利率市场模型BSDE求解器及其应用

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英文标题：
《Deep Learning-Based BSDE Solver for Libor Market Model with Application
  to Bermudan Swaption Pricing and Hedging》
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作者：
Haojie Wang, Han Chen, Agus Sudjianto, Richard Liu, Qi Shen
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The Libor market model is a mainstay term structure model of interest rates for derivatives pricing, especially for Bermudan swaptions, and other exotic Libor callable derivatives. For numerical implementation the pricing of derivatives with Libor market models is mainly carried out with Monte Carlo simulation. The PDE grid approach is not particularly feasible due to Curse of Dimensionality. The standard Monte Carlo method for American/Bermudan swaption pricing more or less uses regression to estimate expected value as a linear combination of basis functions (Longstaff and Schwartz). However, Monte Carlo method only provides the lower bound for American option price. Another complexity is the computation of the sensitivities of the option, the so-called Greeks, which are fundamental for a trader\'s hedging activity. Recently, an alternative numerical method based on deep learning and backward stochastic differential equations appeared in quite a few researches. For European style options the feedforward deep neural networks (DNN) show not only feasibility but also efficiency to obtain both prices and numerical Greeks. In this paper, a new backward DNN solver is proposed for Bermudan swaptions. Our approach is representing financial pricing problems in the form of high dimensional stochastic optimal control problems, FBSDEs, or equivalent PDEs. We demonstrate that using backward DNN the high-dimension Bermudan swaption pricing and hedging can be solved effectively and efficiently. A comparison between Monte Carlo simulation and the new method for pricing vanilla interest rate options manifests the superior performance of the new method. We then use this method to calculate prices and Greeks of Bermudan swaptions as a prelude for other Libor callable derivatives.
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中文摘要：
伦敦银行同业拆借利率市场模型是衍生品定价的主要利率期限结构模型，尤其是百慕大掉期期权和其他外来的伦敦银行同业拆借利率可赎回衍生品。对于数值实施，采用伦敦银行同业拆借利率市场模型的衍生品定价主要通过蒙特卡罗模拟进行。由于维数灾难，PDE网格方法不是特别可行。美国/百慕大互换期权定价的标准蒙特卡罗方法或多或少地使用回归来估计期望值，作为基函数的线性组合（Longstaff和Schwartz）。然而，蒙特卡罗方法只能提供美式期权价格的下限。另一个复杂性是期权敏感性的计算，即所谓的希腊期权，这是交易员对冲活动的基础。近年来，在许多研究中出现了一种基于深度学习和倒向随机微分方程的数值方法。对于欧式期权，前馈深度神经网络（DNN）不仅具有可行性，而且能够有效地获得价格和数值。本文针对百慕大Swaption提出了一种新的反向DNN求解器。我们的方法是将金融定价问题表示为高维随机最优控制问题、FBSDE或等效的PDE。我们证明了使用反向DNN可以有效地解决高维百慕大掉期期权定价和套期保值问题。蒙特卡罗模拟与普通利率期权定价新方法的比较表明，新方法具有优越的性能。然后，我们使用此方法计算百慕大掉期期权的价格和希腊价格，作为其他伦敦银行同业拆借利率可赎回衍生品的前奏。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> Deep_Learning-Based_BSDE_Solver_for_Libor_Market_Model_with_Application_to_Bermu.pdf (1.04 MB)

2022-6-25 03:27:01 上传

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关键词：银行同业拆借 同业拆借利率 深度学习 银行同业 同业拆借

基于深度学习的LiborMarket模型BSDE求解器及其在百慕大期权定价和hedginghojie-Wang中的应用*, Han Chen+，Agus Sudjianto，Richard Liu§，Qi ShenP修订版：2018年9月18日第一版：2018年7月10日摘要Libor市场模型，也称为BGM模型，是利率的期限结构模型。它被广泛用于利率衍生品（尤其是百慕大掉期期权）和其他奇异的Liborcallable衍生品的定价。出于数值实现目的，蒙特卡罗模拟用于伦敦银行同业拆借利率市场模型，以计算衍生工具的价格。由于“维数灾难”，PDE网格方法并不特别可行。美国掉期期权定价的标准蒙特卡罗方法或多或少地使用回归，通过基函数的线性组合来估计期望值，如Longstaff和Schwartz的经典论文[1]所示。然而，本文[1]只提供了美式期权价格的下限。应用蒙特卡罗模拟产生的另一个复杂性是计算期权的敏感性，即所谓的“希腊人”，这是交易员对冲活动的基础。最近，一种基于深度学习和倒向随机微分方程（BSDE）的替代数值方法出现在许多研究论文中[2，3]。对于欧式期权，前馈深度神经网络（DNN）不仅在获取价格和数值方面具有可行性，而且具有高效性。即使在PCA之后，标准LMM实施也需要五维或更高的因子空间，这是传统的模型求解器无法解决的，例如有限差分法或有限元素法。本文提出了一种新的反向DNN求解器来对百慕大期权进行定价。

我们的方法是以高维随机最优控制问题、正向反向SDE或等效PDE的形式来表示金融定价问题。我们证明了使用反向DNN的高维百慕大掉期期权定价和套期保值*公司模型风险部，富国银行+公司模型风险部，富国银行公司模型风险部，富国银行§公司模型风险部，富国银行P公司模型风险部，富国银行，电子邮件联系人：qi。shen@wellsfargo.comcan有效解决。蒙特卡罗模拟与普通利率期权定价新方法的比较表明，新方法具有优越的性能。然后，我们使用反向DNN计算百慕大掉期期权的价格和希腊价格，作为其他Libor可赎回衍生品的前奏。关键词：伦敦银行同业拆借利率市场模型、后向深层神经网络、衍生品定价、前向-后向随机微分方程、通用费曼卡公式、伦敦银行同业拆借利率可赎回项。1简介伦敦银行同业拆借利率市场模型（LMM），也称为BGM模型，是一种广泛使用的利率期限结构模型。作为Heath、Jarrow和Morton（HJM）[4]连续远期利率模型的扩展，LMM将市场观察值作为模型的直接输入。虽然HJM模型描述了用连续复合表示的瞬时远期利率的行为，但LMM假设远期liborrate的动态传播，远期liborrate是指利率掉期融资分支的浮动利率。伦敦银行同业拆借利率是付款期的简单附加利率；因此，LMMoverC带来了一些技术问题，例如与HJM模型的对数正态版本相关的爆炸率（有关详细信息，请参见[5]）。

对于普通选项，如cap/FLOOR、European Swoption，有适当的数字，有史蒂文·布莱克风格的公式，可以加快模型校准。LMM主要通过蒙特卡罗模拟实现。然而，为了使用蒙特卡罗模拟评估美国和百慕大互换期权，必须执行一些额外的数值程序，以避免蒙特卡罗模拟上的蒙特卡罗模拟，并近似于早期演习的决策。一些相关工作包括：（1）1998年，安徒生提出了一种方法，涉及直接搜索内在值参数化的早期运动边界和仍然存在的选项的值[6]。（2） 1997年，Broadie和Glasserman提出了一种涉及随机重组树的方法[7]。（3） 1998年，Longstaff和Schwartz假设期权的价值，如果没有行使，则是在相关行使日期观察到的变量的简单函数。然而，这些方法大多只提供美式期权的定价范围。另一个复杂性是使用蒙特卡罗模拟计算灵敏度。敏感性或“希腊人”是交易员在对冲策略中使用的基本数量。为了计算导数，数值偏微分方程方法通常是最自然的选择，因为它具有以下优点：（1）偏微分方程的因变量仍然存在，不需要用超数值方法估计它们；（2） 希腊人直接由偏微分方程解的偏导数给出；（3） 对于各种路径相关选项，只需更改边界条件。然而，PDE公式中一个众所周知的硬限制是其状态空间中的维数。例如，对于到期日为10年、期限为20年的LIBOR600万欧元欧洲掉期期权，有60 600万欧元的Libor利率，这需要实施60维数值PDE。

为了应对这种所谓的“维度诅咒”，文献中提供了几种传统方法，见[8、9、10]，通常可分为三类。第一类使用Karhunen–Loeve变换将随机微分方程简化为低维方程。此减少导致与先前减少的SDE相关的较低维度LDE。第二类收集了试图减少PDE本身维度的方法。例如，我们提到了分维分解算法。第三类将减少离散层问题复杂性的方法分组，例如稀疏网格方法。如果上述方法中的任何一种都能准确地求解非常高维的期权定价，则是不确定的。最近，一些计算数学研究人员，如普林斯顿大学的Weinan E，提出了基于高维等效倒向随机微分方程（BSDE）公式求解非线性抛物偏微分方程（PDE）的新算法（见[2，3]）。理论上，这种方法是建立在惊人的广义费曼-卡克定理基础上的（见Pardoux和Peng的著作[13][14]）。新方法的第二步利用了BSDE/FBSDE理论与随机最优控制理论之间的深层联系（见[15、16、17、18、19、20]）。第三步借鉴了机器学习、强化学习和深度神经网络（DNN）学习的最新惊人发展的思想和工具。自机器学习早期以来，反向传播就已经标准化，由Rumelhart、Hinton和Williams（21）在一篇开创性论文中首次提出，自然嵌入到神经网络中。

在DNN中，值函数的梯度起到控制/策略函数的作用，并沿下降方向优化适定损失函数以加速收敛。当DNN在人脸识别、图像重建、自然语音、自动驾驶汽车、Gogame play和其他许多方面的应用取得巨大成功时，人们不禁惊叹不已。（参见[22、23、24、25]）然后，通过几层非线性函数组合、卷积和其他类型的嵌套来近似策略函数，如深度学习和强化学习的大量文献所示（参见[26]了解深度学习的调查）。此外，基于深度学习的算法具有高度的可扩展性，可以应用于盲源分离、随机最优控制或偏微分方程问题，而无需改变其实现方式。我们的方法也受到了艺术智能和深度学习研究最新发展的启发。然而，我们的研究重点不同于计算数学领域。例如，Weinan E和合著者使用正向DNN来求解各种非线性偏微分方程，其中经典数值方法受到“维数诅咒”的影响。他们使用forwardDNN来求解高维抛物型偏微分方程，特别是通过基于非线性Feynman-Kac公式的BSDErepresentation。在他们的欧式衍生品定价示例中，他们的方法使用规定的SDE将期权价值预测到最终时间，并近似于前馈DNN中期权价值函数的梯度。提出了损耗函数，以使规定的终值与终端时间的预计值之间的误差最小化。训练数据是标准布朗运动的模拟样本路径。

因此，它属于基于规则的学习范畴。出于比较目的，我们认识到传统远期DNN只能用于欧洲风格的衍生品定价。在金融工程领域，更复杂的衍生品是可赎回工具，如可赎回债券、可转换债券、美国掉期期权，尤其是百慕大掉期期权。百慕大掉期期权被掉期交易所和其他固定收益部门广泛用于对冲利率风险。然而，传统的远期解算器仅适用于欧式金融衍生品定价。一般而言，百慕大风格衍生品的定价需要适当处理早期行使。著名的Bellman动态规划原理是进行此类优化决策的一般准则。例如，重组树或PDEGRID用于百慕大掉期期权定价的低维实施，估值过程从终端时间开始向后。在每个行权日期，将即时行权价值与期权的计算持有价值进行比较，以做出最佳行权决策。据我们所知，我们的论文是金融工程文献中首次将反向DNN应用于价格可赎回衍生工具。我们开发了一种新方法，该方法使用类似的DNN结构/层，但向后推进到投影流。这个想法是非常自然和一致的托布斯德公式。我们的方法专门为可赎回衍生品定价而设计。当期权价格向后预测时，很容易按照相同的Bellman动态规划原则对百慕大掉期期权进行早期行权决策。我们的新方法通过最小化不同模拟路径中预测初始值的方差来学习参数，而不是在终端时间匹配最终支付。

因此，我们将这种新方法称为反向DNN学习。显然，本文中展示的方法可以很容易地应用于金融工程中的一般可赎回衍生品定价。我们的方法直接处理金融工程问题，并利用三大领域知识之间的内在联系：随机最优控制、FBSDE理论和偏微分方程理论，尤其是抛物线和椭圆偏微分方程。我们可以用这三个公式中的任何一个来表示金融衍生定价问题，并选择计算效率最高的公式。论文分为五个部分。在第2节中，我们介绍了伦敦银行同业拆借利率市场模型的基本内容，包括概率测度、定价基准和动态演化。在第3节中，我们首先介绍了LMM下PDE和BSDE公式中的金融衍生品定价问题。然后，我们讨论受深度学习启发的前向和后向DNN解算器。详细阐述了本文的主要贡献&反向反馈DNN算法，以及它在解决可赎回期权定价问题上的独特优势。我们还比较了正向和反向DNN，以突出它们的区别、优点和缺点。在第4节中，我们使用Quantlib中的LMMsetting进行了一些数值实验，以展示前向和后向DNN解算器的性能，如数值精度、收敛速度和稳定性。为此，我们将我们的反向DNN结果与Quantlib在欧洲掉期期权定价中的蒙特卡罗模拟结果进行了比较。这是我们进一步开发使用DNN反向求解器评估的百慕大Swaption的基准。具体而言，我们通过增加行使日期的数量和使用不同的即期收益率曲线来分析反向DNN solverin定价百慕大掉期期权的表现。

我们在第5节中总结了我们对未来DNN在金融工程、衍生品定价和对冲方面的研究方向的看法。2伦敦银行同业拆借利率市场模型的描述在本节中，我们介绍了伦敦银行同业拆借利率市场模型（LMM），并建立了使用深度神经网络进行数值实现的理论框架。我们主要遵循安徒生·皮特堡（AndersenPiterberg）的注释。随后，我们将在LMM设置下的利率期权背景下讨论我们的神经网络定价方法。请记住，我们的方法可以应用于其他通用动力和金融衍生产品。2.1 LMM动态和定价措施let T>0和(Ohm, F、 P，F）是满足通常条件的完全过滤概率空间，其中过滤F={Ft}0≤t型≤这是标准布朗运动{Wt}0产生的自然过滤≤t型≤T（可能是高维的）并由所有P-空集合。在实施伦敦银行同业拆借利率市场模型时，通常从定义固定期限结构开始。模型的基调结构是一组日期，即0=T<T<···<TN（2.1），以区间τi=τ（Ti+1）为特征- Ti），i=0，1，···，N- 然后我们指定向量标准布朗运动Wn（t），n=1，2。。。，N- 1表示所有生成的F={Ft}0≤t型≤T、 函数值通常设置为三个月或六个月，对应于函数τ（x）指示的预先规定的天数。以下是两个日计数分数的示例：τ（Ti+1- Ti）=Ti+1- Ti；τ（Ti+1- Ti）=Ti+1- Ti。现在，我们回顾几个重要的定义和主张。QuantLib是一个免费/开源的定量金融库。定义1。（远期伦敦银行同业拆借利率）让P（t，t）表示上述期限结构下，azero息票债券在到期日t时以1美元的价格交付的时间t价格。

远期伦敦银行同业拆借利率定义为：L（t；Tn，Tn+1），Ln（t）=τnP（t，Tn）P（t，Tn+1）- 1., 1.≤ q（t）≤ n≤ N- 1，（2.2）其中q（t）表示唯一整数，例如tq（t）-1.≤ t<Tq（t），t型≤ 我们表示L（t），（L（t），L（t）。。。，液态氮-1（t））。Ln（t）必须是Tn+1-前向测度QTn+1中的鞅，因此Ln（t）遵循SDE：dLn（t）=σn（t，Ln（t））dWn+1（t）（2.3），其中Wn+1（t）=WTn+1是前向测度QTn+1中的一维布朗运动，σn（t，Ln（t））是Rd中的行向量。为了简化符号，我们表示ξi（t，Ln（t）），fσi（t，Ln（t））k∈ R、 在终端测量QTN下，Ln（t）的过程为Ln（t）=σn（t，Ln（t））-N-1Xj=n+1τjσj（t，Lj（t））1+τjLj（t）dt+dWN（t）= -N-1Xj=n+1τjξn（t，Ln（t））ξj（t，Lj（t））ρn，j1+τjLj（t）dt+ξn（t，Ln（t）dWNn（t），un（t，Ln（t））dt+ξn（t，Ln（t））dWNn（t）（2.4），其中WNn（t）是终端度量QTN中前向libor率Ln（t）的一维标准布朗运动。kokis是欧几里德范数inRd。我们假设WN分量的常数相关{ρij}。我们可以明确地将漂移项写为：un（t）=-N-1Xj=n+1τjξj（t，Lj（t））ξn（t，Ln（t））ρn，j1+τjLj（t）dtdWNn（t）dWNj（t）=ρn，jdt（2.5）在现场测量QB下，Ln（t）的过程是在我们随后的分析和实现中，我们假设衰减系数是一个波动函数σ（t，Ln（t）），ψ（t）Ln（t），也就是说，我们在对数形式的LMM上工作。d≤ N- 1通常是正整数。dLn（t）=σn（t，Ln（t））nXj=q（t）τjσj（t，Lj（t））1+τjLj（t）dt+dWB（t）=nXj=q（t）τjξn（t，Ln（t））ξj（t，Lj（t））ρn，j1+τjLj（t）dt+ξn（t，Ln（t））dWBn（t），un（t，Ln（t））dt+ξn（t，Ln（t））dWBn（t）（2.6），其中WB（t）=WB是点度量QB中的d维布朗运动，而WBn（t）是在点度量QB中推动Libor rateLn（t）向前的一维布朗运动。