一般提款时的广义预期贴现惩罚函数

e、 ，σ=0），然后通过（a′）可以发现，对于b>x，y∈ [0, ∞), z∈ (0, ∞) 和q≥ 0Exe-qτ-; X（τ--) ∈ dy，-X（τ-) ∈ dz，τ-< τ+b=Zs公司∈（x，b）Wq（x）Wq（s）Wq（0+）Д（s+dz）δs（dy）+W′q（s- y）-W′q（s）Wq（s）Wq（s）- y） 哦！ν（y+dz）{y<s}dy！ds=Wq（x）Wq（y）Wq（0+）Д（y+dz）1{x<y}dy+Zs∈（x，b）Wq（x）Wq（s）W′q（s）- y）-W′q（s）Wq（s）Wq（s）- y） 哦！Д（y+dz）{y≤x} +1{x<y<s}dyds=Wq（x）Wq（y）Wq（0+）Д（y+dz）1{x<y}dy+Zs∈（x，b）Wq（x）Wq（s）W′q（s）- y）-W′q（s）Wq（s）Wq（s）- y） 哦！dsν（y+dz）{y≤x} dy+Zs∈（y，b）Wq（x）Wq（s）W′q（s）- y）-W′q（s）Wq（s）Wq（s）- y） 哦！dsν（y+dz）{x<y}dy=Wq（x）Wq（y）Wq（0+）ν（y+dz）1{x<y}dy+Wq（x）ν（y+dz）Wq（s）- y） Wq（s）bs=x{y≤x} dy公司+Wq（s）- y） Wq（s）bs=y{x<y}dy= Wq（x）Д（y+dz）Wq（b- y） Wq（b）-Wq（x- y） Wq（x）！dy.（15）我们在哪里了解到以下事实：-y） Wq（s）-W′q（s）[Wq（s）]Wq（s-y） =ddsWq（s）-y） Wq（s）在第四个方程中，Wq（x- y） =0表示最后一个等式中的y>x i。我们可以发现（15）与Kypri a nou（2013）第41页的定理5.5吻合得很好，注意到在索赔分布为F的经典Cram'er-Lundberg风险过程中，我们有ν（y+dz）=λF（y+dz）。备注3.4。我们说定理3.1中的结果是一般下降时间下经典预期罚函数的推广版本。事实上，总水位下降ti m e处的经典预期惩罚函数可以写成φ（x）：=Exe-qτξωX（τξ-), X（τξ）{τξ<∞},对于某些有界可测二元函数ω（·，·）：(-∞, +∞)→ (0, ∞). 在《变化科学》中，ω被称为惩罚函数（参见Gerber和Shiu（1998））。

利用定理3.1，一个应用程序可以在φ（x）=Zs的一般压降下求解经典期望惩罚函数∈（十），∞)Zy公司∈[ξ（s），s]Zz∈(-ξ（s），∞)ω（y，-z） 经验值-ZsxW′q（ξ（w））Wq（ξ（w））dwWq（0+）Д（s+dz）δs（dy）+W′q（s）- y）-W′q（ξ（s））Wq（ξ（s））Wq（s- y）ν（y+dz）{y<s}dyds+σZs∈（十），∞)ω（ξ（s），ξ（s））exp-ZsxW′q（ξ（w））Wq（ξ（w））dwW′qξ（s）Wq公司ξ（s） - W′qξ（s）ds。（16） 在Gerber和Shiu（1998）中可以找到以下有趣的惩罚函数示例，ω（x，y）=maxK- ea公司-y、 0个.在这种情况下，φ（x）是以K作为行权价格的永久性美国看跌期权的支付，并且是期权行权边界的值。4、应用本节主要讨论定理3.1的应用。通过指定一般的下降函数，本文的方法可以自然地进行调整，以恢复文献中的结果，并获得嵌入大量结转税制或障碍红利策略的风险过程的破产Gerber-Shiu函数的新结果。事实上，Landri ault et al.（2017）和Li（2015）首次指出，Loss结转t axat ion（resp，De Finetti’s divident）模型中的破产问题可以转化为无税经典模型（resp，divident）的一般提款问题。然而，他们提出了这个想法，但没有实现一个特定的破产问题。此外，Landriault et al.（2017）和Li（201 5）研究的下降函数是ξ（x）=x形式的经典下降函数- d>0时的d（不是一般下降函数），尽管可以预见，他们的方法允许扩展到一般下降函数。4.1.

在Kyprianou和Zhou（2009）中，具有一般损失结转系统的列维风险过程的应用，首先考虑了具有一般损失结转税结构的列维风险模型：dUγ（t）：=X（t）-Ztγ（X（s））dX（s）=X（t）-ZX（t）xγ（w）dw，（17），其中γ：[0+∞) → [0，1）是可测量的andR∞(1 - γ（w））dw=∞. 在此公式中，只要公司处于可盈利状态，即被定义为处于盈余过程的最大运行状态，就应支付税款。4应用我们声称，通过在定理3.1中指定一个特殊的下降函数ξ，可以恢复Kyprianou和Zho u（2009）中获得的破产时Gerber-Shiu函数的版本。为此，对于x∈ (0, ∞), 设ξγ（z）：=Zzxγ（w）dw，z∈ [x，∞), （18） 这确实是一个缩编函数。

我们可以做以下三个观察。（i） X的ξγ-下降时间与赋税风险过程的破产时间（17）τξγ=inf{t）一致≥ 0; X（t）<ξγ（X（t））}=in f{t≥ 0; Uγ（t）<0}：=τ-（γ） ，因此l = L-1（L（τ-(γ))-), i、 （17）破产前纳税的最后一刻。（ii）正在运行的supremum进程{Uγ（t）：=sup0≤s≤tUγ（s）；t型≥ 0}可以重写为asUγ（t）=x+Zt（1- γ（X（s）））dX（s）=ξγ（X（t）），因此，Uγ（τ-（γ） ）=ξγ（X（τξγ））和uγ（τ-(γ)) ∈ （s，s+△s）<=> X（τξγ）∈ξγ-1（s），ξγ-1（s+△s）, s≥ x，△s>0，带ξγ-1是ξγ的定义良好的逆函数。（iii）破产时间τ之前的纳税盈余水平-（γ） 重写asUγ（τ-（γ） ）=X（τξγ）- ξγ（X（τξγ）），Uγ（τ-(γ)-) = X（τξγ-) - ξγ（X（τξγ）），因此，对于z≥ 0和△z>0-Uγ（τ-(γ)) ∈ （z，z+△z）<=> -X（τξγ）∈-ξγ（X（τξγ））+z，-ξγ（X（τξγ））+z+△z,对于y≥ 0和△y>0Uγ（τ-(γ)-) ∈ （y，y+△y）<=> X（τξγ-) ∈ξγ（X（τξγ））+y，ξγ（X（τξγ））+y+△y.上述三个观测值结合定理3.1得出，对于s≥ x>0，y，z>0和△s△y△z∈ (0, ∞)前任e-ql-λ(τ-(γ)-l);Uγ（τ-(γ)) ∈ （s，s+△s） ，Uγ（τ-(γ)-) ∈ （y，y+△y） ，则，-Uγ（τ-(γ)) ∈ （z，z+△z）=Zs公司∈(ξγ)-1（s），（ξγ）-1（s）+△s）Zy公司∈（ξγ（s）+y，ξγ（s）+y+△y） Zz公司∈(-ξγ（s）+z，-ξγ（s）+z+△z） ×Exe-ql-λ(τξγ-l);X（τξγ）∈ ds，X（τξγ-) ∈ dy，-X（τξγ）∈ dz公司,4与（10）（withθ）组合的应用≡ 0）yieldsExe-ql-λ(τ-(γ)-l);Uγ（τ-(γ)) ∈ ds，Uγ（τ-(γ)-) ∈ dy，-Uγ（τ）-(γ)) ∈ dz公司=1.- γξγ-1（s）经验值-Z（ξγ）-1（s）xW′q（ξγ（w））Wq（ξγ（w））dwWλ（0+）ν（s+dz）δs（dy）+W′λ（s- y）-W′λ（s）Wλ（s）Wλ（s- y） 哦！ν（y+dz）{y<s}dy！ds，恢复Kyprianou和Z hou（2009）定理1.3中的第一个方程。

同样，fors≥ x>0我们有e-ql-λ(τ-(γ)-l);Uγ（τ）-(γ)) ∈ （s，s+△s） ，Uγ（τ-(γ)) = 0=Zs公司∈(ξγ)-1（s），（ξγ）-1（s）+△s）Zz公司∈{ξγ（s）}Exe-ql-λ(τξγ-l);X（τξγ）∈ ds，X（τξγ）∈ dz公司,再加上（11）yieldsExe-ql-λ(τ-(γ)-l);Uγ（τ）-(γ)) ∈ （s，s+△s） ，Uγ（τ-(γ)) = 0=1.- γξγ-1（s）经验值-Z（ξγ）-1（s）xW′q（ξγ（w））Wq（ξγ（w））dwσW′λ（s）Wλ（s）- W′λ（s）ds，恢复Kyprianou和Zhou（2009）定理1.3中的第二个方程。4.2. 适用于具有障碍红利策略的列维风险流程考虑以下具有障碍红利策略的列维风险流程rb（t）：=X（t）-X（t）- b∨ 0，（19），其中b∈ （十），∞) 是股息壁垒水平。风险流程（19）被称为“DeFinetti股息模型”。对于由复合泊松过程或布朗运动驱动的各种股息风险模型，许多作者对Gerber-Shiu函数进行了研究（例如，Lin et al.（2003）），通常涉及“最小时间间隔论证”或对第一次索赔的时间和金额进行调节的方法，这与我们的偏移论证不同。然而，据作者所知，在具有障碍红利策略的一般L'evy风险过程中的Gerber-Shiu函数尚未研究。在本小节中，基于盈余过程（19），我们试图用与X相关的标度函数s和L'evy测度来表示相应的Gerber-Shiu函数。到fix（19）到我们的提取s et up，让ξb（z）：=（z- （b）∨ 0，z∈ [x，∞),这确实是一个缩编函数。