期权定价模型的深度学习校准：一些陷阱和

在更复杂的模型中，qc应该是具有自身模型的随机变量，这些模型的特点是额外的一组参数p。第9页，共16页期权定价模型的深度学习校准：一些陷阱和解决方案，因为价格计算c（θi，j，p）可能很慢，例如，当它使用蒙特卡罗模拟时，求解cθi，j，p（2019），因此，我们请读者参考这些论文。因为神经网络可以被训练成松果体，所以getting消失了。然而，在Horvath等人（2019年）的研究中；Liu et al.（2019）全局优化问题仍然使用传统的数值方法解决。我们认为，通过使用逆映射直接返回随机模型的校准参数，可以完全消除第二步（全局优化）。然而，据报道，这种方法不稳定或不收敛。Tomas（2019）证实了类似的行为。因此，（样本外）校准步骤后一种方法也使用先前训练过的ANN。这正是第4.2节所述。下面，我们提出另一种DL方法来校准模型，无需第二步（全局优化）。该方法基于逆映射构建，但在最后的步骤中有所不同。4.1逆映射逼近模型是隐含波动率σ。在第2节中，我们生成了随机向量ξ=[S，K，T，r，q，σ]，然后使用Black-Scholes模型计算看涨期权价格。换句话说，通过这样做，我们构造了md:p，θ7→ 生成CξS，K，T，r，q，σCS，K，T，r，q，σ，这些变量可以重新排列以生成逆mapMi：[S，K，T，r，q，C]7→ σ、 Mi：θ，C7→ P前馈ANN。给定向量ξ=[S，K，T，r，q，C]，此ANN返回隐含波动率σ。Ardizzone et al。

（2018），其中一类特定的神经网络被认为非常适合这项任务，即所谓的可逆神经空间，以揭示参数相关性，并识别不可恢复的参数。因此，将INNs应用于金融校准问题可能是一种替代方法。逆mapMi：[θ，C]7→ PCA可用于校准给定模型。但是，它不能直接使用。事实上，再次假设我们得到了一组关于一组到期时间ti，i=1，…，的看涨期权市场价格。。，nand strikesKi，j，j=1。。。，micorresponding to the known market input dataθ=[S，r，q]。然后，对于每个特定的集合ξi，j=[θ，Ti，Ki，j，C（θ，Ti，Ki，j，σi，j）]被用作σANNξi，j校准问题的输入，该问题需要参数σ的单个值来解方程（7）。因此，将公式（7）重新表述为以下形式是有用的：rg minσMnXi=1miXj=1′ωi，jkσANN（ξi，j）- σMk.（8）第10页，共16页期权定价模型的深度学习校准：一些陷阱和解决方案，其中σmd表示隐含波动率的校准值，并使用一些权重。在一般情况下，模型的N个参数p=p。。。，pN，这可以重新写为rg minpnXi=1miXj=1NXk=1‘ωi，j，kkpk，ANN（ξi，j）- pkk。（9） Lsolution readpk=Pni=1Pmij=1′ωi，j，kpk，ANN（ξi，j）Pni=1Pmij=1′ωi，j，k。（10）pmi将市场数据替换到ANN中以获得pann（ξi，j），然后使用等式（9）来确定p的校准值。然而，它不需要解决任何优化问题，因为这个问题已经通过分析解决了。一个有效的问题是：等式（9）中的目标函数与等式（9）中的目标函数有何不同。

(7)?另一个问题参数minpnXi=1miXj=1ωi，jkCM（θi，j）- 基于直接映射md:[p，θ]7的CANN（θi，j，p）k（11）→ C由经过训练的人工神经网络生成，我们可以将其重新写入表格minpnXi=1miXj=1ωi，jkCANN（θi，j，pi，j）- CANN（θi，j，p）k（12）=arg minpnXi=1miXj=1ωi，jkCANN（θi，j，pANN（ξi，j））- CANN（θi，j，p）k，其中，[θi，j，pi，j]是输入数据和模型参数的向量，作为ANN的输入。ANN返回市场价格cm（θi，j）。现在，将公式（11）扩展为所有参数上的泰勒级数，我们可以得到n（θi，j，pi，j）- CANN（θi，j，p）（13）=NXk=1CANN（θi，j，pi，j）pk，ANN（ξi，j）[pk，ANN（ξi，j）- pk]+O（pk，ANN（ξi，j）- pk）.然后在每个pi，j，k=pk，ANN（ξi，j）- pk在范数|·|下，weobtainxi=1miXj=1ωi，j | CM（θi，j）- CANN（θi，j，p）|=nXi=1miXj=1ωi，jNXk=1CANN（θi，j，pi，j）pk，ANN（ξi，j）（pk，ANN（ξi，j））- pk）(14)≤nXi=1miXj=1ωi，jNXk=1CANN（θi，j，pi，j）pk，ANN（ξi，j）|pk，ANN（ξi，j）- pk |=nXi=1miXj=1NXk=1′ωi，j，k | pk，ANN（ξi，j）- pk |，(R)ωi，j，k=ωi，jCANN（θi，j，pi，j）pk，ANN（ξi，j）.第11页，共16页期权定价模型的深度学习校准：一些陷阱和解决方案公式（14）前两行中的所有总和都是非负的，并且取决于同一组参数sp。因此，问题的解为minpnXi=1miXj=1NXk=1′ωi，j，k | pk，ANN（ξi，j）- pk |（15）还解决了问题参数minpnXi=1miXj=1ωi，j | CM（θi，j）- CANN（θi，j，p）|，（16）’ωi，j，k | x|√xp还可求解方程（16）至O（Pk，i，j(pi，j，k））。如等式（14）最后一行所述，可以在ANN的每个节点上免费获得每个参数的买入期权价格的导数arewi、jall权重wi、j、kc。重要的是要强调，为了在从等式（11）切换到等式时保持一致。

（12） ，我们使用以下步骤序列：1。给定一组输入ξ，我们使用模型价格生成一组相应的模型输出sc（ξ）。我们使用所有对{ξ，C（ξ）}生成一个mapMd:ξ7→ CANN（ξ）。该图由样本中的训练条件生成。3、我们现在重新排列变量以产生逆mapMi，ANN：{θ，CANN（ξ）}7→ p、 值得一提的是，一般来说，该映射与映射Mi不同：{θ，C（ξ）}7→ p、 4。有了逆映射，我们将其与市场数据一起使用，以生成outputspk、ANN（（ξi，j），然后是等式（10）以及等式（14）的最后一行。在更复杂的校准中，部分输入数据参数也可能发生变化。例如，期权市场数据不仅可以反映时间t的当前快照，还可以反映τ<t的一些历史数据，其中股票价格τ=St等。然后，这扩展了一组指数i，jt，以反映看涨期权价格对S的依赖性，但这种扩展很简单。4.2稳定性和收敛性现在，我们想要构建一个逆映射，并解决在市场期权价格下隐含波动率σ的校准问题。与直接法相比，唯一的区别是，在所有训练后CσMi:S、K、T、r、q、C7→ σ在第2节中（通过使用相同的ANN架构，甚至相同的代码），获得的结果与Hernandez（2017）中的结果一致；托马斯（2019）。然而，这是可以自然解释的。由于选项价格现在是一个输入参数，σ是一个输出，请考虑梯度σC=1/织女星，其中织女星为织女星选项。后者可以使用Black-Scholes公式轻松计算，织女星的著名行为如图11所示∈,, K、 r.、q.、T.T。，。，κσ√钱多钱少（ATM）。

这给培训ANNpage12/16期权定价模型的深度学习校准带来了问题：一些陷阱和解决方案图11：期权织女星CBlack-Scholes模型的测试示例中的σ。参见，例如，Goldberg（2017）。已经提出了各种处理方法，包括：网络、具有较少的网络隐藏层等。此外，如果发生爆炸梯度，可以在ANN训练期间检查和限制梯度的大小。这称为渐变剪裁。在培训之前，在您最喜欢的优化器上插入clipnorm或clipvalue参数。函数使用Kerasl r s=Le ar ni ng Ra te s ch ed ul er（my\\u回调）的LearningRateScheduler类，然后在第一个历元后的回调中，我们使用norm=np计算范数。模型中的s q r t（sum（np.sum（K.get \\u va lue（w）））。o p t i m i z e r。另一个自定义回调函数。另一个重要的事情是缩放。如果发现一些对称性（如欧洲香草选项的Black-Scholes模型），则首先缩放输入是有意义的。在这种情况下，缩放允许减少输入变量的数量。其次，输入和输出的良好缩放有助于改变问题梯度的标准。因此，它也有助于解决爆炸梯度问题。特别是，当应用于我们的测试时，我们将输出变量σ替换为σ7→ N对数（S/K）σ√T≡ N（σ），其中N（x）是正常CDF。因此，所有输出均在[0,1]中。选择这种比例是因为上面提到的原因，也是因为逆mapN（σ）7→ σ可以用解析法计算。

还可以提出其他功能并很好地发挥作用，例如σ7→[1+棕色对数（S/K）σ√T],等。第13页，共16页期权定价模型的深度学习校准：一些陷阱和解决方案我们使用与第2节相同的ANN设计，优化器设置为Adam。一旦学习停滞，我们还会使用另一个2-10。此回调监视一个数量，如果在“耐心”的次数上看不到任何改善，学习速度就会降低。δy- yANNsample为1.5个基点，30个时代后的平均百分比误差为-0.3。图12：NσScholes N（σ）。图13：样本外ANN Black-ScholesNσScholesN（σ）。图14：δBlack-Scholes N（σ）。图15:Black-Scholes N的样本外δ误差密度（σ）。实验表明，神经网络的训练是稳定的、收敛的。尽管如此，一些改进还是达到了它的内在价值，因此，逆mapMi:C 7→ σ在固定机器仿真中没有很好的定义。第14页，共16页期权定价模型的深度学习校准：一些陷阱和解决方案结论在本文中，我们讨论了使用DL方法根据市场数据校准期权定价模型，Cii）在训练定价神经网络时，无套利条件将被视为惩罚；使用逆映射方法直接校准模型参数。后者通过考虑无套利进一步扩展。我们展示了如何使用逆映射重新表述经典校准问题。我们还讨论了这种方法固有的一些技术问题，并在文献中进行了报道，并展示了克服这些问题的几种方法。为所提方法的Black-Scholesof提供了简单的示例。具有多个模型参数（输出）。这些结果将在其他地方报告。感谢国际会议的有益讨论，尽管任何错误都是我自己的。参考nceshttps://arxiv.org/abs/1808.04730.

arxiv:1808.04730。Bishop，C.M.，1995年。用于模式识别的神经网络。牛津大学出版社，美国纽约州纽约市。Carr，P.，Itkin，A.，2018年。扩展的局部方差gamma模型。可获得的athttps://arxiv.org/abs/1802.09611.125–130.https://isaacchanghau.github.io/post/activation_functions/.Cont，R.，2010年。模型校准。John Wiley&Sons，有限公司URL：http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9780470061602.eqf08002.Cox，J.，Rubinstein，M.，1985年。期权市场。普伦蒂斯大厅。Elouerkhaoui，Y.，2019年。深入学习衍生产品定价方法，见：QuantMinds InternationalConference。人类语言技术）。摩根&克莱普出版社。第15页，共16页期权定价模型的深度学习校准：一些陷阱和解决方案Halperin，I.，2017年。Qlbs：布莱克-斯科尔斯（-默顿）世界的Q-学习者。URL：https://arxiv.org/abs/1712.04609.arxiv:1712.04609。Hernandez，A.，2017年。使用神经网络进行模型校准。危险霍尼克，K.，斯丁奇科姆，M.，怀特，H.，1990年。使用多层前馈网络对未知映射及其导数的通用逼近。神经网络3551–560。Horvath，B.，Muguruza，A.，Tomas，M.，2019年。深度学习波动率深度神经网络透视（粗糙）波动率模型中的定价和校准。SSRN：3322085。Itkin，A.，2015年。对波动率微笑进行基于sigmoid的函数描述。《北美经济和金融杂志》31264–291。Itkin，A.，Lipton，A.，2018年。平滑填充间隙。计算科学杂志24195-208。Kathuria，A.，2018年。深度学习优化简介：消除梯度和选择正确的激活函数。URL：https://blog.paperspace.com/vanishing-gradients-activation-function/.series:优化。Liu，S.，Borovykh，A.，Grzelak，L.，Oosterlee，C.，2019年。基于神经网络的财务模型校准框架。

Arxiv:1904.10523。Marquez Neila，P.，Salzmann，M.，Fua，P.，2017年。对深层网络施加硬约束：承诺和限制。URL：https://arxiv.org/pdf/1706.02025.pdf.arxiv:1706.02025。史密斯，A.E.，哥伦比亚特区，1996年。惩罚函数，摘自：Baeck，T.，Fogel，D.，Michalewicz，Z.（编辑），《进化计算手册》。牛津大学出版社和物理研究所出版社。https://www.theverge.com/2018/12/12/18136929/artificial-intelligence-ai-index-report-2018-machine-learning-global-progress-research.Tomas，M.，2019年。私人通信。Varma，S.，Das，S.，2018年。深度学习。电子版。https://srdas.github.io/DLBook/.Walia，A.，2017年。激活功能及其类型哪个更好？URL：https://towardsdatascience.com/activation-functions-and-its-types-which-is-better-a9a5310cc8f.Page第16页，共16页