跳扩散模型的分解公式

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英文标题：
《Decomposition formula for jump diffusion models》
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作者：
Raul Merino, Jan Posp\\\'i\\v{s}il, Tom\\\'a\\v{s} Sobotka and Josep Vives
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper we derive a generic decomposition of the option pricing formula for models with finite activity jumps in the underlying asset price process (SVJ models). This is an extension of the well-known result by Alos (2012) for Heston (1993) SV model. Moreover, explicit approximation formulas for option prices are introduced for a popular class of SVJ models - models utilizing a variance process postulated by Heston (1993). In particular, we inspect in detail the approximation formula for the Bates (1996) model with log-normal jump sizes and we provide a numerical comparison with the industry standard - Fourier transform pricing methodology. For this model, we also reformulate the approximation formula in terms of implied volatilities. The main advantages of the introduced pricing approximations are twofold. Firstly, we are able to significantly improve computation efficiency (while preserving reasonable approximation errors) and secondly, the formula can provide an intuition on the volatility smile behaviour under a specific SVJ model.
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中文摘要：
本文推导了标的资产价格过程中具有有限活动跳跃的模型（SVJ模型）的期权定价公式的一般分解。这是Alos（2012）对Heston（1993）SV模型的著名结果的扩展。此外，还为一类流行的SVJ模型引入了期权价格的显式近似公式，该模型利用了Heston（1993）假设的方差过程。特别是，我们详细检查了具有对数正态跳跃大小的Bates（1996）模型的近似公式，并与行业标准的傅立叶变换定价方法进行了数值比较。对于该模型，我们还根据隐含波动率重新推导了近似公式。引入的定价近似值的主要优点有两个。首先，我们能够显著提高计算效率（同时保留合理的近似误差），其次，该公式可以提供特定SVJ模型下波动率微笑行为的直觉。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：扩散模型 Differential volatilities Quantitative Applications

跳跃扩散模型Merino1,3的分解公式，Jan Pospísil*2、TomásSobotka和Josep VivesFacultat de Matemátiques i Informática，Gran Via 585，08007 Barcelona，西班牙，NTIS-信息社会新技术，西波希米亚大学应用科学学院，Univerzitní8，301 00 Plzeň，捷克共和国，VidaCaixa S.A.，投资风险管理部，C/Juan Gris，2-8，08014 Barcelona，Sp ain。收到日期：2018年3月2日修订日期：2018年9月28日接受日期：2018年10月1日摘要在本文中，我们推导了基础资产价格过程中有限活动跳跃模型（SVJ模型）的期权定价公式的一般分解。这是Alòs（2012）对Heston（1993）SV模型的著名结果的扩展。此外，针对一类流行的SVJ模型，引入了期权价格的显式近似公式，该模型利用了Heston（1993）假设的方差过程。特别是，weinspect详细介绍了具有对数正态跳跃大小的Bates（1996）模型的近似公式，并与行业标准的傅里叶变换定价方法进行了数值比较。对于该模型，我们还根据隐含波动率重新推导了近似公式。引入的定价近似值的主要优点有两个。首先，我们能够显著提高计算效率（同时保持合理的近似误差），其次，该公式可以提供特定SVJ模型下波动率微笑行为的直觉。关键词：期权定价；随机波动率模型；跳跃扩散模型；隐含的可用性SC分类：60G51；91G20；91G60JEL分类：G12；C58；C631简介Black-Scholes期权定价模型的主要问题是假设基础股票价格过程的波动率为常数。

在实践中，该模型被用作标记模型，以引用隐含波动率，而不是交易期权价格。与模型假设相反，在普通期权市场中观察到的隐含波动性并不明显——它们通常在货币性维度上呈现非零倾斜和凸形微笑状。为了正确捕捉隐含波动率曲面的形状，开发了各种随机波动率（SV）模型。这些模型假设，不仅现货价格是随机的，而且其波动性也是受驱动的*通讯作者，honik@kma.zcu.czPreprint发表在《国际理论与应用金融杂志》上的一篇文章。21，第8号（2018）1850052，DOI 10.1142/S0219024918500528c世界科学出版公司，www.worldscific.com/ijtafb，通过适当的随机过程。解决Black-Scholesmodel缺点的另一种方法是在股价过程中添加跳跃项。这导致了跳跃差异设置，这最初是由默顿（1976）研究的。在本文中，我们为一类流行的金融模型构建了一个期权价格近似框架，该模型利用了上述两种思想。因此，我们研究的主要对象是随机波动率跳跃扩散（SVJ）模型。第一个SVJ模型是toBates（1996）提出的，他将Heston（1993）假设的随机方差过程与Merton（1976）式的跳跃结合起来。股票价格的变化遵循CIR过程（Cox、Ingersoll和Ross，1985年），股票价格本身被认为是一种跳跃差异类型，具有对数正态跳跃大小。

特别是，该模型应改善短期到期期权的市场效应，而原始赫斯顿（1993）方法通常需要不切实际的高波动率方差参数，以合理地拟合短期微笑（拜耳、弗里兹和Gatheral 2016；Mrázek、Pospísil和Sobotka 2016）。具有非恒定利率的SVJ模型由byScott（1997）引入。其他几位作者研究了跳跃大小分布不同的DSVJ模型，例如Yan和Hanson（2006）利用对数均匀跳跃幅度。当然，可以通过在方差过程中添加跳跃来扩展SVJ模型（例如，Duffee、Pan和Singleton（2000）引入的模型）。然而，根据几项实证研究，这些模型往往超过市场价格，尽管比originalBates（1996）模型有更多参数，但它们可能无法提供更好的校准误差（参见Gatherel（2006））。改进s标准SV模型的另一种方法可能是引入依赖于时间的模型参数。Mikhailov和N"og el（2003）研究了具有时间相关参数的TheHeston（1993）模型的分段常数参数，Elices（2008）研究了线性相关性，Benhamou、Gobet和Miri（2010）引入了更一般的修正。这些方法涉及几个额外的参数，也可能会受到过度拟合的影响。此外，拜耳（Bayer）、弗里兹（Friz）和盖泽（Gather al）（2016）提到，这些模型并不完全符合可观察市场数据的特性——波动率表面的总体形状通常不会随时间变化，因此应使用时间均匀随机过程来确定期权价格。当然，与标准的Black-Scholes模型相比，在这些更复杂的模型下对衍生品进行估值是一项更为复杂的任务。

许多作者介绍了使用定价偏（积分）微分方程的各种转换技术的封闭式公式，举几个例子：赫斯顿（1993）、贝茨（1996）、斯科特（1997）、刘易斯（2000）、阿尔布雷彻（Albrecher）、梅耶（Mayer）、肖腾斯（Schoutens）和蒂斯塔（Tistaert）（2007）、鲍斯蒂安（Baustian）、亚泽克（Mrázek）、波西勒（Pospísil）和索博特卡（Sobotka）（2017）以及其他许多人。尽管交易形式定价方法通常是评估非路径依赖型衍生工具的有效工具，但它们不能提供对微笑行为的任何直觉。此外，使用这些方法的校准程序通常会导致非凸优化问题（参见Mrázek、Pospísil和Sobotka（2016））。其他作者考虑了赫尔和怀特（1987）率先提出的近似技术。在过去几年中，赫尔和怀特（19 87）定价公式是利用马利雅文演算技术重新发明的，因为公式中使用的未来平均波动率是一个不适应的随机过程。InAlòs（2006）、Alòs、León和Vives（2007）a ndAlòs、León、Pontier和Vives（2008）分析了一个没有规定挥发性过程的一般跳跃扩散模型。其中有一些扩展，例如通过假设Levy processesinJafari和Vives（2013），另请参见Vives调查（2016）。InAlòs（2012），提出了处理赫尔和怀特公式和赫斯顿模型的新方法。这种方法的主要思想是对未来的波动性进行适当的预测。该公式为赫斯顿模型下的微笑行为和术语结构提供了有价值的直觉。这不是一个纯粹的理论结果-它可以通过分析校准提供良好的初始猜测，或通过指定校准参数应位于的区域（如inAlòs，de Santiago，a and Vives（2015）所做的）来显著增强/改进校准过程。

在Merino和Vives（2015）中，Alòs（2 012）的思想被用来为任何满足基本可积条件的随机波动过程找到一个通用的分解公式。在本文中，我们应用了相同的思想集，并将其扩展到具有有限活动跳跃的SVJModel领域。这不仅有助于找到一种比转换定价方法更有效的定价方法（见第5节），而且作为一种副产品，我们为所研究的SVJ模型提供了类似的微笑行为直觉。特别是，我们首先找到普通看涨期权价格的一般分解公式，以及特定SVJ模型下价格和隐含波动率的近似值。为股票价格演化中最流行的具有复合泊松过程的SVJ模型之一Heston（1993）类型模型提供了明确的定价公式。为了评估新导出解的准确性和效率，我们对Bates（1996）模型（即对数正态跳跃大小）及其Fourier变换定价公式进行了数值比较，该公式由Baustian、Mrázek、Pospísil和Sobotka（2017）提出。本文的结构如下。在第2节中，我们给出了与SVJ模型相关的基本预备知识和符号。除非我们发现这样做有助于引导读者了解结果，否则该符号将在整篇论文中使用，不会在特定定理中重复。在第3节和第4节中，我们分别推导了SV和SVJ模型的分解公式，推广了Alòs（2012）获得的分解公式。新获得的decomposition非常通用，因为它不需要指定潜在的波动过程。第5节介绍了几种SVJ模型的具体近似公式，以及Bates（1996）模型的数值比较。

第6节介绍了隐含可用性方面的分解结果。第7节对结果进行了讨论，A.2序言和注释中给出了技术误差估计值S={St，t∈ [0，T]}在市场选择的风险中性概率下，是严格正的价格过程，遵循模型：dSt=rStdt+σtStρdWt+p1- ρdWt+ St公司-dZt，（1）其中Sis是当前价格，W和W是独立的布朗运动，r是利率，ρ∈ (-1，1）是两个布朗运动之间的相关性，Zt=ZtZR（ey- 1） ~N（ds，dy），其中N和~N分别表示泊松测度和补偿泊松测度。我们可以将N与复合泊松过程J相关联，与W和∧W无关，与强度λ相关联≥ 0和跳跃幅度由随机变量Yi给出，随机变量Y的独立副本由Q给出。回想一下，这种复合泊松过程可以写成jt：=ZtZRyN（ds，dy）=ntXi=1Yi，其中ntis aλ- 泊松过程。用k表示：=等式（eY- 1).在不损失任何通用性的情况下，在以下章节中，使用原木价格过程Xt=原木St，t作为基础过程将很方便∈ [0，T]，满足dxt=r- λk-σtdt+σtρdWt+p1- ρdWt+ dJt。（2） 我们还介绍了相应的连续过程dXt=r- λk-σtdt+σtρdWt+p1- ρdWt. （3） 波动率过程σ是一个平方可积过程，假设它适用于W和J生成的过滤，其轨迹被认为是a.s.平方可积、cádlág和严格正a。e备注2.1。注意，这是一个非常普遍的随机波动率模型。我们可以考虑以下特殊情况：o如果σ是常数，并且我们有有限的活动跳跃，我们有一个通用的跳跃扩散模型，例如默顿模型。

在σ=0的特殊情况下，我们有一个指数Tiallyévy模型如果我们假设没有跳跃，即λ=0，则我们有一个通用的随机波动率扩散模型。这就是美利奴和维维斯（2015）所处理的情况如果ρ=0，则我们可以推广不同的非相关随机波动率差异模型asHull和White（1987），Scott（1987），Stein和Stein（1991），orBall和Roma（1994）如果我们假设没有相关性，但存在jum ps，我们将涵盖例如Heston Koumodel（如seeGulisashvili and Vives（2012）），或任何不相关模型，以及价格过程中的有限活动跳跃最后，如果我们没有跳跃，σ是常数，我们就得到了经典的奥斯本-萨缪尔森-布莱克-斯科尔斯模型。本文将使用以下符号：o我们用FW、F和fn分别表示独立过程W、W和J生成的过滤比ns。此外，我们定义F：=FW∨FW∨ FN.o我们将用BS（t，x，y）表示经典Black-Scholes模型下普通欧洲看涨期权的价格，该模型具有恒定的波动率y，当前对数股价x，成熟时间τ=t- t、 罢工价格和利率。在这种情况下，BS（t，x，y）=exΦ（d+）- Ke公司-rτΦ（d-),其中Φ（·）表示标准正态律的累积分布函数，d±=x- ln K+（r±y）τy√τ.o 在我们的测试中，看涨期权价格由VT=e给出-rτEt[（外部- K） +]。o回想一下，从模型（3）的Feynman-Kac公式中，运算符lσ：=t+σtx个+r- λk-σtx个- r（4）满足度LσBS（t，~Xt，σt）=0。o我们定义了运算符∧：=x、 Γ：=x个- x个和Γ=Γo Γ.

特别是对于Black-Schole公式，我们得到：ΓBS（t，x，y）：=exy√2πτexp-d+（y）,∧ΓBS（t，x，y）：=exy√2πτexp-d+（y）1.-d+（y）y√τ,ΓBS（t，x，y）：=exy√2πτexp-d+（y）d+（y）-yd+（y）√τ - 1yτo我们将pn（λT）定义为强度为λT的泊松概率函数。一、 e.pn采用以下形式：pn（λT）：=e-λT（λT）nn！。3一般SV分解公式在本节中，根据Alòs（2012）的思想，参见Mer ino和Vives（2015），我们将分解公式扩展为一般随机波动率模型。我们记得，该公式是有效的，无需明确规定潜在的波动过程，这使我们能够获得非常灵活的分解公式。inAlòs（2012）证明的公式是Heston模型的特例。众所周知，如果随机波动过程独立于价格过程，那么普通欧洲看涨期权的定价公式为vt=Et[BS（t，St，\'σt）]，其中\'σ是所谓的平均未来方差，由\'σt：=t定义-tZTtσsds。自然，“σ”被称为平均未来波动率，seeFouque、Papanicolaou和Sircar（2000），第51页。inAlòs（2012）使用的想法包括使用平均未来方差vt的自适应预测：=Et（(R)σt）=t-tZTtEt[σs]d以获得vt在vt方面的分解。这种想法将与预期过程相关的预期问题∑t转换为与适应过程vt相关的非预期问题。我们定义=ztteσsds，（5）和hencedvt=T- t型dMt公司+及物动词- σtdt公司.回想一下，M是关于W和J生成的滤波的鞅。以下过程将在本节介绍的通用分解公式中发挥重要作用。

LetRt=Et“ZTtd[M，M]u#（6）and ut=ρEt”ZTtσud[W，M]u#，（7），其中[·，·]表示二次协变量过程。现在，我们证明了定理2.2 inAlòs（2012）的一般版本，这将对我们的问题有用。定理3.1（一般分解公式）。设bt是关于过滤Ft的连续半鞅，设a（t，x，y）是C1,2,2（[0，t]×[0，∞) ×[0, ∞)) 函数，并按上述定义vt、MTT。然后我们就可以得出e的期望值-rTA（T，~XT，vT）B按以下方式：Ehe-rTA（T，~XT，vT）BTi=A（0，~X，v）B+E“中兴通讯-俄罗斯yA（u，Xu，vu）但是-uvu公司- σudu#+E“中兴通讯-ruA（u，~ Xu，vu）dBu#+E“中兴通讯-俄罗斯x个- x个A（u、Xu、vu）Buσu- vu公司du#+E“中兴通讯-俄罗斯yA（u，~ Xu，vu）Bu（T- u） d[M，M]u#+ρE“中兴通讯-俄罗斯x、 yA（u，~ Xu，vu）BuσuT-ud[宽，米]u#+p1- ρE“中兴通讯-俄罗斯x、 yA（u，~ Xu，vu）BuσuT- ud[~W，M]u#+ρE“中兴通讯-俄罗斯xA（u，~Xu，vu）σud[W，B]u#+p1- ρE“中兴通讯-俄罗斯xA（u，~ Xu，vu）σud[~ W，B]u#+E“中兴通讯-俄罗斯yA（u，~ Xu，vu）T- ud【M，B】u#。证据将It^o公式应用于流程e-rtA（t，~Xt，vt）Bt我们获得：e-rTA（T，XT，vT）BT=A（0，X，v）B- rZTe-ruA（u，~ Xu，vu）Budu+中兴通讯-俄罗斯tA（u、Xu、vu）Budu+中兴通讯-俄罗斯xA（u、Xu、vu）BudXu+中兴通讯-俄罗斯yA（u，~ Xu，vu）Budvu+中兴通讯-ruA（u、Xu、vu）dBu+中兴通讯-俄罗斯xA（u，~Xu，vu）Bud[~X，~X]u+中兴通讯-俄罗斯yA（u，~ Xu，vu）Bud[v，v]u+中兴通讯-俄罗斯x、 yA（u，~ Xu，vu）Bud[~ x，v]u+中兴通讯-俄罗斯xA（u，~Xu，vu）d[~X，B]u+中兴通讯-俄罗斯yA（u，~Xu，vu）d[v，B]u。在下一步中，我们将费曼-卡茨算子与波动率vt一起应用，这是Mt的长期定义。