延迟和流动性风险

（26）现在，fix^ 使0<^ < ρ、 thenJ（^δ+^） ^w）- J（^δ）^< |^η/2| + ^η = ^η/2 < 0 . （27）因此，J（^δ+^） ^w）<^η+J（δ）<J（δ），（28），因为δ，w∈ A、 控制^δ+^ ^w在集合A中，通过（28），我们得到了不等式j（^δ+^） ^w）<J（^δ），这与^δ是全局极小值相矛盾。定理6。全局最优。如果J的全局最小值为^δ∈ A、 则^δ=δ*a、 e.在T×中Ohm,带δ*求解（12）。证据证据是矛盾的。假设全局最小^δ∈ A、 但^δ=δ不是真的*a、 e.在T×中Ohm, 带δ*求解（12），即存在（T，O）∈ B（T）×ftl，L（T）P（O）>0，使得δ6=δ*关于T×O.首先，由引理4hD J（^δ），wi≥ 0 , w∈ A，（29），因为^δ6=δ*在T×O上，存在^w∈ A使得hD J（^δ），^wi>0。现在，取w=- ^w∈ A、 thenhD J（^δ），~wi=EZTwtφt（δt）^δt- 2γEt-hD^δTi- α - γdAt公司= -EZT^wtφt（^δt）^δt- 2γEt-hD^δTi- α - γdAt公司= -hD J（^δ），^wi<0，这与引理4相矛盾。因此，如果在^δ处存在全局最小值∈ A、 则^δ=δ*a、 e.国际Ohm.5、战略绩效（12）中的预期取决于信息Ft-, 因此，过程δ*是次鞅。在这里，我们研究了（12）中FBSDE的微小变化，并导出了最优控制的部分积分微分方程。为此，确定最佳控制δ*∈ A并定义过程（ˇδt）t∈T、 式中：ˇδT=2γEthDδ*Ti+γ+α。观察δ*在（12）中，是c\'adl\'ag（RCLL）过程的c\'agl\'ad（LCRL）版本ˋδ，和δ*t=ˇδt-.确定遗漏交易的动态Dδ*作为过程ˋδ的函数：Dˋδt=ZtZRG（ˋδs-- z） p（dz，ds）+ZtZRG（ˇδs-- z） q（dz，ds），回想一下q=p- p是N的补偿随机测量值。假设2。

随机强度（λt）t∈Thas the Markov性质，此外，过程λ和Dˇδ之间的二次方差为零。通过假设2，我们推导出了ˋδ的马尔可夫性质，我们用它来写ˋδt=h（t，Dˋδt，λt），关于第一个参数的可微函数h。然后过程Dˇδ由Dˇδt=ZtZRG（h（s，Dˇδs-, λt）- z） p（dz，ds）+ZtZRG（h（s，Dˇδs-, λt）- z） q（dz，ds），因为ˋδ是鞅，函数h是PIDE的解，我们在下面的定理中描述了它。定理7。设ˋδt=h（t，Dˋδt，λt）。在假设1和2下，函数h满足PIDE0=th（t，D，λ）+Lλth（t，D，λ）+Z∞h（t，D，λ）λφt（z）dz！（h（t，D+1，λ）- h（t，D，λ）），（30），带边界和终端条件slimd→∞h（t，D，λ）=∞ h（T，D，λ）=2γD+γ+α。这里，Lλth（t，D，λ）是作用于函数h证明的到达强度过程λ的最小生成器。将It^o公式应用于ˋδt=h（t，Dˋδt，λt），注意漂移项（即dt项）消失，因为ˋδ是鞅。该问题解的存在性和唯一性遵循比较原理。具体而言，我们有0=th（t，D，λ）+Lλth（t，D，λ）+Z∞h（t，D，λ）λtφt（z）dz！（h（t，D+1，λ）- h（t，D，λ））≤ th（t，D，λ）+Lλth（t，D，λ）+Z∞-∞λtφt（z）dz（h（t，D+1，λ）- h（t，D，λ））=th（t，D，λ）+Lλth（t，D，λ）+λt（h（t，D+1，λ）- h（t，D，λ））≤ th（t，D，λ）+Lλth（t，D，λ）+λ（h（t，D+1，λ）- h（t，D，λ））。我们使用t中h的连续性来写δ*t=h（t，Dˇδt-, λt-), 参见h in（30）的表征以计算δ*t=ˇδt-.0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.511.522.5图1：左面板：最优策略δ*作为时间和错过交易次数的函数，γ=0.01（底面）、γ=0.03（中面）和γ=0.1（顶面）。其余参数为：λ=100、α=0和Zn~ N（0.2，1）每N。

右面板：针对各种错过交易价值的最优策略；蓝色曲线表示福特=4，绿色曲线表示D=8，红色曲线表示D=12.5.1。泊松到达交易我们在（30）中对PIDE进行数值求解，以说明延迟优化策略的性能。假设代理根据强度λ=100的齐次泊松过程发送MLO，线性惩罚参数为α=0，二次惩罚参数γ取{0.01、0.03、0.1}的值，标记（对LOB的价格和数量冲击）为iid正态Zn~ N（0.2，1），N=1，2，交易期限为T=1。图1显示了自由度δ*作为未完成交易数量的函数。左面板显示了三个曲面，二次惩罚参数γ的每个值对应一个曲面。缺失交易的二次惩罚参数值越高，策略中采用的最优离散度越高。当MissedTrade的数量为Dδ时，右侧面板显示最佳判断*∈ {4，8，12}，二次惩罚参数为γ∈ {0.01, 0.03, 0.1}. 蓝色表示γ=0.01的情况，绿色表示γ=0.03，红色表示γ=0.1。实线表示Dδ*= 4，虚线表示Dδ*= 8，虚线表示Dδ*= 我们对代理人的交易活动进行了10000次模拟，图2显示了三个样本路径。顶部面板显示了代理商订单的最佳自由裁量权，以及从账面上查看和获得价格改进所累积的成本。底部面板显示错过交易的次数和尝试交易的次数。

显然，随着MissedTrade数量的增加（减少），最佳策略是增加（减少）LOS在执行LOB时的自由裁量权。0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.911.11.21.31.41.60 0.2 0.4 0.6 0.8 1-50510150 0.2 0.4 0.6 0.8 102468100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 102040680100图2：最佳离散度δ的样本路径*（左上面板），未完成交易数Dδ*（左下面板），策略成本Cδ*（右上面板），以及MPP三次模拟的交易尝试次数N（右下面板）。参数：α=0，γ=0.07，λ=100，T=1。图3报告了三个二次惩罚参数γ值的最优策略的各种成本度量。顶部面板显示了融资策略产生的成本直方图，即Cδ*T、 以及从LOB到FILL交易的平均成本，即Cδ*T/（NT）- Dδ*T） 。回想一下，当交易在价格改善（恶化）的情况下进行时，成本为负（正）。该图显示，随着二次惩罚参数值的增加：（i）从账面到实际交易的平均成本增加，总成本增加，平均未命中次数减少，见下表；（ii）执行LOB的成本增加，因为该策略完成了更多订单（即错过的交易更少），请参见左下角的面板。右下角的面板显示，当遗漏交易的罚款增加时，遗漏交易与交易尝试的平均比率降低-40-20 0 2005001000150020002500-0.6-0.4-0.2 0.2 0.405001000150020000 10 20 30 40 50010002000400050000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.501000200030040005000图3：左上面板：成本Cδ直方图*Tof战略。右上面板：额外成本完成交易的柱状图Cδ*T/（NT）- Dδ*T） 。左下面板：未命中数Dδ的直方图*T

右下面板：未命中百分比Dδ直方图*T/NT。较高的融资比率与照本宣科的成本之间的权衡显而易见。寻求非常高的融资比率，即（NT）的高价值的代理-Dδ*T） /NT，在性能标准中使用非常高的惩罚参数值。其他代理商可能更愿意在其整体交易策略中以价格改善换取价格恶化。例如，在我们讨论的10000个模拟中，当γ≈ 0.0693完成交易的平均成本，Cδ*T/（NT）- Dδ*T） ，是零，是未完成交易的平均值，Dδ*T/NTis 0.1048。最后，流动性接受者采用的一种幼稚策略是，让多边组织无需斟酌就可以进入LOB，见Cartea和S’anchez Betancourt（2018）。这里，对于发送所有MLO而没有决定权走LOB的代理，未命中交易与尝试次数的预期比率以及策略的预期成本是E【DT/NT】=0.5797，E【CT】=-分别为29.25。预期成本为负值，因为该策略不会因照本宣科而产生成本，但可能会得到价格改善。5.1.1. 最佳与固定自由裁量权行走LOB我们将α=0和γ>0的策略的结果与固定自由裁量权延迟最佳策略（即α>0和γ=0）的结果进行比较。

回想一下，当γ=0时，最佳策略与未命中的数量无关，因此代理发送所有MLO时都有决定权δ*= α、 见（14）。图4中的顶部面板显示了错过交易次数少于交易尝试次数的10%的概率，即P[Dδ*T<0.1 NT]，以及策略的预期成本，即[Cδ*T] ，当代理以固定的自由裁量权发送订单以执行LOB时，即γ=0和α∈ [0, 2.5].类似地，底部面板显示了错过交易的次数少于交易尝试次数的10%的概率，即P[Dδ*T<0.1 NT]和策略的预期成本，即[Cδ*T] 对于γ∈ [0.02，0.16]和α=0。每张图片中的橙色圆圈显示了最低的预期终端成本E[Cδ*T] 其中P[Dδ*T<0.1 NT]≥ 0.95. α=1.91的固定离散延迟优化策略的预期终端成本约为9.52，γ=0.127的延迟优化策略的预期成本约为5.93。此外，γ=0和α=1.9125（顶部面板中的橙色圆圈点）时的预期未命中数为EDδ*T= 6.39，当α=0和γ=0.1220（底部面板中的橙色圆圈点）时，我们得到EDδ*T= 5.41.因此，预计错失概率不会超过10%的高概率交易的代理可能更喜欢γ>0且α=0的延迟最优策略，而不是在整个交易窗口内以固定的自由裁量权发送SMLOS的策略。0 0.5 1 1.5 2 2.500.20.40.60.810 0.5 1 1.5 2 2.5-30-20-10010200.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.1600.20.40.60.810.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-15-10-50510图4：顶板显示P（Dδ*T<0.1 NT）和E[Cδ*T] 当γ=0时，对于α∈ [0，2.5]，回想一下δ*= α当γ=0时，参见（14）。同样，底部面板显示P（Dδ*T<0.1 NT）和E[Cδ*T] 当α=0和γ时∈ [0.02, 0.16].

在所有图片中，当P（DT<0.1 NT）时，橙色圆圈表示E[CT]的最低值≥ 0.99. 其他模型参数：λ=100、α=0和Z~ N（0.2，1）适用于所有行业。5.2. 固定到达率在本节中，我们假设代理MLO的到达强度为λ？t=M- 新界-T- t+, （31）其中M>0是正整数， > 0表示交易尝试次数。强度λ？以|λ=M为界/, 这是我们在上面推导的延迟优化策略中需要的条件，如果 = 0，强度保证NT=M，见Conforti（2016）和Hoyle（2010）。现在，使用δ的马尔可夫性质*写入δ*= h（t，Dt-, 新界-), 其中函数h满足PIDE0=th（t，D，N）+Z∞h（t，D，N）M- NT公司- t+φt（z）dz！（h（t，D+1，N+1）- h（t，D，N））+Zh（t，D，N）-∞M- NT公司- t+φt（z）dz！（h（t，D，N+1）- h（t，D，N）），其中h（t，D，M）=2γD+γ+α，h（t，D，N）=2γD+γ+α。图5显示了针对各种未完成交易值和目标交易数M=100的LOB的最佳判断。解释类似于图1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.511.522.50 0.2 0.4 0.6 0.8 100.511.522.50 0.2 0.4 0.6 0.8 100.511.522.5图5：最优策略δ*对于γ的各种值、未命中次数和尝试次数。从左到右，惩罚参数为γ=0.01、γ=0.03和γ=0.1。虚线Nt=30，实线Nt=60，点划线Nt=90。蓝线Dδ*t=4，绿线Dδ*t=8，红线Dδ*t=12。其余参数为：M=100，α=0， = 0.1，Z~ N（0.2，1）。我们使用与上述相同的参数执行10000次模拟，并使用（31）中的MLO到达率 = 0.1.

图6和图7分别报告了与图2和图3的解释相似的结果。0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.811.21.41.61.80 0.2 0.4 0.6 0.8 1-50510150 0.2 0.4 0.6 0.8 102468100 0.2 0.4 0.6 0.8 102040680100图6：最佳离散度δ的样本路径*（左上面板），未完成交易数Dδ*（左下面板），策略成本Cδ*（右上面板），以及MPP三次模拟的交易尝试次数N（右下面板）。参数：α=0，γ=0.07， = 0.1，M=100，T=1-40-20 0 2005001000150020002500-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4050010001500200025000 10 20 30 40 500100020004000500060000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50100020004000500060000图7：左上面板：成本Cδ直方图*Tof战略。右上面板：额外成本完成交易的柱状图Cδ*T/（NT）- Dδ*T） 。左下面板：未命中数Dδ的直方图*T、 右下面板：未命中百分比Dδ直方图*T/NT。结论除了少数例外，有关算法交易的文献假设市场中的延迟为零。这是不准确的，延迟对流动性制定和采取策略的有效性的影响在经济上是显著的。在本文中，我们提出了一个模型，以改进流动性接受者发送的订单的枪法，因为延迟，限制订单账簿是一个移动目标。我们展示了当市场存在延迟时，流动性接受者如何选择可销售订单的价格限制。最佳策略在一个交易周期内，平衡账簿浏览成本和错过交易数量之间的权衡。我们将延迟的影响建模为一个标记点过程，该过程捕获了流动性接受指令和账面上的限额指令之间的相互作用。

我们将市场订单的最优价格限制描述为FBSDE的一个解，据我们所知，这是一个新的解，由于现有文献没有唯一性和存在性结果，我们证明了这两个结果。此处制定的策略可以作为任何流动性策略（尤其是遵循随机交易时间表的策略）的另一层来实施，该策略错误地假设零延迟。我们的框架也可以应用于其他环境。在最一般的形式中，我们解决了一个问题，在这个问题中，代理决定她愿意支付多少钱来吸收随机冲击以实现目标或完成任务。例如，具有“最后一眼”的外汇市场的做市商可以使用本文开发的框架。“最后一眼”功能允许流动性做市商拒绝交易，因此他们不会被更快的流动性交易者选中，见Oomen（2017）和Cartea et al.（2018）。具体地说，在我们的框架下，外汇市场制造商可以获得最佳的容忍度，最大限度地增加她愿意提供的市场订单数量，同时最大限度地减少在LOB中窃听陈旧报价的快速交易员的损失。参考文献Almgren，R.（2012）。具有随机流动性和波动性的最优交易。暹罗金融数学杂志，3（1）：163–181。Antonelli，F.（1993年）。倒向-正向随机微分方程。应用概率年鉴，3（3）：777–793。Bandini，E.（2016）。跳跃过程最优控制HJB方程的概率表示，BSDE和相关随机演算。博士论文。Barger，W.和Lorig，M.（2019年）。随机价格影响下的最优清算。《国际理论和应用金融杂志》，22（02）：1850059。Cartea，A.，Jaimungal，S.，和Walton，J.（2018）。最后一眼外汇市场。

数学与金融经济学（即将出版）。Cartea，'A.和S'anchez Betancourt，L.（2018年）。延迟的影子价格：提高外汇市场的日内融资比率。SSRN 3190961提供。Casgrain，P.和Jaimungal，S.（2018a）。具有不同算法交易信念的平均场游戏。arXiv预印本arXiv:1810.06101。Casgrain，P.和Jaimungal，S.（2018b）。具有算法交易部分信息的平均场博弈。arXiv预印本arXiv:1803.04094。Cohen，S.N.和Elliott，R.J.（2015）。随机微积分与应用，第2卷。斯普林格。Conforti，G.（2016）。马尔可夫计数过程的桥梁：定量估计。电子通信不可能性，21。Confortola，F.和Fuhrman，M.（2013年）。反向随机微分方程与标记点过程的最优控制。《暹罗控制与优化杂志》，51（5）：3592–3623。Confortola，F.、Fuhrman，M.和Jacod，J.（2016）。标记点过程驱动的倒向随机微分方程：一种应用于最优控制的基本方法。《应用概率年鉴》，26（3）：1743–1773。杜菲，D.和爱泼斯坦，L.G.（1992）。随机微分效用。计量经济学：计量经济学协会杂志，第353-394页。Gao，X.和Wang，Y.（2018）。电子做市和延迟。arXiv预印本arXiv:1806.05849。古恩特，O.（2016）。《市场流动性的金融数学：从最佳执行到做市》，第33卷。CRC出版社。Hoyle，E.（2010年）。基于信息的金融和保险模型。博士论文。Jeanblanc，M.、Yor，M.和Chesney，M.（2009年）。金融市场的数学方法。施普林格科学与商业媒体。建明，X.（2000）。具有随机测度的倒向随机微分方程。应用数学学报，16（3）：225–234。Lehalle，C.-A.和Laruelle，S.（2013）。实践中的市场微观结构。