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英文标题：
《Deep learning calibration of option pricing models: some pitfalls and
  solutions》
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作者：
A Itkin
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Recent progress in the field of artificial intelligence, machine learning and also in computer industry resulted in the ongoing boom of using these techniques as applied to solving complex tasks in both science and industry. Same is, of course, true for the financial industry and mathematical finance. In this paper we consider a classical problem of mathematical finance - calibration of option pricing models to market data, as it was recently drawn some attention of the financial society in the context of deep learning and artificial neural networks. We highlight some pitfalls in the existing approaches and propose resolutions that improve both performance and accuracy of calibration. We also address a problem of no-arbitrage pricing when using a trained neural net, that is currently ignored in the literature.
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中文摘要：
人工智能、机器学习和计算机工业领域的最新进展导致了将这些技术应用于解决科学和工业中的复杂任务的持续繁荣。当然，金融业和数学金融也是如此。在本文中，我们考虑了数学金融的一个经典问题——期权定价模型与市场数据的校准，因为它最近在深度学习和人工神经网络的背景下引起了金融社会的一些关注。我们强调了现有方法中的一些缺陷，并提出了提高校准性能和准确性的解决方案。我们还解决了一个使用训练过的神经网络进行无套利定价的问题，这一问题目前在文献中被忽视。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Deep_learning_calibration_of_option_pricing_models:_some_pitfalls_and_solutions.pdf (891.48 KB)

2022-6-25 06:04:31 上传

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关键词：期权定价模型 深度学习 期权定价 定价模型 Mathematical

期权定价模型的深度学习校准：一些陷阱和解决方案Andrey ItkinTandon工程学院，纽约大学，12 Metro技术中心，26楼，Brooklyn NY 11201，USA 2019年6月11日艺术智能领域的最新进展，机器学习和非计算机工业导致了将这些技术应用于解决科学和工业中的复杂任务的持续繁荣。当然，金融业和数学金融也是如此。在本文中，我们考虑了数学金融的一个重要问题——期权定价模型与市场数据的校准，因为它最近在深入学习和人工神经网络的背景下引起了金融社会的一些关注。我们强调了现有方法中的一些缺陷，并提出了改进校准性能和准确性的解决方案。我们还解决了使用训练神经网络时的无套利定价问题，这一问题目前在文献中被忽视。Introductionindustry导致了使用这些技术解决科学和工业中复杂任务的持续繁荣。当然，金融业和数学金融也是如此。然而，正如Statt（2018）所述，“……行业发展的速度和目标通常不仅取决于实际的产品进步和研究里程碑，还取决于AI领导人、未来学家、学者、经济学家和决策者的预测和表达的担忧。

人工智能将改变世界，但如何改变以及何时改变仍然是一个悬而未决的问题”。在本文中，我们考虑了数学金融的一个经典问题——期权定价模型与市场数据的校准，因为它最近在ARXIV:1906.03507v1【q-fin.CP】的背景下引起了金融社会的一些关注2019年6月8日期权定价模型的深度学习校准：一些陷阱和解决方案深度学习（DL）和人工神经网络（ANN）。在各种论文中，我们提到了Horvathet al.（2019）；Liu等人（2019），以及其中的参考文献。总之，这些论文的主要思想如下。众所周知，考虑到一些资产定价模型，经典的校准问题在于找到模型参数的最佳性，即它们将模型预测的价格与市场提供的价格之间的差异（在某些规范中）最小化。在本文中，为了确定，我们考虑到计算模型期权价格可能很慢，因此整个校准过程很慢。相反，DLcalibration假设此问题通过两个步骤解决。第一步是使用人工神经网络，用近似值代替价格缓慢的价格。该人工神经网络使用一些样本数据集进行训练，因此在这一步骤完成后，人工神经网络的权重就变得已知了。然后使用标准校准，将modelpricer替换为在前一步构建的经过训练的ANN。这种方法的优点是，对于给定的模型，可以只对近似的ANN进行一次训练，然后将其与任何市场数据一起用于在线校准。因此，神经网络的训练时间被忽略）。问题。Horvath等人详细描述了神经网络的典型构造和训练。

(2019).关于使用DL进行资产定价的一般理论，请参见，例如，Elouerkhaoui（2019）（运行全局优化器）的广泛介绍可以被取消，因为当培训与价格本身一样重要时，可以获得相同的结果，需要确保ANN价格至少为TC，而这是需要考虑的。因此，本文的最终目标是更详细地研究这些问题，并提供一些（可能只是部分）解决方案。论文的其余部分组织如下。1使用ANN进行期权定价，以便更好地理解本文的其余部分。有关该主题的更全面介绍，请参见Horvath等人（2019）的最新论文；Liu等人（2019）；Elouerkhaoui（2019）及其参考文献。活动被称为线性组合。最后，激活函数控制从Changhau（2017）借来的图2中突出显示的振幅。此处x=[x，…，xm]，x∈ r重新输入ANN，wj=[wi，j，…，wi，m]，i∈[1，m]，wi，j∈ r根据I.Halperin提到的隐藏层特征调整网络权重，使用非参数方法（ANN）校准参数模型是一种过分的做法。事实上，如果人们求助于人工神经网络，为什么首先要处理参数模型，因为给定市场数据，人工神经网络可以直接与该数据相关联，而中间没有模型。更多详细信息，请参见Halperin（2017）第2页，共16页期权定价模型的深度学习校准：一些陷阱和解决方案连接节点1。。。，mto下一层，输出为andoj=Yi。函数∑通常在bjpmk=1wk，jxkbj中选择∈ R实践中使用的功能，更详细的信息，参见，例如Changhau（2017）。假设，我们有一些函数y=F（x），需要构造一个前馈神经网络：y=FANN（x，w），在某种最佳意义上逼近该函数。为此，ANN应使用X、y、。

、xm、ymwi、jPikFxi- Fanxiknorm，例如，L.图1：一层前馈ANN的示例。图2：神经元的行为和激活功能。Mp，pn，pi∈ R、 n个∈ Z、 n个≥θ, . . . , θl，l∈ Z、 l≥Scholes模型有一个模型参数σ-股票的波动性，和5个输入参数K、T、r、qdividend。期权定价的DL方法基本上假设ANN可以用作通用近似法→ R、 即，给定输入数据θ的向量和模型参数p的值的向量，它提供了唯一的期权价格，例如看涨期权价格C（θ，p）。那么这为什么有用呢？最近在将人工神经网络用于科学和工业应用方面取得的重大进展可能可以用几个因素来解释。首先，快速输入/输出数据的可用量计算机继续变得越来越强大，甚至个人计算机现在也配备了进步，这使得在现实时间内解决复杂的多维问题成为可能。一种方法很简单，假设在给定一组输入θ的情况下对神经网络价格器进行训练。所以它提供了mc:Cθ，p→ CANNθ，ppp。。。，pNmodel参数。同样，对于Black-Scholes模型，这是simplyp=[σ，…，σN]。例如，从实际θ来看，如果未来股价发生变化，则应重新训练该神经网络定价器。ξθ，pξ→ CANNξ第3页，共16页期权定价模型的深度学习校准：前一段中关于现代计算机系统的效率和能力的一些陷阱和解决方案，以及具有非常缓慢的具体定价者。2 ANN和选项GreekSCReference。定理1。Nσd，dσR 7→ 研发部∈ Nd公司∈ 法国试验标准∈ CnFANNRd公司→ Rσ∈ CnRNσd，df阶导数n。因此，激活函数的可微性对于期权定价很重要。学习能力有限的线性回归，Walia（2017）。

由于ANN被设计为具有前两个导数的通用函数。例如，ReLu可能是一个很好的候选人，但它的作用来自于消失梯度的问题。可以决定使用泄漏ReLU作为解决方案，但itCELU激活函数r（z）=（z z>0，α（ez- 1） z≤ 0时，可以选择超参数α=1，因此ELU的一阶导数是平滑的。然而，二阶导数在z=0时跳跃。该函数还具有两个重要属性：i）它产生的层是期权价格，不能使用ELU，因为它不能保证价格的正性。因此，必须为最后一层使用另一个激活函数，或者调整价格，这样调整后的价格可能会变为负值。ξS，K，T，r，q，σ看涨期权价格使用Black-Scholes模型。然后我们只剩下那些服从0的价格。≤ C≤10个，提供259012个样本。其中80%用作训练集，其余20%用作预测集。我们构建了一个具有128个节点和4层的前馈神经网络，因此可训练参数总数为33921。为了训练ANN，我们使用Rmsprop或Adam优化器，MSE lossfunction，15个历元，批大小64。各层的激活函数如下：1。α=1的LeakyReLU。那么这个函数就是C。第4页，共16页期权定价模型的深度学习校准：一些陷阱和解决方案2。自定义激活函数，即修改的ELU（MELU）：R（z）=z+azz+bz>0，α（ez- 1） z≤ 0，a=1- 2α，b=-2 +α.可以验证R（z）∈ C、 R（0）=R（0）=α。3、同2.4。Softplus函数负0.5。该函数也是C.Cα。MELUx>-.S 7→序列号，C 7→ C/K-最小ξ（C/K）- 0.5.δy- yANNCores，3.6GHz），一个历元大约用了15秒。

样本内和样本外的均方误差均为9.7bps，15个时代后的平均百分比误差为0.1。如果预测价格与实际价格完全匹配，价格图上的所有分散点应与线y（x）=x重合，该线也在图中绘制为实线。图3：按比例的看涨期权价格。图4：按比例看涨期权价格。ξANN，根据激活函数的构造是连续的。下一节专门讨论。3 ANN期权价格和无套利从期权定价理论中可知，如Cox和Rubinstein（1985）；Carr和Madan（2005），看涨期权价格SC=C（S，K，T，r，q）无套利的必要条件CT> 0，CK<0，CK> 0。（1） 第5页，共16页期权定价模型的深度学习校准：一些陷阱和解决方案图5：δBlack-Scholes标度看涨期权价格。图6：Black-Scholes标度看涨期权价格δ。条件式（1）的离散版本如下所示。给定三个看涨期权价格C（K），C（K），CP（K）K<K<KS，T，r，qsu有效条件，该系统为无套利readC（K）>0，C（K）>C（K），（2）（K- K） C（K）- （K）- K） C（K）+（K- K） C（K）>0。第二个条件表示“垂直摊铺”，第三个条件表示“黄油摊铺”。此外，对于两个最到期的<T的期限，给出两个看涨期权价格SC（T），C（T），并且所有其他参数（S，K，r，q）都相同，这是该系统无套利读取（日历价差）C（T）>C（T）的第三个必要且有效的条件。

（3） 假设使用经过训练的人工神经网络计算看涨期权价格，类似于这样做的方式。为了使价格服从无套利条件，我们需要将无条件优化替换为通过运行全局约束优化来构建其曲面，如Itkin（2015）。（目标）培训期间最小化的功能，请参见Smith和Coit（1996）的一般介绍，调整后的功能使其更接近硬约束。然而，正如Marquez Neila et al.（2017）的作者令人惊讶地观察到的，在DL的框架中施加软约束。因此，在本文中，我们仅讨论软约束，同时鼓励进一步研究这一主题。第6页，共16页期权定价模型的深度学习校准：一些陷阱和解决方案考虑到这些论点，假设在每一层，通过使用MSE损失函数l=arg minwXiXj[C（ξi）提供加权训练- CANN（ξi，wi，j）]（4）该损失函数可以通过以下约束条件来惩罚Lc=arg minwXiXj（[C（ξi））- CANN（ξi，wi，j）]+Φλ，m-CANN（ξi，wi，j）K（5） +λ，m-CANN（ξi，wi，j）T+ Φλ，mCANN（ξi，wi，j）K),Φλ，m（x）=（0，x<0λxm，x≥ 0，T，K∈ ξiλ∈ R、 m级∈ Z学员感到满意，没有处罚。罚函数Φλ，m（x）ism-1 ism-1倍可区分。因此，选择M>2会很有帮助，因此它不会对依赖于一阶或二阶导数的优化算法造成任何问题。λ从这个角度来看，用以下方法规范化等式（5）是有用的：lc=arg minwXiXj[C（ξi）- CANN（ξi，wi，j）]+P，（6）P=XiXj（Φλ，m-KCANN（ξi，wi，j）K！+Φλ，m-TCANN（ξi，wi，j）T+ Φλ，mKCANN（ξi，wi，j）K).从技术上讲，这可以作为一个自定义损失函数来实现，例如，在Keras中，它提供了一个适当的接口。

此外，还可以在该自定义损失函数内获得必要的梯度。因此，完全支持式（6）中定义的LCD的实施。为了测试这种方法，我们再次使用第2节中考虑的示例。作为套利pλλmmmP1的度量，0Pmmmλi，i，，λ=λ=λ=0对应于无惩罚。样本内套利更大，因为样本内输入的数量是182016，而样本外输入的数量是4倍。第7页，共16页期权定价模型的深度学习校准：样本MSE中的一些陷阱和解决方案λλ，样本MSE中的bps平均%误差，bps0 0 0 0 1008550 6.50 0.091 248432 6.481 1 421 10.32 0.115 101 10.3810 10 10 10 105 11.95 0.124 25 12.1550 50 36 12.17 0.125 9 12.34100 100 100 25 11.26 0.120 6 11.43表1：使用带软约束的ANN预测看涨期权价格时的惩罚项P1,0。λ套利，几乎消除了套利。然而，这是通过稍微增加theMSE的成本来实现的，这是约束优化的常见情况。表1最后一行的结果为δy-ANN根据实际价格预测的yANNprices，虽然它们实际上不影响λ的价格（与硬约束相比），但几乎降低到了可忽略的水平。表1的最后一行是每历元40-60秒。此外，我们需要更多的时代来实现更好的融合。因此，在这次测试中，历代的数量增加到了30个。图7：斯科尔斯标度看涨期权价格。图8:Black-Scholes标度看涨期权价格。提问片刻。然而，在某些特定情况下，可以提供配方。例如，常数输入参数θ=[S，r，q，σ]。

然后，给定样本对外（T，K）的一些市场报价（T，K），我们可以找到最接近的toKin样本对（T，K，K，K），K<K<K，K<K<K，CiCANNθ，T，Ki，i，，Ki，Ci，i，，CafT，KCANNθ，T，KPage 16期权定价模型的深度学习校准：一些陷阱和解决方案图9：受约束神经网络预测的δBlack-Scholes标度看涨期权价格。图10：约束ANN预测的δ。到期后，无套利插值的构造变得更加繁琐。4使用ANNModel校准期权定价模型校准是选择模型参数以验证校准条件的过程。模型校准可以被视为与衍生品定价相关的反问题。在所有行权和到期日都可以获得看涨期权价格的理论情况下，可以使用反演公式明确解决标定问题。在实际情况下，给定一组有限（且经常是解析）的衍生产品价格，模型校准是一个不适定问题，其解决方案通常需要重新调整方法。CMTi，i。。，nKi，j，j。。。，M对应于已知市场输入数据，如asS、r、q等。该符号表示数字KI、jTiMpθpθ的概念：参数必须通过校准找到，而输入数据θ表示一些可观察（或已知）的市场值，如S、r、q、T，K.θpmct当需要解决以下优化问题以获得模型的校准参数时：arg minpnXi=1miXj=1ωi，jkCM（θi，j）- C（θi，j，p）k（7）ωi，jk·kLCθi，j，p多维目标（损失）函数可能有许多局部极小值。此外，这一问题可能会受到训练，例如，这是基于市场报价构建隐含波动率曲面的典型情况，再次参见Itkin（2015）和其中的参考文献。这里作为一个例子，我们只讨论最简单的情况。