一般提款时的广义预期贴现惩罚函数

我们必须指出，对于全谱负L'evy过程，所有q都存在q尺度函数≥ 然而，由于比例函数是通过其拉普拉斯变换定义的，并且在大多数情况下，不可能找到拉普拉斯变换逆的表达式，因此根据q-比例函数的表达式可以称为半显式表达式。对于那些无法找到显式表达式的人，我们求助于数值方法，使人们能够轻松高效地计算比例函数，另见Kuznetsov等人（2012）。我们还简要回顾了偏移理论中反映过程{X（t）的概念- X（t）；t型≥ 0}，我们参考t o Bertoin（1996）了解更多详细信息。进程{L（t）：=X（t）- x、 t型≥ 0}用作马尔可夫过程{X（t）的0处的局部时间- X（t）；t型≥ Px下的0}。将相应的反演时间定义为-1（t）：=inf{s≥ 0 | L（s）>t}=sup{s≥ 0 | L（s）≤ t} 。让我进一步-1（t-) = lims公司↑tL公司-1（s）。用{（t，εt）；t表示该本地时间所表示的偏移的泊松点过程≥ 0}，其中εt（s）：=X（L-1（t））- X（L-1（t-) + s） ，s∈ （0，L-1（t）- L-1（t-)],3主要结果每当L-1（t）- L-1（t-) > 0、对于L-1（t）- L-1（t-) = 0，定义εt=Υ，其中Υ是一个额外的隔离点。因此，我们将属于正则漂移空间E的一般漂移表示为ε（·）（或，εforshort）。过程的强度测度{（t，εt）；t≥ 0}由dt×dn给出，其中“n”是偏移空间的度量。标准漂移的寿命ε用ζ表示，其漂移高度用ε=supt表示∈[0，ζ]ε（t）。正则漂移的首次通过时间ε将由ρ+b定义：=inf{t∈ [0, ζ]; ε（t）>b}，（1）具有约定inf = ζ. 此外，定义αb：=支持∈[0，ρ+b）ε（t），（2）是ρ+b之前的偏移高度。备注2.3。

偏移是路径的一段，h仅在其两个端点处为零值。它引用最大打开时间间隔，以便路径远离0。自然，一个L'evy过程可以分解为一系列的偏移。由于随机性，例如，从零开始的布朗运动（唯一的连续L'evy过程）可以在任何时间间隔内以十个为单位达到零，然后偏移以当地时间标记，而不是以特定偏移的开始时间标记。考虑到只有数不清的远足，因此只有数不清的当地时间与远足有关。这激发了将这组远足视为当地时间上的泊松点过程的想法。因此，可以使用一个度量来描述偏移点过程的泊松强度，这是我们设置中度量“n”的间接含义。有关更多详细解释，请参阅Kyprianou（2006）。3、主要结果本节介绍了L'evy风险过程在一般提取时间的扩展预期贴现惩罚函数，然后将其表示为与L'evy过程相关的q标度函数和L'evy度量。当我们推导出主要结果时，以下三个技术引理证明是有用的。引理3.1描述了原子在穿过正则漂移ε时相对于漂移测度的超调的贴现分布定律的0处的特性。我们在这里提出了一个自我完善的建议。引理3.1。对于q>0和s>x≥ 0，我们有e-qρ+s；ε>s，ε（ρ+s）=s=σW′q（s）Wq（s）- W′q（s）. （3） 3主要结果证明：从Pistoriu s（2007）的（14）中，我们阅读了OFF hatExe-qτ-; X（τ-) = 0= Ee-qτ--x；X（τ--x） =-x个=σW′q（x）- ΦqWq（x）.

（4） 通过对破产的定义，我们知道一定存在一个正寿命的旅行，例如τ-位于该偏移的左右端p点之间。用θ表示εθ的偏移≥ 0，则εθ是左端点小于τ的最后一次偏移-, 我们有εθ>x+θ和εt≤ 所有偏移的x+tεtwith t<θ。也就是说，破产不会发生在t<θ的εtwi的寿命期内，而会发生在εθ的寿命期内。此外，我们可以通过hτ的漂移εθ分别转换破产时间和破产时刻的盈余-= L-1(θ-) + ρ+x+θ（θ），x（τ-) = x+θ- εθρ+x+θ（θ）,其中ρ+x+θ（θ）通过（1）定义，ε替换为εθ，b替换为x+θ。因此，（4）的左侧可以转换为Xe-qτ-; X（τ-) = 0= 前任Xθ≥0e-qL系列-1(θ-){L-1(θ-)<τ-}e-q（τ--L-1(θ-)){S（L-1(θ-))=X（τ-)=x+θ}{x（τ-)=0}= 前任Xθ≥0e-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<x+t}e-qρ+x+θ（θ）{εθ>x+θ}{εθ（ρ+x+θ（θ））=x+θ}, （5） 式中，εθ表示τ之前的最后一次偏移-, ρ+x+θ（θ）由（1）定义，ε替换为εθ，b替换为x+θ。通过补偿公式（比照Bertoin（1996））和（5）一起得出e-qτ-; X（τ-) = 0=Z∞前任e-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<x+t}ne-qρ+x+θ（θ）{εθ>x+θ，εθ（ρ+x+θ（θ））=x+θ}dθ=Z∞前任e-qτ+x+θ{τ+x+θ<τ-}ne-qρ+x+θ{ε>x+θ，ε（ρ+x+θ）=x+θ}dθ=Z∞xW（q）（x）W（q）（s）ne-qρ+s{ε>s，ε（ρ+s）=s}ds。（6） 等于（4）和（6），然后根据xyields（3）对所得等式的两侧进行微分。我们从（1）和（2）中回忆起，ρ+x和αxrefer分别表示x上激发ε的首次通过时间和ρ+x之前的偏移高度。下面的结果给出了在偏移度量下涉及ρ+x和αxu的折扣调整分布。

它推广了Kyprianou和Zhou（2009）的引理2.2，通过对漂移h ei ghtαx施加约束≤ x个- v、 其中v∈ （0，x）可作为破产前最后一个最小盈余的最低资本要求。3主要结果引理3.2。对于x，y，z∈ (0, +∞) 和v∈ （0，x），我们没有e-qρ+x；x个- ερ+x-∈ dy，ερ+x- x个∈ dz，αx≤ x个- v=W′q（x- y）- Wq（x- y） W′q（x- v） Wq（x- v） 哦！ν（dz+y）1{y<x}dy+Wq（0）ν（dz+x）δx（dy），（7）其中δx（dy）是狄拉克度量，它将单位质量分配给点x。证明：Recal x（t）=inf0≤s≤t的tX（s）≥ 0，然后X（τ--) 指破产前的最后一分钟，见Bi ffes and Morales（2010）。根据Bi ffis和Kyprianou（2010）中的定理1，one hasExe-qτ-; X（τ--) ∈ dy，-X（τ-) ∈ dz，X（τ--) ∈ dv= e-Φq（y-五）W′q（x- 五）- ΦqWq（x- 五）ν（dz+y）dv d y，x，y，z∈ (0, +∞), v∈ （0，x∧ y] ，哪个yieldsExe-qτ-; X（τ--) ∈ dy，-X（τ-) ∈ dz，X（τ--) ≥ v=Zw公司∈[v，x∧y] eΦqwW′q（x- w）- ΦqWq（x- w）数据仓库e-ΦqyД（dz+y）dy=e-Φqyν（dz+y）dy{y<x}Zw∈[v，y]d-eΦqwWq（x- w）+ 1{y≥x} Zw公司∈[v，x）d-eΦqwWq（x- w）+Zw公司∈{x} d-eΦqwWq（x- w）!!= e-ΦqyД（dz+y）dy{y<x}eΦqvWq（x- 五）- eΦqyWq（x- y）+1{y≥x}eΦqxWq（0）+eΦqvWq（x- 五）- eΦqxWq（0）, x、 y，z∈ (0, ∞), v∈ （0，x∧ y] 。

（8） 用与（5）中相同的远足语言，我们重写了（8）asExe-qτ-; X（τ--) ∈ dy，-X（τ-) ∈ dz，X（τ--) ≥ v= 前任Xθ≥0e-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<x+t-v} e类-qρ+x+θ（θ）{εθ>x+θ}×1{x+θ-εθ（ρ+x+θ（θ））-)∈dy，-（x+θ-εθ（ρ+x+θ（θ）））∈dz，αx+θ（θ）≤x+θ-v}, x、 y，z∈ (0, ∞), v∈ （0，x∧ y] ，（9）式中，εθ表示τ之前的最后一次偏移-, ρ+x+θ（θ）和αx+θ（θ）由（1）和（2）定义，其中ε替换为εθ，b替换为x+θ，以及x（τ--) = inf0≤t<θ（x+t-εt）∧（x+θ-αx+θ（θ））。根据（9），众所周知的双边出口身份（见Kyprianou（2006）），前e-qτ+s{τ+s<τ-v}=Wq（x- v） Wq（s）- v） ，0<v<x<s<∞,3主要结果和补偿公式（参见Bertoin（1996））在漂移理论中，可以得到e-qτ-; X（τ--) ∈ dy，-X（τ-) ∈ dz，X（τ--) ≥ v=Z∞前任e-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<x+t-v}×ne-qρ+x+θ（θ）{εθ>x+θ}×1{x+θ-εθ（ρ+x+θ（θ））-)∈dy，-（x+θ-εθ（ρ+x+θ（θ）））∈dz，αx+θ（θ）≤x+θ-v}dθ=Z∞前任e-qτ+x+θ{τ+x+θ<τ-v}ne-qρ+x+θ{ε>x+θ}{x+θ-ε（ρ+x+θ-)∈dy，ε（ρ+x+θ）-（x+θ）∈dz，αx+θ≤x+θ-v}dθ=Z∞xEx公司e-qτ+s{τ+s<τ-v}ne-qρ+s；ε>s，s- ερ+s-∈ dy，ερ+s- s∈ dz，αs≤ s- vds=Z∞xWq（x- v） Wq（s）- v） n个e-qρ+s；s- ερ+s-∈ dy，ερ+s- s∈ dz，αs≤ s- vds，与（8）yieldsWq（x）相结合- v） n个e-qρ+x；x个- ερ+x-∈ dy，ερ+x- x个∈ dz，αx≤ x个- v=W′q（x- y） Wq（x- 五）- Wq（x- y） W′q（x- 五）Wq（x- 五）{x>y}ν（dz+y）dy+Wq（0）Wq（x- v） ν（dz+x）δx（dy），x，y，z∈ (0, ∞), v∈ （0，x∧ y] ，即（7）。证明是完整的。下面的引理3。3解决了基于一般下降的双边退出问题，可在Li等人（20 17）的命题3.1和引理3中找到。Wang和Zhou（2018）的第2页。引理3.3。

对于q>0和s>x以及一般下降函数ξ，我们有e-qτ+s{τ+s<τξ}= 经验值-ZsxW′q（ξ（z））Wq（ξ（z））dz,式中ξ（z）=z- ξ（z）。受Bi fifs和Morales（20-10）提出的破产前最后一个最小盈余的启发，本文对提款前最后一个最小盈余进行了限制，以更好地反映公司的财务状况。Letθ：[x，∞) → [0, ∞) 是满足0的可测量函数≤ θ（z）<ξ（z）。在下面的主要结果中，我们使用θ（X（t））来描述d提取水平以上盈余的最低资本要求。注意，当θ（X（t））等于toa常数v和ξ（z）≡ 0我们退化到Lemm a 3.2采用的破产情形。放置（z）=θ（z）+ξ（z）和（z）=z-（θ（z）+ξ（z））=ξ（z）- θ（z），因此也是一个一般的下降函数。3主要结果定理3.1导出了L'evy风险过程在一般提取停机时间下的扩展预期贴现能力函数，其中采用了类似于Pistorius（2007）、Kyprianouand Zhou（2009）和Li et al（2017）中的偏移方法。定理3.1。用L'evy度量表示-十、 根据l := L-1（L（τξ）-) 在一般提款时间之前，每个进程X第一次达到运行最大值的时间。（a） 对于s∈ （十）∨ y∞), y∈ [ξ（s），∞), z∈ (-ξ（s），∞) 和q，λ≥ 0，我们有EXE-ql-λ(τξ-l);X（τξ）∈ ds，X（τξ-) ∈ dy，-X（τξ）∈ dz，inft∈[ 0,τξ)X（t）- （X（t））≥ 0!= 经验值-ZsxW′q（（w））Wq（（w））dw！Wλ（0+）ν（s+dz）δs（dy）+W′λ（s- y）-W′λ（（s））Wλ（（s））Wλ（s- y） 哦！ν（y+dz）{y<s}dy！ds。（10） （b）对于s∈ （十），∞) 和q，λ≥ 0，我们有e-ql-λ(τξ-l);X（τξ）∈ ds，X（τξ）=ξ（s）=σexp-ZsxW′q（ξ（w））Wq（ξ（w））dwW′λξ（s）Wλξ（s）- W′λξ（s）ds，（11），其中，如果σ=0，则表达式被理解为b e等于0。

当且仅当L'evy过程的高斯部分为负时，盈余以正概率保持在总体下降水平。备注3.1。注意，在方程式（10）的左侧，我们包括常数raintinft∈[ 0,τξ)X（t）- （X（t））≥ 0<=> X（t）- ξ（X（t））≥ θ（X（t）），0≤ t<τξ，实际上是X（t）上的约束- ξ（X（t）），即高于水位下降ξ（X（t））的盈余水平。我们要求该级别至少为θ（X（t））≥ 0，这可能与公司的信任水平有关，因此取决于历史运行最大值x（t）。θ（X（t））越低，需要与公司资本提供者协商的财务状况越差，公司审查其财务活动的紧迫性也越高。θ（X（t））的水平为公司的明智决策提供了警告，例如低保费率，也为未来的注资提供了阻碍。3主要结果定理3.1的证明：与引理3.1中的想法类似，一般提款的定义导致存在正寿命的偏移，使得τξ位于该偏移的左端点和右端点之间。用εθ和θ表示该偏移≥ 0，那么εθ是左端点小于τξ的最后一次偏移，我们有εθ>ξ（x+θ）和εt≤ ξ（x+t），对于t<θ的所有激励εtwi。也就是说，在εtwitht<θ的寿命期内不会出现总降深，而在εθ的寿命期内会出现总降深。此外，我们可以通过εθ到hx（τξ）的偏移，立即转换一般d拉延时间之前和时的盈余-) = x+θ- εθρ+ξ（x+θ）（θ）-, X（τξ）=X+θ- εθρ+ξ（x+θ）（θ）,其中ρ+ξ（x+θ）（θ）通过（1）定义，ε替换为εθ，b替换为ξ（x+θ）。

同时，总水位下降时间可以改写为τξ=L-1(θ-) + ρ+ξ（x+θ）（θ）。所以我们有，对于y，z∈ (-∞, +∞), q、 λ≥ 0和任何op en间隔B （十），∞),Exe文件-ql-λ(τξ-l);X（τξ）∈ B、 X（τξ-) ∈ dy，-X（τξ）∈ dz，inft∈[0,τξ)X（t）- （X（t））≥ 0!= 前任Xθ∈B-xe公司-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<（x+t）}e-λρ+ξ（x+θ）（θ）{εθ>ξ（x+θ）}×1{x+θ-εθρ+ξ（x+θ）（θ）-∈dy，-x+θ-εθρ+ξ（x+θ）（θ）∈dz，αξ（x+θ）≤（x+θ）}！，（12） 式中，εθ表示τξ之前的最后一次偏移，ρ+ξ（x+θ）（θ）由（1）给出，ε替换为εθ，b替换为ξ（x+θ），b- x：={y- x | y∈ B} 。在（12）的表达式中使用补偿公式（见Bertoin（1996）第IV.4章的推论11），我们得到了-ql-λ(τξ-l);X（τξ）∈ B、 X（τξ-) ∈ dy，-X（τξ）∈ dz，inft∈[0,τξ)X（t）- （X（t））≥ 0!=ZB公司-xEx公司e-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<（x+t）}×ne-λρ+ξ（x+θ）（θ）{εθ>ξ（x+θ）}×1{x+θ-εθρ+ξ（x+θ）（θ）-∈dy，-x+θ-εθρ+ξ（x+θ）（θ）∈dz，αξ（x+θ）≤（x+θ）}！dθ=ZB-xEx公司e-qτ+x+θ{τ+x+θ<τ}×ne-λρ+ξ（x+θ）{ε>ξ（x+θ）}×1{x+θ-ερ+ξ（x+θ）-∈dy，ερ+ξ（x+θ）-（x+θ）∈dz，αξ（x+θ）≤（x+θ）}！dθ=ZBExe-qτ+s{τ+s<τ}ne-λρ+ξ（s）；ε>ξ（s），s- ερ+ξ（s）-∈ d y，ερ+ξ（s）- s∈ dz，αξ（s）≤（s）ds3主要结果=ZBexp-ZsxW′q（（w））Wq（（w））dw！{y≥ξ（s）}{z>-ξ（s）}×ne-λρ+ξ（s）；ξ（s）- ερ+ξ（s）-∈ -ξ（s）+dy，ερ+ξ（s）-ξ（s）∈ ξ（s）+dz，αξ（s）≤（s）ds=ZBexp-ZsxW′q（（w））Wq（（w））dw！{y≥ξ（s），z>-ξ（s）}Wλ（0+）Γ（s+dz）δs（dy）+W′λ（s）- y）-W′λ（（s））Wλ（（s））Wλ（s- y） 哦！ν（y+dz）{y<s}dy！ds，（13）在上一个等式中，我们使用了Lemm a 3.2，在最后一个等式中，我们使用了Lemm a 3.3。开放区间B与（13）yi-elds（10）的任意性。还有待于证明情况（b）。

事实上，根据补偿公式（见Bertoin（1996）第四章推论11），我们有e-ql-λ(τξ-l);X（τξ）∈ B、 X（τξ）=ξX（τξ）= 前任Xθ∈B-xe公司-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<ξ（x+t）}e-λρ+ξ（x+θ）（θ）{εθ>ξ（x+θ）}{εθ（ρ+ξ（x+θ）（θ））=ξ（x+θ）}=ZB公司-xEx公司e-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<ξ（x+t）}×ne-λρ+ξ（x+θ）（θ）{εθ>ξ（x+θ）}{εθ（ρ+ξ（x+θ）（θ））=ξ（x+θ）}dθ=ZB-xEx公司e-qτ+x+θ{τ+x+θ<τξ}ne-λρ+ξ（x+θ）{ε>ξ（x+θ）}{ε（ρ+ξ（x+θ））=ξ（x+θ）}dθ=ZBexp-ZsxW′q（ξ（w））Wq（ξ（w））dwne-λρ+ξ（s）；ε>ξ（s），ερ+ξ（s）=ξ（s）ds=ZBexp-ZsxW′q（ξ（w））Wq（ξ（w））dwσW′λξ（s）Wλξ（s）- W′λξ（s）ds，（14）在上一个等式中，我们使用了Lemm a 3.1，在最后一个等式中，我们使用了Lemm a 3.3。间期B中的开的任意性与h（14）一起产生s（11）。这完成了定理3.1中情形（b）的证明。备注3.2。应该指出的是，本文采用的研究总水位下降的偏移方法是基于列维过程，因此不能轻易应用于其他基础模型，例如，扩散过程或扩散过程。在Landriault等。（2017年），提出了一种称为“短时路径分析”的方法，用于研究一般时间齐次马尔可夫过程中涉及的经典下降函数问题。他们的方法在某种意义上更为通用，可以适用于研究涉及总水位下降时间的洪水问题，但在我们的情况下，在τξ达到运行最大值的时间和τξ之前的盈余水平似乎仍有限制。3主要结果注意，在定理3.1的（a）部分，y∈ [ξ（s），∞) 等于y- ξ（s）∈ [0, ∞), andz公司∈ (-ξ（s），∞) 等于z+ξ（s）∈ (0, ∞), 我们很容易得到以下结果。推论3.1。

对于z>0，y≥ 0，s≥ y∨ x、 和q，λ≥ 0，我们有EXE-ql-λ(τξ-l);X（τξ）∈ ds，X（τξ-) - ξ（s）∈ dy，ξ（s）- X（τξ）∈ dz，inft∈[ 0,τξ)X（t）- （X（t））≥ 0!= 经验值-ZsxW′q（（w））Wq（（w））dw！Wλ（0）+ν（ξ（s）+dz）Δξ（s）（dy）+W′λ（ξ（s）- y）-W′λ（（s））Wλ（（s））Wλ（ξ（s）- y） 哦！ν（y+dz）{y<ξ（s）}dy！ds。此外，当q=λ，ξ≡ 0和θ≡ v∈ [0，x）我们有e-qτ-;X（τ-) ∈ ds，X（τ--) ∈ dy，-X（τ-) ∈ dz，X（τ-) ≥ v=Wq（x- v） Wq（s）- v） Wq（0+）ν（s+dz）δs（dy）+W′q（s- y）-W′q（s）- v） Wq（s）- v） Wq（s）- y） 哦！ν（y+dz）{y<s}dy！ds，对s除以[x]进行积分，∞) 并在limx回顾th→∞Wq（s）-y） Wq（s）-v） =e-Φq（y-v） ，一个可以恢复（8）。因此，作为特例，定理3.1的结果与Bi ffis和Kypriano u（20-10）中定理1的结果一致。当θ≡ ξ ≡ 0，则一般下降时间减少到经典破产时间τξ=τ-,l = L-1（L（τ-)-), 定理3.1的结果专门化为以下推论3.2，这与Kyprianou和Zhou（2009）的定理1.3与γ很好地吻合≡ 0。推论3.2。经典破产时间下的广义期望折现惩罚函数可以刻画如下。（a′）用于s∈ （十）∨ y∞), y∈ [0, ∞), z∈ (0, ∞) 和q，λ≥ 0，我们有e-ql-λ(τ--l);X（τ-) ∈ ds，X（τ--) ∈ dy，-X（τ-) ∈ dz公司=Wq（x）Wq（s）Wλ（0+）ν（s+dz）δs（dy）+W′λ（s- y）-W′λ（s）Wλ（s）Wλ（s- y） 哦！ν（y+dz）{y<s}dy！ds。（b′）用于s∈ （十）∨ y∞) 和q，λ≥ 0，我们有e-ql-λ(τ--l);X（τ-) ∈ ds，X（τ-) = 0=σWq（x）Wq（s）W′λ（s）Wλ（s）- W′λ（s）ds，其中表达式必须等于0 i fσ=0.3主要结果备注3.3。此外，如果X（i。