一般提款时的广义预期贴现惩罚函数

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英文标题：
《Generalized Expected Discounted Penalty Function at General Drawdown for
  L\\\'{e}vy Risk Processes》
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作者：
Wenyuan Wang, Ping Chen, Shuanming Li
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper considers an insurance surplus process modeled by a spectrally negative L\\\'{e}vy process. Instead of the time of ruin in the traditional setting, we apply the time of drawdown as the risk indicator in this paper. We study the joint distribution of the time of drawdown, the running maximum at drawdown, the last minimum before drawdown, the surplus before drawdown and the surplus at drawdown (may not be deficit in this case), which generalizes the known results on the classical expected discounted penalty function in Gerber and Shiu (1998). The results have semi-explicit expressions in terms of the $q$-scale functions and the L\\\'{e}vy measure associated with the L\\\'{e}vy process. As applications, the obtained result is applied to recover results in the literature and to obtain new results for the Gerber-Shiu function at ruin for risk processes embedded with a loss-carry-forward taxation system or a barrier dividend strategy. Moreover, numerical examples are provided to illustrate the results.
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中文摘要：
本文考虑一个由谱负L{e}vy过程建模的保险盈余过程。本文采用提款时间作为风险指标，取代了传统情况下的破产时间。我们研究了水位下降时间、水位下降时的运行最大值、水位下降前的最后一个最小值、水位下降前的盈余和水位下降时的盈余（在这种情况下可能不是赤字）的联合分布，这推广了Gerber和Shiu（1998）中关于经典预期折现惩罚函数的已知结果。结果在$q$-尺度函数和与L{e}vy过程相关的L{e}vy度量方面具有半显式表达式。作为应用，将所得结果用于恢复文献中的结果，并获得嵌入亏损结转税制或障碍红利策略的风险过程的破产时Gerber-Shiu函数的新结果。此外，还提供了数值例子来说明结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Generalized_Expected_Discounted_Penalty_Function_at_General_Drawdown_for_Lévy_R.pdf (545.66 KB)

2022-6-25 05:59:58 上传

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关键词：Applications Quantitative distribution Differential Probability

L'evy风险过程的广义期望折现惩罚函数王文元、陈平*, 厦门大学数学科学学院，厦门3 61005。b墨尔本大学经济系，维多利亚州帕克维尔301 0，澳大利亚。摘要本文考虑一个由谱负L'evy过程建模的保险盈余过程。在本文中，我们采用下降时间作为风险指标，而不是传统情况下的破产时间。我们研究了d提取时间、提取时的运行最大值、提取前的最后一个最小值、提取前的盈余和提取时的盈余的联合分布（在这种情况下可能没有缺陷），这推广了Gerber和Shiu（1998）中经典的预期贴现惩罚函数的k-nown结果。结果在q尺度函数和与L'evy过程相关的L'evy测度的项中有半显式表达式。作为应用，所获得的结果应用于恢复文献中的结果，并获得嵌入大量结转税收系统或障碍红利策略的风险过程破产时Gerber-Shiu函数的新结果。此外，还提供了数值例子来说明结果。关键词：光谱负L'evy过程；总水位下降时间；广义期望离散罚函数；缩放功能；漂移理论。1、引言在风险理论的经典模型中，保险人的风险过程行为是通过预期贴现惩罚函数来分析的，在瑞恩文献中通常被称为Gerber-Shiuffunction，参见Gerber和Shiu（1998）。

基于盈余过程的克莱姆-伦德伯格模型，他们研究了三个关键利息量的利息分布：破产概率、破产前的盈余分布和破产时的损失。此后，文献中对Gerber-Shiu函数进行了广泛的研究。2010年，研究这一函数的技术和视角的多样性引发了一期保险专刊：Gerber-Shiu函数主题c上的数学和经济学。这项工作得到了国家自然科学基金（编号11661074和11701436）、福建省大学新世纪优秀人才计划（编号Z0210103）和中央大学基础研究基金（编号20720170096和2018IB019）的部分资助。*通信作者。电话：+61 90358053电子邮件地址：wwywang@xmu.edu.cn（王文元），pche@unimelb.edu.au（陈萍），shli@unimelb.edu.au（Shuanming LIb）提交给Elsevier的预印本20191年6月5日简介受风险度量最新发展的推动，本文研究了经典Gerber-Shiu函数的扩展定义。其主要思想是用一个更通用的风险指标来代替破产时间：提取时间，这在工业中被广泛使用。通常，提取时间是指在投资、基金或商品证券的特定记录期内，盈余过程从峰值下降到随后的某个时刻。我们采用了一个一般的提取定义，其中不仅包括作为特例的破产时间，还包括许多其他形式（线性或非线性），参见Avram et al.（2017）示例中的备注1和备注2及其解释。就保险人的盈余过程而言，提款时间越早，保险人承担的风险就越大。

因此，提取前盈余和提取时的su RPLU在确定保险公司的财务风险方面也起着重要作用。这些盈余的水平可以帮助管理保险公司的财务决策。例如，在提高保险费率之前，保险人可能会尽量减少20%或更高的提款概率，以避免发生更糟糕的情况。泰勒（1975）首先介绍了数学公式，他研究了漂移布朗运动的最大下降。该结果后来扩展到其他情况，见Avram et al.（2004）、Landriault et al.（2015）、Landriault et al.（2017）、Li et al.（20 17）、Wang和Zhou（2018）以及其中的参考文献。在金融和精算研究的背景下，近年来，提款风险的应用越来越多。Shepp和Shiryaev（1993）提出了一种新的看跌期权，其中期权买方获得了自购买时间和行使时间以来期权交易的最高价格。Av ram等人（2004）和Carr（2014）提供了期权优先权的最新应用。在投资组合选择方面，Grossman和Zhou（1993）率先提出了这一研究课题，对最优投资策略采用了严格的提取约束。这条路线上的扩展工作非常丰富，仅举几个例子，但不限于，多资产框架见Cvitanic和Karatzas（1995），semimartin gale一般框架见Cherny和Obloj（2013），最优消费投资问题见Roche（2006），效用函数一般类别优化见Elie和Touzi（2008）。在投资组合选择的另一条路线上，缩减的可能性被最小化，而不是对缩减施加限制。考虑了各种情况，参见Chen et al.（2015）关于纯投资形式的计算，Angoshtari et al。

（2016）针对具有恒定消费约束的情况，Han et al.（2018）针对最优再保险情况。关于d-ividend优化问题，Wang和Zhou（2018）考虑了de Finetti最优股息问题的一般版本，其中破产时间被替换为一般提款时间。本文的另一个特点是，保险人的盈余过程由一个谱负L'evy过程建模，该过程是一个具有平稳独立增量且无正ju mps的样本路径的随机过程。在风险理论中，这通常是一个盈余过程，向下跳跃描述了债权的向外支付。Yang和Zhang（2001）、Garrido和Morales（2006）、Bi-ffes和Morales（2010）、Avarm et al.（2017）和Lo-effen et al.（2018）可以看到光谱负性过程在风险理论中的应用。基于提取时间，本文研究了预期贴现惩罚函数的扩展定义，即q尺度函数和与L'evy过程相关的L'evy测度。推导了水位下降时间、水位下降时的运行最大值、水位下降前的最后一个最小值、水位下降前的盈余和水位下降时的盈余的联合分布。

与破产时间不同，盈余过程在提取时可能不会低于零，因此，我们在Gerber-Shiuffunction的扩展定义中使用提取时的盈余，而不是破产时的赤字。从技术角度来看，经典破产理论主要基于更新方程技术来获得一些微妙的结果，见Gerber和Shiu（1998），或一些特定风险模型的特定方法，如Gamma过程，见Dufresne和Gerber（1993）。当风险过程扩展到频谱负L'evy过程时，破产概率的结果来自L'evy过程的波动理论，见Kyprianou（2006）。在破产的情况下，特定的模型公式使用了不同于波动理论的数学精妙之处，如当经典风险过程和伽马过程受到扩散干扰时的拉普拉斯指数，见Yang和Zhang（2001）；当总索赔过程是一个从属过程时，破产时间的空间变换，见Garrido和M orales（2006）；s ee Loeffen et al.（2018）研究巴黎破产问题时，会出现超调。破产概率通常表示为一些分布函数的多重卷积，或与L'evy过程相关的q尺度函数。本文（水位下降的情况）的结果是基于漂移理论方法得出的，该方法也是基于列维过程的波动理论，并已证明其在解决相关边界交叉问题方面的有效性。使用这种方法，Kyprianou和Pistorius（2003）导出了交叉时间的拉普拉斯变换，这是俄罗斯期权评估的关键数量；Avram等人。

（2004）从一个区间中确定了退出时间和退出位置的j点L面变换，该区间包含反映在其上确界的过程原点，然后将其应用于与俄罗斯期权及其加拿大化版本定价相关的最优停止问题；Pistorius（2004）推导了L'evy过程的q预解核，该过程反映了在离开时的剩余时间[0，a]；Pistorius（2007）解决了Lehoczky的问题和L'evy过程的Skorokhod嵌入问题，该过程反映在其最高点；Baurdoux（2007）研究了在其最大值处反映的终止L’evyprocess预解测度的密度；Kyprianou和Zhou（2009）获得了含税L’evy ris k过程的Gerber-Shiu函数的广义版本，其中嵌入了亏损结转税收系统。现有文献已经见证了电力漂移理论方法在金融数学和随机过程理论领域的应用。然而，据作者所知，这种方法很少用于精算风险理论领域。本文试图应用该方法研究水位下降情况下扩展Gerber-Shiu函数的表达。应用偏移理论方法的一个优点是，我们不需要使用基础L'evy过程的特定特征，除了从运行最大值偏移的通用路径分解，这属于泊松点过程的框架。因此，我们可以在目标问题的整体操作中使用泊松点过程理论，如补偿公式。我们提到，本文中的所有结果都用标度函数和与L'evy过程相关的L'evy度量优雅地表达出来。

我们还提到，当非恒定总降深边界上的第一个通道减少到恒定边界的情况下，我们能够恢复现有文献中的相应结果。我们指出，Li et al.（2017）还应用偏移方法研究了与s谱负L'evy过程的总体下降时间有关的退出问题。然而，他们对光谱负L'EVY过程的初步研究集中在下降时间过程的联合拉普拉斯变换上，而本文旨在研究涉及一般下降时间的联合分布。的确，随机量的连接t分布是由相应的拉普拉斯变换唯一确定的，并且可以通过用Bromwich积分或数值方法对拉普拉斯变换进行逆变换来获得。不幸的是，许多数学兴趣或物理兴趣的问题导致了具有这些逆的空间变换不容易用列表函数表示。此外，据我们所知，目前所有的数值反演方法都是不稳定的，因为小的“输入”误差，例如由计算机舍入效应或算法hm中的参数选择引起的误差，可能会在反演过程中严重放大，在一些实际问题中，如在有限容量环境中或在肿瘤生长模型中，人口的生存概率，应避免这些问题，参见Albano和Giorno（2006）。即使随着现代技术的发展，也很难找到一种适用于所有情况的通用算法。Davies（2002）对这些方法进行了详细的回顾。

因此，即使拉普拉斯变换已经可用，仍然值得研究联合分布。此外，在计算联合分布时，我们在盈余水平上增加了一个约束，这是我们的论文和Li等人（2017）的另一个不同之处。这种约束的动机来自Bi ffes和Morales（20-10），他们认为破产前的最后最低盈余可以更好地反映公司的财务状况。在本文中，我们将此术语扩展到提取前盈余的最后一个最小值，这是对公司财务活动的警告。我们参考备注3.1了解更详细的解释。本文的组织结构如下。第2节介绍了光谱负L'evy过程的一些初步事实。第3节提供了主要结果、证明和讨论。第4节，主要结果用于研究具有税收和红利的L'evy风险过程破产时的Gerber-Shiu函数。第5节提供了一些数值例子来说明我们的结果。第6节总结了本文。2、谱负L'evy过程的预备知识写入X={X（t）；t≥ 0}，定义在概率定律为{Px；x的概率空间上∈ R} 和自然过滤{Ft；t≥ 0}，对于光谱负的L'evy过程。我们将其运行上确界和运行中确界分别表示为{X（t）=sup0≤s≤tX（s）；t型≥ 0}和{X（t）=inf0≤s≤tX（s）；t型≥ 0} .定义于（0，∞) 如果它是连续的且ξ（x）=x，则称为一般下降函数- ξ（x）>0表示x>0。关于总水位下降函数ξ（·）的总水位下降时间，简称ξ-d水位下降时间，定义为τξ=inf{t≥ 0; X（t）<ξ（X（t））}。备注2.1。注意，当ξ（·）时≡ 0，τξ减少到类破产时间。

另一个例子是running supreme的线性函数，比如ξ（X（t））=0.8X（t）- 0.5. 那么X（t）<ξ（X（t））等于0.8X（t）-X（t）>0.5。因此，τξ是指s urplus工艺rops0.5装置首次低于其迄今为止最大值的80%。在实践中，风险管理者可以将其作为转变2频谱负L'EVY处理点的准备工作，采取一些行动，例如提高保费率或由公司与资本提供商协商以避免更糟糕的情况。对于ξ（·）的非线性形式，我们参考Avram et al.（2017）中的备注2了解示例及其解释。我们还分别定义了a层的首次向下穿越时间和b层的向上穿越时间，如下τ-a： =inf{t≥ 0; X（t）<a}和τ+b：=inf{t≥ 0; X（t）>b}。设X的拉普拉斯指数由ψ（θ）=ln Ex给出eθ（X（1）-x）= γθ +σθ-Z（0，∞)1.- e-θx- θx1（0,1）（x）ν（dx），其中ν是L'evy测量满足度（0，∞)1.∧ x个ν（dx）<∞. 众所周知，ψ（θ）对于θ是有限的∈ [0, ∞) 在这种情况下，它是严格凸的，并且是完全可区分的。如Bertoin（1996）所述，q标度函数{Wq；q≥ X的0}定义如下。对于每个q≥ 0，Wq：[0，∞) → [0, ∞) Laplace变换的唯一严格递增连续函数∞e-θxWq（x）dx=ψ（θ）- q、 对于θ>Φq，其中ΦQi是方程的最大解，离子ψ（θ）=q。对于x<0，进一步定义Wq（x）=0，并将W写为0标度函数W的缩写。备注2.2。尺度函数出现在绝大多数已知的关于边界交叉问题和相关路径分解的恒等式中。这反过来又是它们在大量依赖于此类恒等式的经典应用概率模型中使用的后果。我们参考toKuznetsov等人（2012）的直观示例和解释。