跳扩散模型的分解公式

在代数运算之后，我们重新检索-rTA（T，Xt，vT）BT=A（0，X，v）B+中兴通讯-俄罗斯xA（u，~Xu，vu）Bu（vu- σu）du+中兴通讯-俄罗斯xA（u，~Xu，vu）Buσu（ρdWu+p1- ρdWu）+中兴通讯-俄罗斯yA（u，Xu，vu）但是- udMu+中兴通讯-俄罗斯yA（u，Xu，vu）但是- uvu公司- σudu+中兴通讯-ruA（u、Xu、vu）dBu+中兴通讯-俄罗斯xA（u、~Xu、vu）Buσu- vu公司du+中兴通讯-俄罗斯yA（u，~ Xu，vu）Bu（T- u） d[M，M]u+ρZTe-俄罗斯x、 yA（u，~ Xu，vu）BuσuT- ud【W，M】u+p1- ρ中兴通讯-俄罗斯x、 yA（u，~ Xu，vu）BuσuT- ud[~W，M]u+ρZTe-俄罗斯xA（u，~Xu，vu）σud[W，B]u+p1- ρ中兴通讯-俄罗斯xA（u，~Xu，vu）σud[~W，B]u+中兴通讯-俄罗斯yA（u，~ Xu，vu）T- ud[M，B]u。在对方程的两侧应用期望后，我们最终得到Theorem的陈述。4 SVJ模型的分解公式。在上一节中，我们给出了一个通用的分解公式，可用于具有连续样本路径的随机波动率模型。在本节中，我们将把之前的分解扩展到具有有限活动跳跃的一般跳跃扩散模型的情况。与Merino和Vives（2017）中使用的方法一样，其主要思想是调整定价流程，以便能够有效地应用分解技术。在我们的例子中，这将转化为对有限跳跃次数nT的条件。如果我们表示Jn=Pni=0Yi，使用Black-Scholes函数的可积性，我们可以得到以下欧洲期权的条件化公式，其中到期支付为T:BS（T，XT，vT）。V=e-rTE[BS（T，XT，vT）]=e-rT公司+∞Xn=0pn（λT）E“BST，~XT+nTXi=0Yi，vT！nT=n#=e-rT公司+∞Xn=0pn（λT）EhBST、 XT+Jn，vTi=e-rT公司∞Xn=0pn（λT）EhEJnhBS（T，~XT+Jn，vT）ii=e-rT公司∞Xn=0pn（λT）EhGn（T，XT，vT）i。其中gn（T，XT，vT）：=EJnhBS（T，XT+Jn，vT）i。我们已将问题从具有随机波动性的跳跃扩散模型切换到另一个没有跳跃的跳跃扩散模型。

结合一般SV分解公式（来自Theorem3.1）和跳跃次数的条件，我们在一块基石上计算bta，以获得近似值。推论4.1（SVJ分解公式）。设Xtbe为对数价格过程（2），Gnbe为之前定义的函数。然后，我们可以使用泊松质量函数Pn和鞅过程Mt（由（5）定义）来表示看涨期权公允价值。特别是，V=∞Xn=0pn（λT）Gn（0，~X，v）+∞Xn=0pn（λT）E“中兴通讯-ruΓGn（u，~Xu，vu）d[M，M]u#+ρ∞Xn=0pn（λT）E“中兴通讯-ru∧ΓGn（u，Xu，vu）σud[W，M]u#。证据我们将定理3.1应用于A（t，~Xt，vt）：=Gn（t，~Xt，vt）和Bt≡ 1、注意σBS（t，x，σ）=（t- t）x个- x个BS（t，x，σ）和σBS（t，x，σ）=（t- t）x个- x个BS（t，x，σ）。然后，国会立即跟进。没有，为了将It^o公式应用于函数，我们需要使用molli fier参数，正如Merino和Vives（2015）所做的那样。备注4.2。为清楚起见，在下文中，我们将参考先前asV分解的术语=∞Xn=0pn（λT）Gn（0，~X，v）+∞Xn=0pn（λT）[（In）+（IIn）]。计算上述表达式可能很麻烦。其主要思想是找到一个替代的nativeformula，以便在公式中包含更多条款的同时，更容易计算主要条款。幸运的是，在许多情况下，这些新术语可以作为近似误差而忽略。误差的大小取决于模型以及我们关注的是短期动力学还是长期动力学。Alòs（2012）第406页证明了以下引理；这将有助于我们推导本文主要结果中出现的错误项的界限，这是一个计算上适用于ge神经网络活动SVJ模型的分解公式。引理4.3。让0≤ t型≤ s≤ T和Gt：=英尺∨FWT。对于每n≥ 0，存在C=C（n）这样的E∧nΓBSs、 Xs，vs燃气轮机≤ CZTsEs公司σθdθ！-（n+1）。定理4.4（计算上适用的SVJ分解）。

设XT为对数价格过程（2），GN为之前定义的函数。然后，我们可以用泊松概率m质量函数Pn表示看涨期权公允价值Vu，并处理Rt，分别由（6）和（7）定义。特别是，V=∞Xn=0pn（λT）Gn（0，~X，v）+∞Xn=0pn（λT）ΓGn（0，~X，v）R+∞Xn=0pn（λT）∧ΓGn（0，~X，v）U+∞Xn=0pn（λT）OhmN此处Ohm附录A中完全推导出的误差项。1.证明。我们反复使用Theorem3.1来选择A（t，Xt，vt）：（I）：A（t，Xt，vt）：=ΓGn（t，Xt，vt）和bt：=Rt=Et“ZTtd[M，M]u（II）：A（t，Xt，vt）：=∧Gn（t，Xt，vt）和bt：=Ut=ρEt”ZTtdσud[W，M]u。然后这句话马上就可以了。另见附录A中的条款。1、正如我们将在赫斯顿型SVJ模型的后续章节中所述，该公式可以得到有效评估，而被忽略的误差项不会显著限制公式的实际使用。要获得SVJ近似定价公式，主要成分是R、uan和Gn（0、~X、v）的表达式。现在，我们将深入了解后一个术语如何在各种跳转差异设置下表达。备注4.5。特别是，我们有一个对数正态跳跃扩散模型的闭合公式（例如Bates（1996）SV J模型）：Gn（0，~X，v）=BS0，~X，rv+nσJT！我们修改了Black-Scholes公式tor中使用的无风险利率*= r- λeuJ+σJ- 1.+ nuJ+σJT。Hanson（2007）推导了一个非常类似于Merton案例的公式。更多细节将在下一节中介绍。

在一般（有限活动）跳跃扩散设置下，我们需要解算ZRBS0、~X+y、vfJn（y）Dy其中fJn=（f*nY）（y）是n跳跃定律的卷积。这里我们提供了各种流行模型的已知结果列表寇（2002）双指数模型：f*（n） （u）=e-ηunXk=1Pn，kηk（k- 1)!英国-1{u≥0}+e-ηunXk=1Qn，kηk（k- 1)!(-u） k级-1{u<0}，其中pn，k=n-1Xi=kn- k- 1i- k镍ηη+ η我-kηη+ ηn-ipiqn-ifor所有1≤ k≤ n-1，和qn，k=n-1Xi=kn- k- 1i- k镍ηη+ ηn-我ηη+ η我-荷兰皇家电信-IQIF全部1≤ k≤ n-1、此外，Pn，n=Pn和Qn，n=Qn.oYan和Hanson（2006）模型使用对数u形跳跃大小，所以密度是形式（Killmann和vonCollani 2001）：f*（n） （u）=Pn（n，u）i=0(-1） i（ni）（u）-不适用-i（b）-a） ）n-1（n-1)!（b）-a） nif不适用≤ u≤ nb0，否则。式中▄n（n，u）：=hu-逮捕-Ai是小于U的最大整数-逮捕-a、 5 Heston类型的SVJ模型在本节中，我们应用之前的一般结果，推导出具有Heston方差过程的SVJ模型的定价公式。目的不是为所有已知/研究模型提供定价解决方案，而是详细说明所选模型的定价，并对不同模型的可能扩展发表评论。一、 e.我们关注的是动力学满足以下随机微分方程的模型=r- λk-σtdt+σtρdWt+p1- ρdWt+ dJt（8）dσt=κθ - σtdt+νqσtdWt（9），其中σ，κ，θ，ν是满足费勒条件2κθ的正常数≥ ν. 过程σtre表示时间t时价格的瞬时方差，θ是方差的长期平均水平，κ是σtre转化为θ的速率，最后但并非最不重要的是，ν是波动性参数的波动率。我们将区分这两种情况：o要么跳跃幅度遵循高斯过程（Bates（1996）模型），o要么它们由其他模型驱动，例如。

对数均匀过程（Yan和Hanson（2006）模型）。5.1赫斯顿型SVJ模型的近似对于标准赫斯顿模型，我们有以下结果，见Alòs，de Santiago，a and Vives（2015）：引理5.1。采用前面章节中的标准符号和规范。定义Д（t）：=RTte-κ（z-t） dz。我们得到以下结果：1。对于s≥ t we havet（σs）=θ+（σt- θ） e类-κ（s-t） =σte-κ（s-t） +θ（1- e-κ（s-t） ，因此，特别是，该量的范围为σt以下∧θ及以上乘以σt∨θ.2、EtRTtσsds= θ（T- t） +σt-θκ1.- e-κ（T-t）.3、dMt=νσtRTte公司-κ（u-t） 杜邦dWt=νκσt1.- e-κ（T-t）载重吨。4、Ut：=ρEtRTtσsd hM，W为=ρνRTtEtσsRTse公司-κ（u-s） 杜邦ds=ρν2κnθκ（T- t）- 2θ+σt+e-κ（T-t）2θ - σt- κ（T- t） e类-κ（T-t）σt- θo、 5。Rt：=EtRTtd hM，M为=νRTtEtσsRTse公司-κ（u-s） 杜邦ds=ν8κ（θ（T- t）+σt- θκ1.- e-κ（T-t）-2θκ1.- e-κ（T-t）- 2.σt- θ（T- t） e类-κ（T-t） +θ2κ1.- e-2κ（T-t）+σt- θκe-κ（T-t）- e-2κ（T-t）).6、dUt=ρνRTte公司-κ（z-t） Д（z）dzσtdWt-ρνν（t）σtdt，7。dRt=νRTte公司-κ（z-t） Д（z）dzσtdWt-νν（t）σtdt。此外，以下引理得到了inAlòs，de Santiago，a and Vives（2015）的证明。引理5.2。让所有对象如上所述进行定义，然后对于标准赫斯顿模型，我们有（i）RTsEs（σu）du≥θκRTse公司-κ（u-s） 杜邦,（ii）RTSEσu杜邦≥ σsRTse公司-κ（u-s） 杜邦.备注5.3。我们可以利用这些等式得到定理4.4的模拟结果。这个OhmNTRM可在附录A中找到。2、现在我们有了引入主要实用结果所需的所有工具——定价公式推论5.4（赫斯顿型SVJ定价公式）。

设Gn（0，X，v）将表达式作为特定跳跃类型设置的标记4.5，letR=ν8κ（θT+σ- θκ1.- e-κT-2θκ1.- e-κT- 2.σ- θT e公司-κT+θ2κ1.- e-2κT+σ- θκe-κT- e-2κT)letU=ρν2κθκT- 2θ+σ+e-κT2θ - σ- κT e-κTσ- θ.然后，欧式期权公允价值表示为=∞Xn=0pn（λT）Gn（0，~X，v）+∞Xn=0pn（λT）ΓGn（0，~X，v）R+∞Xn=0pn（λT）∧ΓGn（0，~X，v）U+∞Xn=0pn（λT）OhmN此处Ohm附录A中详细说明的nare错误术语。2.任何Ohmnis提供人Ohmn≤ ν(|ρ| + ν)r∧ （T- t）π（κ，θ），其中∏（κ，θ）为正函数。因此，总误差Ohm =∞Xn=0pn（λT）Ohmnis以相同常数为界。证据我们将赫斯顿波动率模型动力学插入到定理4.4中。利用Black-Scholes函数的可积性、Fubini定理以及Lemma4.3的上界不依赖于对数现货价格的事实，上界可以用于每个Gnfunction。利用引理5.1和引理5.2，我们证明了推论。整个证明见附录A.3。备注5.5（近似分数SVJ模型）。对于Pospísil和Sobotka（2016）引入的模型，可以推导出与推论5.4非常相似的分解。事实上，只有术语sr和u需要更改，而其他术语保持不变。5.2赫斯顿型SVJ模型的数值分析在本节中，我们比较了新获得的期权价格低于贝茨（1996）模型的近似公式（即对数正态跳跃大小与赫斯顿模型的瞬时方差），以及SVJ模型下欧洲期权定价的市场标准方法-基于Fouriertransform的定价公式。

进行比较时考虑到两个重要方面：50 100 150贝茨（1996）模型下的执行价格看涨期权价格Baustian et al（2017）公式近似公式50 100 150对数标度中的执行价格-7-6-5-4绝对误差图1：ρ=-0.2，ν=5%，τ=0.3。o忽略总误差项时公式的实用精度Ohm,o 公式的效率表示为特定定价任务所需的计算时间。特别是，我们使用一个带有一个数值积分的半封闭形式解作为参考价格（Baustian、Mrázek、Pospísil和Sobo tka 2017），以及Bates（1996）提出的经典解。根据Baustian、Mráz e k、Pospísil和Sobotka（2017），数值积分误差通常应远远超过10-因此，我们可以将数值计算的价格作为比较的参考价格。由于总误差项的理论性质Ohm, 我们说明了ρ和ν的几个值的近似质量，同时保持其他参数不变。在图1中，我们检查了两个布朗运动之间的即期方差ν的低波动性和瞬时相关性ρ的低绝对值模式。对应于τ=0.3的optionprice微笑的误差在10以内-4.-10-6范围，虽然在货币上获得了略好的绝对误差。理论上，增加ρ或波动率ν的绝对值都会恶化计算误差测量。然而，如果只增加其中一个值，我们仍然能够将误差保持在10以下-3在大多数情况下，见图2。最后但并非最不重要的是，我们说明了不适合近似的参数的近似质量。通过设置ν=50%，相关性ρ=-0.8和asmile，关于τ=3。

获得的误差如图3所示。尽管存在参数值，期权价格曲线的形状仍然与通过更精确的半封闭公式得到的曲线非常相似。拟议定价近似法的主要优势在于其计算效率，这对于许多需要快速评估衍生品价格的定量金融任务来说可能是有利的。为了检查时间消耗，我们设置了三个定价任务。我们使用了Theral（2006）中提到的轻微修改，以避免“赫斯顿陷阱”问题。考虑的模型和市场参数取以下值：S=100；r=0.001；τ = 0.3; v=0.25；κ = 1.5; θ = 0.2; λ = 0.05; uJ=-0.05; σJ=0.5.50 100 150贝茨（1996）modelBaustian et al（2017）formulaApproximation formula50 100 150履约价格-5-4-3对数标度绝对误差图2：ρ=-0.8，ν=5%，τ=0.3。一批100个不同行使和到期时间的看涨期权，涉及所有类型的期权。在第一项任务中，我们根据100个（统一）随机抽样参数集评估该批次的价格。这应该包括类似数量的价格评估，作为市场校准任务，具有非常好的初始猜测。此外，我们仅对1000和10000个参数集重复相同的度量，以分别模拟典型局部搜索校准和全局搜索校准的评估数量，有关校准任务的更多信息，请参阅Mikhailov和N"ogel（2003）以及Mrázek、Pospísil和Sobotka（2016）。表1列出了获得的计算时间。与使用数值积分的公式不同，所提出的近似方法对计算时间和评估价格的数量几乎具有线性依赖性。