最优投资组合权重和特征的抽样分布

然后，在定理4.2和4.3的条件下，它认为（a）√n-p（L^wg；c- Lwg）d→ Nk（0，Ohm五十、 g、c）用于p/n→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 具有Ohm五十、 g、c=1.-cs+c+s+csg（λ）g（λ）s+VGMVLQL>（4.17）+s（（1-c） VGMVs（s+c）g（λ）+g（λ）（s+c）s-g（λ）s2(1 -c） c（s+c）+4（1-c） （s+c）“s+csg（λ）g（λ）（s+c）s-g（λ）s+ sg（λ）（s+c）s-g（λ）s#+VGMV（1-c） sg（λ）+VGMVsg（λ）+2（1-c） （s+c）sg（λ）-g（λ）s）ηη>；（b）√n-p^hg，1，c- hg，1（λ）。。。^hg，q，c- hg，q（λ）→ 零件号的Nq（0，Ξh，c）→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 用Ξh，c=（Ξh，c；ij）i，j=1，。。。，qwhereΞh，c；ij=VGMV（1+s）hg，i；1（λ）hg，j；1（λ）+2VGMVhg，i；2（λ）hg，j；2(λ)+2s+4s+2chg，i；3（λ）hg，j；3(λ) .因为两者Ohm五十、 g、candΞh、cdepend on unobserveable quantity，we have to estimated themestical under the high-dimensional渐近机制，when confidence region for the optimal portfolio weights and for the optimal portfolio characteristics，be derivered the optimal dimensional渐近机制下，我们。VGMV、RGMV、θ、s和η的一致估计量在（4.10）-（4.14）中给出。类似地，Lql>=L的一致估计量Σ-1.-Σ-1>Σ-1>Σ-1.五十> =L∑-1L>-构造了VGMVθ>。首先，用它们的一致估计量^VGMV代替VGMVandθ；其次，我们使用l>i∑的一致估计量-1LJ具有确定性向量，且满足假设（A1），由（1）给出- 零件号）l>i∑-1lj（c.f.，Bodnar等人【16，引理5.3】）。因此，LQL>始终由（1）估计- p/n）L^QL>和（1.5）中给出的^Q，因此，VGMV、RGMV、θ、s、η和LQL>及其在（4.17）和（4.18）中的一致估计量，我们得到了Ohm五十、 g、C、COhm五十、 g、cand^Ξh、c。

例如，欧盟投资组合估计权重的协方差矩阵的一致估计量如下所示：^Ohm五十、 欧盟，c=1.-cn^sc+cn+（^sc+cn）γ-1.γ-1+^VGMV；c(1 -cn）L^QL>（4.18）+γ-2(2(1 -cn）cn（sc+cn）+4（1）- cn）cn^sc（^sc+2cn）（^sc+cn）+2（1-cn）cn（^sc+cn）^sc- ^sc）^ηc^η>c，其中cn=p/n。建议的一致估计量Ohm五十、 g，candΞh，用于推导（1- β） 总体最优投资组合权重的渐近置信区间及其特征。在k个最优投资组合权重的线性组合的情况下，wgwe getCL，g；1.-β=nω：（n- p） （L^wg；c）- Lwg）>^Ohm-1L、g、c（L^wg；c- Lwg）≤ χk；1.-βo，（4.19）式中χk；1.-β表示（1- β） k自由度χ分布的分位数。最后，利用区间估计和检验理论（c.f.，Aitchison[2]）之间的对偶性，可以导出最优投资组合权重的k线性组合与预选向量r相等的检验。也就是说，只要r不属于置信区间CL，g，就必须拒绝无效假设HLwg=r，而在显著性水平β上支持替代假设HLwg=r；1.-β如（4.19）所示。在最优投资组合特征的情况下也得到了类似的结果。5有限样本性能和稳健性分析本节通过广泛的蒙特卡罗研究，研究了估计最优投资组合权重抽样分布的衍生高维渐近近似的有限样本性能。此外，我们还研究了已知的渐近分布对违反正态性假设的鲁棒性。

模拟研究中将考虑以下两种模拟场景：场景1多元正态分布：资产收益率样本x，x。。。，xnare独立于Np生成（u，∑）；情景2多元t分布：资产收益率样本x，x。。。，xnare由多变量t分布独立生成，自由度d=10，位置参数u，尺度矩阵xD-2d∑。这种尺度矩阵的选择确保XI的协方差矩阵为∑。情景1对应于本文理论结果推导中使用的假设，而情景2则违反了这一假设，允许资产收益率分布出现重尾。在这两种情况下，u的成分均由U生成(-0.2, 0.2).协方差矩阵∑的特征值是固定的，其中20%等于0.2，40%等于1，40%等于5，而其特征向量是通过Haardistribution模拟的。此外，我们将n=1000和c∈ {0.5, 0.9}. 模拟研究的结果以五个数量^VGMV、^θGMV、^RGMV、^s和^η以及γ=20且L=（1，0，0，…，0）的欧盟投资组合第一权重的估值器为例进行说明。图1：^VGMV、^θGMV、^RGMV、^s、^η和L^weuin的标准化量的QQ图，与它们的高维渐近分布进行比较。从Scenario1生成的数据，c=0.5。在图1至图4中，显示了六个估计量的QQ图，其中，从定理4.1和4.2中给出的高维渐近近似中获得的理论量与通过使用图2获得的精确量进行比较：标准化量^VGMV、^θGMV、^RGMV、^s、^η的QQ图，和L^weuin将其与高维渐近分布进行比较。

从Scenario1生成的数据，c=0.9。定理2.1和3.1的随机表示，其中每个估计量的有限样本分布通过使用B=5000个独立样本来近似表示，即B=1时的^V（B）GMV、^θ（B）GMV、^R（B）GMV、^s（B）、^η（B）和L^w（B）eu。。。，B、 为此，我们注意到，REMS 2.1和3.1的应用提供了一种有效的方法来生成样本^V（B）GMV、^θ（B）GMV、^R（B）GMV、^s（B）、^η（B）和L^w（B）EU，这也避免了逆样本协方差矩阵的计算，这可能是大维度中定义不良的对象，尤其是当c=0.9时。在图1和图2中，我们显示了场景1后多元正态分布情况下的QQ图。我们在图中观察到，高维渐近分布为中等浓度比OC=0.5及其大值c=0.9提供了良好的近似值。当c=0.9时，在近似^s分布的情况下，近似值似乎是最差的，因为尾部变得比近似值能够解释的要重得多。在图3和图4中，我们可以看到SAM的高维渐近近似图3：^VGMV、^θGMV、^RGMV、^s、^η和L^weuin的标准化量的QQ图与其高维渐近分布进行比较。从Scenario2生成的数据，c=0.5。当收益被假设为多元t分布时，^VGMV、^θGMV、^RGMV、^s、^η和L^weuwu的pling分布效果良好。仅在^s和^VGMVwhen c=0.9的情况下，才存在与渐近正态性的小偏差。此外，当c=0.5时，这两个量存在一个小的正偏差，这可以通过高维协方差矩阵逆估计中重尾的影响来解释。

另一方面，渐近方差似乎很接近定理4.1和4.2的结果。尽管违反了分布假设，所有其他量都表现出良好的性能。当资产范围变大时，我们还观察到与场景1中的^s相同类型的偏态。本文推导了一大类最优投资组合权重估计量的精确抽样分布及其估计特征。结果如图4所示：将^VGMV、^θGMV、^RGMV、^s、^η和L^weuin的标准量的QQ图与其高维渐近分布进行比较。从Scenario2生成的数据，c=0.9。随机表示提供了一种简单的方法来评估估计的最优投资组合权重的抽样分布。导出的随机表示法的另一个重要应用是，它展示了如何高效地生成来自相应（联合）采样分布的样本，从而排除每次模拟运行中样本协方差矩阵的反转。此外，导出的随机模拟大大简化了高维渐近区域下估计量的渐近性质的研究。通过广泛的模拟研究，研究了获得的精确采样分布的渐近近似的有限样本性能，其中还研究了偏离模型假设的情况。虽然从正态分布模拟数据集时观察到了非常好的性能，但当违反正态性假设时，在渐近均值和渐近方差中存在一些偏差。尽管如此，在后一种情况下，正常近似值似乎也提供了很好的拟合。

评估估计的最优投资组合权重及其特征的渐近均值和渐近（协）方差中的偏差是一个重要的挑战，将在下一篇论文中讨论。7附录本节给出了理论结果的证明。在引理7.1中，我们推导了（VGMV，θ>，RGMV，s，η>）在（VGMV，θ>，RGMV，s，η>）条件下的条件分布，即（VGMV，θ>，RGMV，s，η>）的分布。引理7.1。