延迟和流动性风险

另一方面，当对LOB的冲击为正（z>0）时，该成本为正，在这种情况下，订单已完成（因为δ≥ z） 在比代理目标更低的价格下，价格恶化为z。最后，当对LOB的冲击为零（z=0）或交易遗漏时，成本为零。过程Dδ=（Dδt）t∈t指定受控未命中次数，dδt=ZtZRG（δs- z） p（dz，ds），（4），其中G（x）=1-^G（x）。回想一下，MLO针对的是一个证券单位或很多证券，这些证券在整个交易期内的规模都是固定的。在后一种情况下，邮件的数量在很多安全性中。2.3. 性能标准agent的性能标准是J（δ）=ECδT+αDδT+γDδT, （5） 其中α和≥ 0和γ≥ 0是未完成交易总数的惩罚参数，可接受的策略集是：=δ=（δt）t∈Tδ是F- 可预测和E支持∈T（δT）< ∞. （6） 代理希望找到控制δ*∈ A最小化性能标准（5），即代理解决问题δ*= argminδ∈AJ（δ）。注意J（δ）<∞ 因为G≤ 1和（1）保持不变。我们选择参数α、γ的单位，以便性能标准的单位与成本C的单位相同。在性能标准中，遗漏交易的罚款不是财务成本。在所有其他条件相同的情况下，惩罚参数值的增加会使策略post Orders具有更高的执行LOB的自由裁量权。在其中一个惩罚参数任意大的极端情况下，最佳策略是酌情发布订单，以尽可能深入地执行LOB，以完成交易，即具有无限酌情权的MLO是市场订单。2.4. 变分分析方法我们利用变分分析技术来获得最优的自由裁量策略。

为了表示，我们写下j（δ）=JC（δ）+αJLP（δ）+γJQP（δ），（7），其中JC（δ）=ECδT, JLP（δ）=EDδT, 和JQP（δ）=EhDδTi、 接下来，注意jc（δ）=EZTZRz^G（δt- z） p（dz，ds）= EZTZRz^G（δt- z） φt（dz）dAt, （8） 下一个命题提供了JLP（δ）和JQP（δ）的表达式。提案1。以下方程式适用于jlp（δ）=EZTZRG（δt- z） p（dz，dt）, （9） JQP（δ）=EZTZR公司2 Dδt-G（δt- z） +G（δt- z）p（dz，dt）. （10） 证明。方程（9）源自被积函数的可预测性。接下来，我们展示（10）。未完成交易的数量Dδt满足SDEdDδt=ZRG（δt- z） p（dz，dt）。设h（x）=x，并使用积分公式（见Jeanblanc et al.（2009））写入h（Dδt）=ZRh类Dδt-+ G（δt- z）- h类Dδt-p（dz，dt）。然后，dDδt=锆2 Dδt-G（δt- z） +G（δt- z）p（dz，dt）=ZR2 Dδt-G（δt- z） +G（δt- z）p（dz，dt），其中第二个等式成立，因为G=G。从0积分到T，取期望值，并且因为被积函数2 DδT-G（δt- z） +G（δt- z） 是可以预测的，奥巴丹DδT= EZTZR公司2 Dδt-G（δt- z） +G（δt- z）p（dz，dt）= EZTZR公司2 Dδt-G（δt- z） +G（δt- z）p（dz，dt）.2.4.1. 最优自由裁量权走大路我们采用G^ateaux导数来获得使代理的性能标准最小化的延迟最优策略。设w，δ∈ A、 J在δ处沿w方向的方向导数由hd J（δ）给出，wi=lim→0[J（δ+ w）- J（δ）]，（11）当极限存在时。现在，让Abe表示A的对偶空间∈ A对于所有w，确保hD J（δ），wi=A（w）∈ A、 然后Ais将J在δ处的G^ateaux导数称为。在本文中，方向导数是A的对偶的元素，因此我们将方向导数称为G^ateauxderivatives。注意，证明A是R.引理1上的线性空间并不重要。

δ处的G^ateaux导数∈ 沿w方向的A∈ A其中：（A）成本函数JCishD JC（δ），wi=EZTwtφt（δt）δtdAt;（b） 线性惩罚函数JLPishD JLP（δ），wi=-EZTwtφt（δt）dAt;（c） 二次罚函数JQPishD JQP（δ），wi=-2 EZTwtφt（δt）Et-ZTtZRG（δs- z） p（dz，ds）dAt公司- 2 EZTwtφt（δt）Dδt-dAt公司- EZTwtφt（δt）dAt.证据见附录A。下一个定理提供了代理性能标准的G^ateaux导数，并提供了执行LOB的最佳自由裁量权的特征。定理1。δ处泛函J的G^ateaux导数∈ 沿w方向的A∈ A ishD J（δ），wi=EZTwtφt（δt）δt- 2γDδt-- γ - α - 2γEt-ZTtZRG（δs- z） p（dz，ds）dAt公司,在各个方向消失∈ A当且仅当存在过程δ时*∈ A使得δ*t=2γEt-hDδ*Ti+γ+α，（12）几乎在T×中无处不在Ohm.证据根据引理1和性能准则（7），J的G^ateaux导数在δ处消失*t=2γEt-ZTtZRG（δ*s- z） p（dz，ds）+ 2 γDδ*t型-++ α=2γEt-ZTtZRG（δ*s- z） p（dz，ds）+ 2 γDδ*t型-++ α=2γEt-hDδ*T- Dδ*t型-i+2γDδ*t型-++ α=2γEt-hDδ*Ti+γ+α。（13） 现在我们证明，如果δ处的G^ateaux导数在每个方向w上消失，则控制δ满足（13）。我们自相矛盾地前进。假设存在^δ∈ A使得hD J（^δ），wi=0表示所有w∈ 有（T，O）∈ B（T）×ftl（T）P（O）>0，使得^δT（ω）6=δ*t（ω）表示t∈ T、 和ω∈ O、 其中L（T）表示T的勒贝格度量∈ B（T），B（T）是T的Borel-sigma代数。因此，在T×O上我们有^δT（ω）- 2γEt-hD^δTi（ω）- γ - α 6= 0 .因此，wt=^δt- 2γEt-[D^δT]- γ - α是可预测的，E[supt∈T（wt）]<∞. 此外，w方向上的g^ateaux导数满足不等式hD J（^δ），wi>0，这是一个矛盾。

因此，不存在（T，O）∈ B（T）×F，L（T）P（O）>0，使得^δT（ω）6=δ*t（ω）表示t∈ T和ω∈ O、 如果二次惩罚参数γ的值为零，则（12）中的候选最优控制具有简单的闭式表达式δ*t=α，（14），与错过交易的数量无关。因此，当γ=0时，代理发送所有具有自由裁量权的MLOα来遍历LOB。3、FBSDE的存在性和唯一性据我们所知，（12）中的FBSDE是一类新的随机测度驱动的FBSDE，现有文献中没有唯一性或存在性结果。所以，在这一节中，我们证明了FBSDE解的存在性和唯一性。关于亚半鞅环境下的FBSDE，请参见Antonelli（1993）。关于布朗运动中的完全耦合FBSDE，请参见Peng和Wu（1999）。有关FBSDEs中布朗运动和泊松过程的说明，请参见Zhen（1999）。Jianming（2000）、Confortola和Fuhrman（2013）、Confortola等人（2016）和Bandini（2016）研究了BSDE和MPP的框架。关于因算法交易问题导致随机博弈中G^ateaux导数消失而产生的FBSDE的研究，请参见Casgrain和Jaimungal（2018b）以及Casgrain和Jaimungal（2018a）。为了简化本节中的结果，我们从一个引理开始，该引理有助于证明FBSDE（12）解的存在性和唯一性。引理2。LetC：=U=（Ut）t∈TU是F- 调整（&E）支持∈T（Ut）< ∞.空间（A，k·k∞), （A，k·k），（C，k·k∞), 和（C，k·k）是Banach空间，其中kδk∞= E支持∈T |δT|kδk=EZT |δt | dt.证据我们证明了集合A的结果–集合C的证明是相似的。在范数为k·k的有限过程空间中，可预测过程类是封闭的∞（分别为k·k），我们用L表示∞（分别）。然后是空间（A，k·k∞) （resp.（A，k·k））是L的线性闭子空间∞（分别为。

五十） ，这是一个Banach空间和（a，k·k∞) （分别为A，k·k））也是一个Banach空间。推论1。空间C×C，normk（U，V）kC×C=kUkC+kV kC，其中kUkC=EZT | Us | ds和（U，V）∈ C×C是一个Banach空间。通过变量的变化￠δt=δ*t+2γDδ*t、 我们得到了FBSDEδt=2γEt的解-hDδTi+γ+α，（15）Dδt=ZtZRG（δs- z） p（dz，ds），Dδ=0，带δ∈ A和D∈ C、 存在且唯一，当且仅当FBSDE的解δt=2γEthDδt- D？δti+γ+α，（16）D？δt=ZtZRG（？δs-+ 2γDδs-- z） p（dz，ds），D|δ=0，带|δ，D|δ∈ C、 存在且唯一。我们将（16）写成△t=2γEtZTtZRG（￠δs-+ 2γDδs-- z） p（dz，ds）+ γ+α，（17）D￠δt=ZtZRG（￠δs-+ 2γDδs-- z） p（dz，ds），D|Δ=0。为了分析FBSDE（17）的解，我们研究了函数Υ（U，V）t的固定点=H（U，V）tI（U，V））t=2γEthRTtRRG（美国-+ 2γVs-- z） p（dz，ds）i+γ+αRtRRG（Us-+ 2γVs-- z） p（dz，ds）！，（18） 为了完备性，证明了：（i）FBSDE的后向部分解的存在唯一性；（ii）FBSDE的前部；以及（iii）完整的FBSDE–这一结果独立于FBSDE的后向和前向部分的存在。以下定理显示了FBSDE（17）后向部分解的存在性和唯一性。定理2。修复V∈ C、 设累积分布函数Φ为Lipschitz和constantk，设|λ为假设1中随机强度λ的上界。函数ψ：C→ C由ψ（U）t=2γEt给出ZTtZRG（美国-+ 2γVs-- z） p（dz，ds）+ γ+α，V∈ C，有一个独特的固定点。证据我们按照杜菲和爱泼斯坦（1992）的命题A1进行。定义Z=支持∈T | Xt- 对于C中的任何X和Y，Yt |和Zt=Et【Z】。设ψ（1）=ψ，ψ（n）=ψ（ψ（n-1)).

然后|ψ（X）t- ψ（Y）t |=2γEt公司ZTt（Φ（Ys-+ 2γVs-) - Φ（Xs-+ 2γVs-)) λsds≤ 2γk EtZTt | Xs-- Ys公司-| λsds≤ 2γk′λ（T- t） Et[Z]。使用Fubini定理编写条件期望ψ（2）（X）t- ψ（2）（Y）t≤ 2γk′λEtZTt |ψ（Xs）- ψ（Ys）| ds≤ 2γk′λEtZTt2γk'λ（T- s） Es[Z]ds≤2γk′λEt公司ZTt（T- s） Es[Z]ds≤2γk′λ（T- t） 2个！Et【Z】，在n次迭代后ψ（n）（X）t- ψ（n）（Y）t≤2γk′λn（T）- t） nn！Et[Z]。最后，E支持∈Tψ（n）（X）t- ψ（n）（Y）t≤2γk′λTnn！E支持∈TEt[Z]≤ 4.2γk′λTnn！E支持∈T | Xt- 年初至今|.因此，对于n非常大的函数，函数ψ（n）是具有上确界范数（C，k·k）的Banach空间C中的压缩映射∞). 因此，存在唯一的过程U∈ 例如ψ（n）（U）=U，因为ψ（n）（ψ（U））=ψψ（n）（（U））= ψ（U）并且通过固定点的唯一性，我们得到了ψ（U）=U，这证明了ψ的固定点的存在。ψ的这个固定点的唯一性源于ψ（n）中固定点的唯一性，从而得出了定理。下一个定理证明了FBSDE（17）前部分解的存在性和唯一性。定理3。修复U∈ C、 设分布函数Φ为常数k的Lipschitz，设|λ为假设1中随机强度λ的上界。函数Θ：C→ C由Θ（V）t=ZtZRG（Us）给出-+ 2γVs-- z） p（dz，ds），U∈ C、 有一个独特的固定点。证据首先我们证明了Θ是从C到C的泛函∈ C、 根据定义，对函数Θ（V）进行了调整，因为G≤ 1我们有支持∈T |Θ（V）T|≤ E[p（[0，T]，R）]<∞ .因此，Θ（V）∈ C

接下来，表示Θn=Θ（Θn-1） Θ=Θ（0），定义hn：[0，T]→ R ashn（t）=Esup0≤s≤t型Θ（n+1）s- Θ（n）s.我们发现hn（t）的上界如下：hn（t）=Esup0≤s≤t型Θ（n+1）s- Θ（n）s= Esup0≤s≤t型ZsZR公司GUu公司-+ 2γΘ（n）u-- z- GUu公司-+ 2γΘ（n-1） u型-- zp（dz，du）≤ EZtZR公司GUu公司-+ 2γΘ（n）u-- z- GUu公司-+ 2γΘ（n-1） u型-- zp（dz，du）= EZt公司ΦUu公司-+ 2γΘ（n）u-- ΦUu公司-+ 2γΘ（n-1） u型-λtdt≤ 2γk′λEZt公司Θ（n）u-- Θ（n-1） u型-dt公司≤ 2γk′λZthn（s）ds。在难以区分的意义上是独一无二的。上述不等式，以及h（T）=M<∞, 暗示0≤ hn（T）≤M2γk′λnTnn！，并使用马尔可夫不等式得到界：P支持∈TΘ（n+1）t- Θ（n）t≥ 2.-n≤M2γk′λnTn2 nn！n→∞---→ 根据Borel-Cantelli参数，有 Ohm 对于所有ω∈ O功能t→ Θ（n）t（w）以概率1在C的上确界范数中形成一个Cauchy序列。因此 ω ∈ O有一个函数Θ*t（ω），使得Θ（n）t（ω）一致收敛于*t（ω）在t中。此外，存在Θ的自适应修改*在里面Ohm.因此，过程Θ*是Θ定义的映射的固定点，因此满足FBSDE的前部分。最后，下一个定理证明了FBSDE（17）解的存在唯一性。定理4。设累积分布函数Φ为Lipchitz，参数为k，使得k T'λ（max{1，2γ}）<1，其中'λ是假设1中随机强度λ的上界。FBSDE存在唯一的解决方案￠δt=2γEtZTtZRG（￠δs-+ 2γDδs-- z） p（dz，ds）+ γ+α，（19a）D￠δt=ZtZRG（￠δs-+ 2γDδs-- z） p（dz，ds），D|Δ=0。（19b）证明。考虑函数Υ：C×C→ （18）中定义的C×C。

根据推论1，当配备normkΥ（U，V）kC×C=kH（U，V）kC+kI（U，V）kC时，C×C是banach空间，其中kUkC=EZT | Us | ds.设（U，V）和（X，Y）为C×C，写Υ（U，V）- Υ（X，Y）kC×C=EZT | H（U，V）t- H（X，Y）t | dt+ EZT | I（U，V）t- I（X，Y）t | dt. （20） （20）右侧的第一项满足边界ZT | H（U，V）t- H（X，Y）t | dt≤ EZT2γEtZTt |Φ（美国-+ 2γVs-) - Φ（Xs-+ 2γYs-)| dAs公司dt公司≤ 2 kγ′λ中兴通讯ZTt |美国-+ 2γVs-- Xs型-- 2γYs-| ds公司dt。（20）右侧的第二项满足边界ZT | I（U，V）t- I（X，Y）t | dt≤中兴通讯ZtZR | G（美国-+ 2γVs-- z）- G（Xs-+ 2γYs-- z） | p（dz，ds）dt=中兴通讯Zt |Φ（美国-+ 2γVs-) - Φ（Xs-+ 2γYs-) | λsdsdt公司≤ 中兴通讯k'λZt |美国-+ 2γVs-- Xs型-- 2γYs-| ds公司dt。现在，设k=k'λmax{2γ，1}和k=kmax{2γ，1}，和writekΥ（U，V）- Υ（X，Y）kC×C≤ 中兴通讯ZT |美国-+ 2γVs-- Xs型-- 2γYs-| ds公司dt公司≤ kT EZT | Ut-+ 2γVt-- Xt公司-- 2γYt-| dt公司≤ kT EZT | Ut-- Xt公司-| dt公司+ kT EZT | Vt-- 年初至今-| dt公司< k（U，V）- （X，Y）kC×C。因此，Υ是Banach空间C×C中的压缩映射（见推论1），因此存在唯一的过程对U*和V*使得Υ（U*, 五、*) = （U）*, 五、*).总之，我们已经证明（12）中的候选最优控制是存在的并且是唯一的。最后，很容易看到δ*∈ A、 根据定义，控制δ*是可预测的。快速计算显示“sup0≤t型≤T（δ*t）#≤ E“sup0≤t型≤T（Et[NT]）#=E“sup0≤t型≤TNt+ZTtλsds#≤ 2 ENT公司+ 2 T'λ<∞ .因此，控制δ*满足（12）是A.4的一个要素。在这一节中，我们证明了自由度δ*满足（12）是agent性能准则J（δ）的全局极小值。我们通过几个步骤来证明这一点。首先，定理5表明控制δ*是J（δ）的局部最小值。然后，在证明了两个辅助引理之后，定理6表明δ*是性能标准的全局最小值。定理5。

控制δ*满足（12）是代理的性能标准j（δ）的局部最小值。证据回想一下，G^ateaux导数hD J（δ*), wi在每个方向消失w∈ A、 第二个G^ateaux导数δ∈ 方向ν，w上的A∈ A ishDJ（δ），w，νi=EZTwtνtφt（δt）δt- 2γEt-hDδTi- γ - αdAt公司（21a）+EZTwtφt（δt）νt+2γEt-ZTφs（δs）νsdAsdAt公司. （21b）该G^ateaux导数在δ=δ时为非负*因为（21a）右侧的表达式在δ=δ时为零*（21b）中的表达式对于每个ν，w都是非负的∈ A、 因此，δ*是本地最小值。引理3。Letδ∈ A和J（δ）=y<∞. 设？λ<∞ 是假设1中随机强度λ的界，且设'N<∞ 限制交易尝试的次数。假设函数rt（x）=Zx-∞zφt（dz）是x中的Lipschitz，在[0，t]×上一致Ohm, 给定Lipschitz常数k > 0，定义η=（▄k+4▄N k）▄λT+2▄λk T-1> 0，（22）那么，对于所有w∈ A使得kδ- 工作时间：∞< η、 我们有| y- J（w）|<.证据考虑w∈ A s.t.kδ- 工作时间：∞< η. 回想一下，J=JC+αJLP+γjqp，并观察| J（δ）- J（w）|≤JC（δ）- JC（w）+ αJLP（δ）- JLP（w）+ γJQP（δ）- JQP（w）.接下来，我们将每一项约束在不等式的右侧。

首先，JC（δ）- JC（w）=EZTZRz公司^G（δt- z）-^G（重量- z）φt（dz）λtdt≤k EZT |δt- wt | dAt≤k'λT E支持∈T |δT- wt公司|.其次JLP（δ）- JLP（w）≤ EZT |Φ（δt）- Φ（wt）| dAt≤\'λk T E支持∈T |δT- wt公司|.最后JQP（δ）- JQP（w）≤ Aδ，w+k EZT |δt- wt | dAt≤ Aδ，w+k'λT E支持∈T |δT- wt公司|, （23）有关第二个G^ateaux导数的详细信息，请参见附录C。式中δ，w：=EZTZR公司2克（δt- z） Dδt-- 2克（重量- z） 载重吨-φt（dz）dAt.接下来，我们将第一项约束在不等式（23）的右侧：Aδ，w≤EZTZR2 G（δt- z）Dδt-- 载重吨-φt（dz）dAt+EZTZR2载重吨-（G（δt- z）- G（重量- z） ）φt（dz）dAt≤ 2'λEZT公司Dδt-- 载重吨-dt公司+ 2’N k’λEZT |δt- wt | dt≤ 2“λE”ZTZt公司-ZRG（δs- z）- G（ws）- z） p（dz，ds）dt#+2'N k T'λE支持∈T |δT- wt公司|≤ 2'λkZTE“Zt-|δs- ws |λtds#dt+2'N k T'λE支持∈T |δT- wt公司|≤ 2'λk TE支持∈T |δT- wt公司|+ 2“N k T”λE支持∈T |δT- wt公司|= （2'λk T+2'N k T'λ）E支持∈T |δT- wt公司|.因此JQP（δ）- JQP（w）≤\'\'λk T+2\'\'N k T\'\'λ+k T\'\'λE支持∈T |δT- wt公司|,自kδ以来- 工作时间：∞≤ η、 我们有| J（δ）- J（w）|≤JC（δ）- JC（w）+ αJLP（δ）- JLP（w）+ γJQP（δ）- JQP（w）≤k'λT+αk'λT+2γ'λk T+kγT'λ+2γ'N k T'λE支持∈T |δT- wt公司|≤\'\'z k T'λ+2'λk T+4 k T'λη=<  ,其中，最后一个等式来自（22）中η的选择，证明是完整的。在证明本节的主要结果之前，我们先证明以下辅助引理，即我们的候选控制是性能准则J（δ）的全局最小值。引理4。如果函数J（δ）具有全局最小值^δ∈ A、 thenhD J（^δ），wi≥ 0 , w∈ A.（24）证明。证据是矛盾的。假设有^w∈ A使得hdj（δ），wi=η<0。设置 = |^η/2 |>0，因为^η=lim→0J（^δ+ ^w）- J（^δ）, （25）存在ρ>0，如果|| < ρ、 那么J（^δ+ ^w）- J（^δ）- ^η< |^η/2| .