移动平均线交易规则的详细研究

目前，我们认为我们的算法能够捕获基于移动平均的总体策略中存在的主要数学特征。此外，我们的交易规则（2）通过构造呈现动态杠杆。也就是说，我们在资产和银行账户之间暗中转移资金。我们假设该银行账户支付或收到零利率，这意味着我们可以借款进行投资。实际上，我们可以限制高杠杆率，但本文中我们忽略了实现问题。请注意，由于银行账户不支付利息，因此在计算交易规则的SR时，我们不需要对其进行说明。2.2平稳随机变量的风险和回报2.2.1平稳随机变量平稳过程的严格定义是，所有随机变量的联合概率分布在时间偏移或平移下是不变的。等效地，概率密度仅取决于时间差，因为时间来源不相关【26，31】。然而，在本文中，我们使用弱感觉平稳定义。换句话说，ONE要求第一时刻和协方差不随时间变化。特别是，方差存在，协方差仅取决于时间差。我们认为，金融时间序列通常不是弱平稳的。这包括价格时间序列的许多常见转换，例如日志返回。大多数文献没有讨论非平稳数据的影响；然而，一些研究显示了可衡量的重要影响[68，57]。我们遵循[68、70、72]，并假设数据具有平稳周期的斑块或区域。一般来说，我们不假设周期性结构，然而，我们期望存在一些重复，以便有足够的数据来表现总体平均值。

此外，为了实际检测此类周期，我们将通过检测具有常数均值和常数方差的周期来简化问题。我们假设自相关函数表现良好，足以保持时间无关性。为了检测具有恒定平均值（漂移）的周期，我们使用了加性季节和趋势（BFAST）算法（73）。BFAST首先使用黄土回归将时间序列分解为季节趋势和不规则成分。此后，该算法使用[4]开发的方法执行循环，直到断点的数量和位置保持不变。直观地说，该算法通过拟合分段线性来确定趋势，其中断点（从一个线性到下一个线性的变化）同时被发现为线性。从实现的角度来看，我们在实证研究中使用了R包bfast。除了BFAST之外，还有其他几种算法[56、30、57、68、35]，但我们推迟了比较，以备将来研究。2.2.2风险与回报我们的交易规则（公式（2））的平均回报由hri=T给出- N+1text=Nmt-1（N）Xt（3），其中N是用于计算mt的回溯期-1（N），T是数据系列的总长度（例如总周数）。通过使用公式（2），可以重写公式（3）ashRi=T- N+1NTXt=Nt-1Xi=t-NXiXt（4）=T- N+1N“TXt=NXTT-N+TXt=NXtXt-N+1+····+TXt=NXtXt-1#=NNXi=1hXtXt-iiwhere<>表示平均值（有时用E[]表示）。最后一个等式只有在X的过程与乘积XTXT相同时才为真-τ的概率等于XT-1XT-1.-τ、 因此，它仅取决于τ。第2.2.1节指出，为了准确建模非平稳数据，我们需要知道不同的静态斑块如何相互关联，因为移动平均m（N）穿过不同的斑块。

由于这种复杂性，在处理非平稳数据之前，我们将理论分析限制在平稳面片上。对于平稳随机变量Xt，预期收益（公式（3））可以表示为自协方差的平均值，如下所示：hRi=NNXi=1hXtXt-ii=u+VNNXi=1ρ（t，t- i） （5）其中ρ是自相关函数，V是平稳随机过程X的方差和u平均值。注意，结果（式（5））与X的分布函数形式无关。式（2）中交易规则的方差V ar（R）由以下公式得出：V ar（R）=*XtNNXi=1Xt-我+-*XtNNXi=1Xt-i+。（6） 式（6）中的第一项与平方收益的自相关以及与平方收益的互相关（类似于杠杆效应）。第一个术语可以改写为：NNXi=1XtXt文本-我+NXi，j=1，i6=jXtXt文本-iXt公司-j. （7） 通过假设多元高斯分布，我们进一步简化了公式（6）。因此，相关性为线性相关，边缘分布为高斯分布。虽然经验财务数据不是用高斯分布来描述的，但我们将看到，根据第3.1节等式（12）获得的每周标准化收益率很好地近似于高斯分布。因此，我们可以使用多变量高斯分布的特征函数来计算交易规则的方差。执行正确的微分顺序，并确保收益的方差V和漂移u为常数，且自相关仅取决于时滞，我们的交易规则方差为：V ar（R）=NNV+NuV+NVu（8）+VNXi=1ρ（t，t- （一）+ VNXi，j=1，i6=jρ（t- i、 t型- j） +uVNXi=1ρ（t，t- i） +NXi，j=1，i6=jρ（t，t- j） +ρ（t- i、 t型-j） +ρ（t，t-（一）式中ρ（t，t-i） 是时间t和t的回报的相关系数-i。

计算详情见附录A。在下一节中，我们将推导公式（8）的有用渐近极限。2.3限制和解释与之前的研究相比【45、50、54、61】，我们不仅仅关注交易规则的回归。我们使用方差（8）来计算夏普比率（SR），这里通过平均回报率和标准偏差之间的比率（方差的平方根）来定义。一般表达式相当复杂，但两种极限情况足以帮助我们理解SR如何依赖于参数。在情况I中，所有自相关均为零：ρ（t，t-i） =0。这相当于说，日志返回是独立同分布（IID）高斯随机变量。夏普比（SR）由以下公式得出：SR=uqVu+VN+uVN----→N→∞|u|√五、 （9）其中N→ ∞ 是长（或短）和保持的极限，因为m（N）收敛到u。有趣的是，当N→ ∞. 在这种情况下，最佳夏普比率实际上是给定过程的期望值：均值高于标准差。任何其他N给出的结果都更差。因此，正如预期的那样，如果给定的过程是iid，则通常通过从平均回报中去除利率来确定夏普比率。然而，请注意，我们假设利率为零。还值得注意的是，夏普比（SR）是信息比（IR）的特例。IR根据通常可能是风险投资组合的基准衡量绩效。然而，就本研究而言，我们的基准是现金。因此，对于我们来说，SR等于IR。平均m（N）提供了一种估算u的方法。图1给出了情况I中SR作为N函数的表示。在情况II中，我们假设u=0。因此，所有性能都来自自相关。

SR由r=PNi=1ρ（t，t）给出- i） qN+（PNi=1ρ（t，t- i） ）+（PNi，j=1，i6=jρ（t- j、 t型- i） ）（10）其中，SR的确切形状，作为N的函数，取决于ρ作为N的函数变化的方式。实际上，Pni=1ρ（t，t）的可能性很小- i） 增长速度足以控制√分母中的N项。更令人惊讶的是，EQ。（10） 不取决于方差V，换句话说，对于非常大或非常小的V，交易规则的SR是相同的。该表达式也具有实际用途，因为可以计算给定相关值的SR。例如，forN=2周，ρ（t，t- 1） =0.05和ρ（t，t- 2） =0.02，SR≈ 每周0.0422。0.20.40.60.81.00 10 20 30NSRCase ICase ICase图1：增加红线：SR作为案例I（ρ=0，等式（9））的回溯滞后N的函数，归一化为最大值1。蓝线递减：使用假设过程中的模拟数据生成的情况II的归一化SR（u=0，公式（10）），对于滞后1到滞后5，ρ6=0。为了说明案例II，我们研究了移动平均过程（M a，即类型x（t）=a（t） +a（t-1) +..., 我~ N（0，σ）），自相关系数ρ6=0，从滞后1到滞后5。案例II的一般形状如图1所示（案例II，蓝线）。我们之所以选择显示任意MA过程，是因为它是ARMA家族中唯一一个分子中ρ项在1之前增长足够快的过程/√N接管。这将在图形中创建驼峰。驼峰位于MA过程具有不同于零的自相关的位置，驼峰的大小取决于自相关的强度。总之，情况I（红线）随着N值的增加而增加，而情况II（蓝线）最初增加，然后缓慢减少（1）。很明显，如果我们有一个纯案例II，那么可能会有一个最优N，超过这个N，我们的风险调整绩效会更差。

因此，除非选择最佳N，否则使用交易规则（2）通常是不利的。对于案例I和案例II，SR对N的依赖性有所不同：第一种情况在大N的限制下增长，第二种情况下降。通常，经验数据将SR作为案例I和案例II的混合体，这表明，随着N的增加，交易规则（2）将从案例II主导的表现过渡到案例I主导的表现。大N表明案例I是有针对性的：移动平均估计漂移。请记住，如果自动相关性之和恰好为正（负），则案例I会因案例II的贡献而上移（下移）。最后，我们提醒读者，我们在这里的讨论假设一个固定的过程。这显然不是实际情况。我们假设存在数据近似平稳的斑块或周期。接下来，在处理非平稳数据之前，我们将通过大致查找这些固定补丁来查看数据。2.4计算机模拟数据分析计算机模拟方法允许跟踪复杂系统的演化，调查聚合行为并寻找紧急现象。这种方法已在许多领域得到了广泛应用，尤其是在金融市场研究中，其中模拟的时间序列可能会显示出真实金融市场的主要经验特性，即所谓的类型化事实[18]。文献中探讨了几个框架，例如，少数群体博弈模型[15，20]，托卡斯蒂克多代理模型[55]和Arch/Garch模型[23]。也可以使用自回归滑动平均过程（ARMA）来模拟平稳或非平稳时间序列【59】。这种过程结合了当前观察和过去事件的两种依赖性。

换句话说，当前观测值取决于其滞后观测值zt的水平-p（p阶自回归过程，用ar（p）表示），也取决于当前随机变量的观测值TA以及之前发生的冲击t型-q、 （q阶移动平均过程，用MA（q）表示）。表示阿尔玛（p，q）的数学表达式为：zt=φ+φzt-1+φzt-2+ ... + φpzt-p+t+θt型-1+ θt型-2+ ... + θqt型-q（11）式中，φ和θ为常数，冲击为正态分布，即：。， ~ N（0，σ).不难获得非平稳时间序列，其最初可能是由于平均值的趋势或方差的不稳定性或两者兼而有之。例如，具有时间相关系数的ARMA模型可能很容易显示非平稳性。一般来说，ARMA模型不能保证生成平稳的时间序列。因此，可以使用一些统计测试来检查平稳性，如增强Dickey-Fuller测试[67]，KPSS测试[47]或Leybourne-McCabe平稳测试[51]。在本节中，我们使用模拟的平稳arma（p，q）对数回归来验证前一节中开发的理论计算。虽然我们将在以下章节中根据实际数据测试我们的理论结果，但在此我们希望研究公式（8）和公式（3）确定的夏普比与高斯噪声下模拟ARMA（p，q）平稳对数返回的夏普比的一致性。我们按照以下方式进行计算实验。首先，我们确定ARMA参数，并生成一个真实财务数据波动率相似且规模等于2000点（天）的样本。然后，我们使用增广Dickey-Fuller、KPSS和Leybourne-McCabe测试检查平稳性。如果确定了平稳性，我们将使用相同的参数集生成200个时间序列。

所有统计数据都是通过考虑所有实现来计算的。在图2中，我们在上面板中显示了一个静态ARMA（2,2）的单一实现（为了简单起见，我们只描述了1000个点）。在图2的下面板中，我们将SR的平均值显示为N的函数，这是将策略等式（2）应用于每个ARMA（2,2）模拟时间序列的结果。误差条是通过使用夏普比率在所有时间序列上的标准偏差（标准误差，此处定义为标准偏差除以实现数的平方根）获得的。实线是使用公式（3）和公式（8）的平方根对夏普比进行的理论预测。我们对ARMA（p，q）模型的不同参数重复了实验，我们发现理论数据和模拟数据都很好地一致。3实证分析我们使用1896年5月至2015年7月的道琼斯工业平均指数（DJIA）进行实证分析。每日道琼斯工业平均指数值可从美联储经济数据（FRED）网页下载。我们将dailyindex值转换为周索引值，并计算每周日志返回。我们选择使用每周数据，因为我们获得的数据至少是传统月度数据的四倍，同时也大大减少了日常数据中的任何市场微观结构问题。我们用道琼斯工业平均指数（DJIA index）进行了这项研究，但我们也研究了其他几个美国和国际指数。由于大多数指数的数据与道琼斯工业平均指数不同，我们选择了基于道琼斯工业平均指数的结果。

附录C显示了我们应用于其他指数的主要结果（SR作为N的函数），结果几乎相同。数据下载使用R[64]中的“quantmod”库。0 100 200 300 500 600 700 800 900 1000天0.090.060.030.000.030.060.09Log-return0 2 4 6 10 12 14 16 18 20N0.60.40.20.00.20.40.6SR图2：在上面板中：使用以下参数从ARMA（2,2）模拟的日志返回时间序列：φ=0.9，φ=0.95，φ=-0.6，θ=1.4，θ=0.5和方差σ= 0.3（波动率约为每年0.55或每天0.035）。在下面板中：使用相同的时间序列ARMA（2,2）模拟数据的夏普比。模拟的SR平均超过200个实现（实心圆），误差条表示一个标准误差。连续线是使用公式（3）和公式（8）的平方根预测的夏普比率。即使使用每周数据，大多数先前的研究也至少有一个月的保持期【45】。与之相反，我们每周重新平衡头寸（持有期为一周），从而最大限度地提高数据利用率。我们使用软件进行分析。与本文相关的简单示例代码可以在[71]中找到。在附录D中，我们使用每月数据和一个月的持有期以及持有期为一天的每日数据来应用我们的方法。无论选择的数据/交易频率如何，主要结果都成立。周指数水平/价格不是唯一定义的。有五个不同的周回报数据集：周一至周日、周二至周二至周五。我们对所有五个定义进行分析。此外，在计算周回报率时，我们确保过滤掉大于一周（七天）的时间间隔，也就是说，我们从数据中删除了特殊情况（如1914年第一次世界大战导致的股市交易暂停）和节假日。

综上所述，我们的实证工作是在五个不同的时间序列上进行的，但在本节中呈现结果时，我们对所有这些序列进行了平均。-10-505101900 1920 1940 1960 1980 2000 2020Log-回来-10-505100.0 0.1 0.2 0.3-10-5051900 1920 1940 1960 1980 2000 2020Log-返回/体积-10-5050.0 0.1 0.2 0.3图3:log returns[顶部两张图]和使用（12）[底部两张图]的归一化log returns的时间序列（左）和相应的概率分布函数（PDF）[右，黑色实线]。为了使日志返回（顶部）显示可比较的y轴，我们通过整个历史的样本内平均绝对日志返回对返回进行了归一化。因此，回报的值非常大（很容易接近1）。请注意，normalizedlog回报显示出更稳定的波动性，因此PDF（黑色实线）更接近高斯（红色实线）。第2节中的模型使用对数回报（等式1），然而，投资者根据线性回报（Si/Si）进行支付-1.-1).因此，如果分析想要有实际的应用，就需要ln（Si/Si-1) ≈ Si/Si-1.- 1、我们已经证实，道琼斯工业平均指数的周回报率确实如此。此外，线性和对数回报的等价性是短期回报期的常见假设，但如果盲目使用，可能会导致问题[58]。为了实现上述算法（公式（2）），我们首先减少波动率聚类的影响。我们将收益除以过去p个周期的平均绝对收益（公式（12））。这种转变避免了前瞻性偏见，并创建了一种可以实际实施的战略。Xt=ln（St/St-1） Ppi=1 | ln（St-输入/输出-1.-i） /p |（12）我们对样本内/平稳和样本外/非平稳数据分析都应用了这种归一化。