最优投资组合权重和特征的抽样分布

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英文标题：
《Sampling Distributions of Optimal Portfolio Weights and Characteristics
  in Low and Large Dimensions》
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作者：
Taras Bodnar, Holger Dette, Nestor Parolya and Erik Thors\\\'en
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Optimal portfolio selection problems are determined by the (unknown) parameters of the data generating process. If an investor want to realise the position suggested by the optimal portfolios he/she needs to estimate the unknown parameters and to account the parameter uncertainty into the decision process. Most often, the parameters of interest are the population mean vector and the population covariance matrix of the asset return distribution. In this paper we characterise the exact sampling distribution of the estimated optimal portfolio weights and their characteristics by deriving their sampling distribution which is present in terms of a stochastic representation. This approach possesses several advantages, like (i) it determines the sampling distribution of the estimated optimal portfolio weights by expressions which could be used to draw samples from this distribution efficiently; (ii) the application of the derived stochastic representation provides an easy way to obtain the asymptotic approximation of the sampling distribution. The later property is used to show that the high-dimensional asymptotic distribution of optimal portfolio weights is a multivariate normal and to determine its parameters. Moreover, a consistent estimator of optimal portfolio weights and their characteristics is derived under the high-dimensional settings. Via an extensive simulation study, we investigate the finite-sample performance of the derived asymptotic approximation and study its robustness to the violation of the model assumptions used in the derivation of the theoretical results.
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中文摘要：
最优投资组合选择问题由数据生成过程的（未知）参数决定。如果投资者想要实现最优投资组合所建议的头寸，他/她需要估计未知参数，并在决策过程中考虑参数的不确定性。通常，相关参数是资产回报分布的总体平均向量和总体协方差矩阵。在本文中，我们通过导出估计最优投资组合权重的抽样分布（以随机表示形式表示），来描述其精确抽样分布及其特征。该方法具有以下优点：（i）通过表达式确定估计的最优投资组合权重的抽样分布，可以有效地从该分布中抽取样本；（ii）导出的随机表示的应用提供了一种获得采样分布渐近近似值的简单方法。后一个性质用于证明最优投资组合权重的高维渐近分布是多元正态分布，并确定其参数。此外，在高维环境下，得到了最优投资组合权重及其特征的一致估计。通过广泛的模拟研究，我们研究了导出的渐近近似的有限样本性能，并研究了其对违反理论结果推导中使用的模型假设的鲁棒性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Sampling_Distributions_of_Optimal_Portfolio_Weights_and_Characteristics_in_Low_a.pdf (1.48 MB)

2022-6-25 07:41:07 上传

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关键词：投资组合 distribution Quantitative Presentation Applications

低维和大维最优投资组合权重和特征的抽样分布斯塔拉斯·博德纳拉（Bodnara）、霍尔格·德特布（Holger Detteb）、内斯特·帕罗利（Nestor Parolyacand）和埃里克·托尔斯（Erik Thors）数学系，斯德哥尔摩斯德哥尔摩斯德哥尔摩大学（Stockholm University），瑞典数学系，波鸿鲁尔大学（Ruhr University Bochum），D-44870波鸿，德国德尔夫特应用数学研究所，德尔夫特理工大学（Delft），荷兰的最佳投资组合选择问题由数据生成过程的（未知）参数决定。如果投资者想要实现最优投资组合所建议的头寸，他/她需要估计未知参数，并在决策过程中考虑参数的不确定性。通常，相关参数是资产收益分布的总体平均向量和总体协方差矩阵。在本文中，我们通过导出估计的最优投资组合权重的抽样分布来描述其精确抽样分布及其特征，该分布以随机表示形式呈现。这种方法有几个优点，比如（i）它通过表达式确定估计的临时投资组合权重的抽样分布，可以有效地从该分布中提取样本；（ii）导出的随机表示的应用提供了一种获得采样分布渐近近似值的简单方法。利用后一个性质证明了最优投资组合权重的高维渐近分布是多元正态分布，并确定了其参数。此外，在高维环境下，给出了最优投资组合权重的一致估计及其特征。

通过广泛的模拟研究，我们研究了导出的渐近近似的有限样本性能，并研究了其对违反理论结果推导中使用的模型假设的鲁棒性。关键词：抽样分布；最优投资组合；参数不确定性；随机表示；高维渐近1简介最优投资组合问题的解由数据生成过程的参数决定。在许多情况下，最优投资组合权重及其特征，如投资组合均值、投资组合方差、风险价值（VaR）、条件VaR（CVaR）等，可以仅使用资产收益分布的均值向量和协方差矩阵来计算。更准确地说，这些关系由以下五个量总结：VGMV=>∑-1，wGMV=∑-1>Σ-1，RGMV=u>∑-1>Σ-1，s=u>Qu，v=Qu>Qu，（1.1），其中u=E（x）和∑=v ar（x）是p维资产回报向量x和Q=∑的平均向量和协方差矩阵-1.-Σ-1>Σ-1>Σ-（1.2）（1.1）中的五个数量具有有趣的财务解释。p维向量WGMV是全局最小方差（GMV）投资组合的权重，即方差最小的投资组合的权重，而RGMV和VGM则是GMV投资组合的预期收益和方差。数量s是有效前沿的斜率参数，即按照马科维茨方法的所有最优投资组合的集合。该参数与rgmv和vgmvf一起完全确定了有效前沿的位置和形状，即均值-方差空间中的抛物线。最后，p维向量v是所谓自我融资投资组合的权重（参见Korkie和Turtle[43]），即。

其权重之和等于0，即1>v=0。（1.1）中的五个数量决定了许多最优投资组合的结构，如GMV投资组合、均值方差（MV）投资组合、预期最大指数效用（EU）投资组合、相切（T）投资组合、最大化夏普收益率（SR）的最优投资组合、最小VaR（MVaR）投资组合和最小CVaR（MCVaR）投资组合、最大回报值（MVoR）投资组合，最大条件回报值（MCVoR）投资组合（参见，例如，马科维茨[45]、英格索尔[37]、约布森和科尔基[40]、亚历山大和巴普蒂斯塔[3]、亚历山大和巴普蒂斯塔[4]、奥克林和施密德[49]、坎和周[42]、弗拉姆和梅梅尔[31]、博德纳尔等人[21]、阿德科克[1]、伍德盖特和西格尔[57]、博德纳尔等人[17]、博德纳尔等人[11]、西曼等人[54]、博德纳尔等人[16]，Bodnar等人[9]）。另一方面，数量（1.1）不能直接用于计算这些投资组合的权重和特征，因为u和∑在实践中都是不可观察的参数。因此，投资者通过将（1.1）中的u和∑替换为^u=nnXi=1xind∑=n给出的相应样本估计量来确定最佳投资组合-1nXi=1（xi-（xi）-^u）>（1.3）给定一个资产回报样本x，x。。。，xn。这种方法得到最优投资组合的样本或所谓的插件估计量，其基于（1.1）的相应样本估计量，表示为^VGMV=>^∑-1，^wGMV=^∑-1>^Σ-1，^RGMV=^u>^∑-1>^Σ-1，^s=^u>^Q^u，^v=^Q^u>^Q^u，（1.4）带^Q=^∑-1.-^Σ-1>^Σ-1>^Σ-1.（1.5）以及最优投资组合权重的样本（插件）估计器。最近，投资组合分配中的抽样分布概念受到了广泛关注。

投资者和研究人员认识到，使用历史数据引入的不确定性需要整合到最优投资组合决策过程中，并得到适当的评估。平均方差投资组合的抽样分布由earlyas Jobson和Korkie【40】、Britten Jones【22】、Okhrin和Schmid【49】进行研究，其中，估计最优投资组合权重的分布是在假设从多元正态分布中获取资产回报的独立样本的情况下得出的。此外，Jobson【39】、Bodnar和Schmid【19】、Kanand Smith【41】和Bodnar和Schmid【20】等人获得了估计有效前沿（全均值方差最优投资组合集）的共有和有限样本分布，而Siegel和Woodgate【53】和Bodnar和Bodnar【7】提出了其改进的估计量，并对其存在性进行了检验。其中一些结果后来在Frahm和Memmel【31】、Glombeck【33】、Bodnar等人【17】、Bodnar等人【16】中扩展到高维环境。（1.3）中给出的样本平均向量和样本协方差矩阵已在之前的研究中广泛使用（见Britten Jones【22】、Memmel和Kempf【47】、Okhrinand Schmid【50】），用于估计资产回报向量及其协方差矩阵。当投资组合维数远小于样本量时，这些估计量似乎是一致的，并且涉及它们的估计最优投资组合具有理想的渐近性质。然而，当构建高维投资组合时，它们不能再使用，因为当投资组合维度与样本大小相当时，它们的纯性能。

其中一个问题在于，数量（1.4）取决于逆协方差矩阵，而样本逆协方差矩阵在高维环境中不是一致的估计量（参见Bodnar等人【10】）。为了应对这些限制，文献中考虑了许多改进的估计量（参见Efron和Morris【29】、Jagannathan和Ma【38】、Golosnoy和Okhrin【34】、Frahm和Memmel【31】、DeMiguelet等人【27】、Rubio等人【52】、Yao等人【58】）。通过推导（1.4）中估计的五个数量的联合抽样分布，我们对现有文献做出了贡献，该分布仅决定了最优投资组合的结构。然后，利用这些结果建立一种统一的方法来描述估计权重的抽样分布以及最优投资组合的相应估计特征。这一目标是通过在一个非常有用的随机表示中呈现（^VGMV，^w>GMV，^RGMV，^s，^v>）的联合分布来实现的。随机表示是统计学和计量经济学中一种计算效率很高的工具，用于描述随机变量/向量的分布，这在传统统计和贝叶斯统计中都有广泛的应用。虽然它在椭圆分布理论中扮演着特殊的角色（c.f.，Gupta等人[36]），但随机表示也是计算统计中生成随机变量/向量的一种非常流行的方法（参见Givens和Hoeting[32]）。Bodnar等人[12]和Bauder等人[6]发现了随机表示在确定估计最优投资组合的后验分布中的应用。最后，Zellner和Ando等人认为，基于随机表示的直接蒙特卡罗方法是计算贝叶斯估计的有效方法。

在本文中，我们使用（^VGMV，^w>GMV，^RGMV，^s，^v>）的衍生随机表示来推导高维渐近分布，以及获得估计最优投资组合的高维渐近分布。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们得出了（^VGMV，^w>GMV，^RGMV，^s，^v>）的有限样本联合分布。然后，该结果用于建立第3节中估计的最优投资组合权重及其估计特征的抽样分布。第4节给出了在大维渐近下导出的估计权重的渐近分布。第5节研究了共有分布的有限样本性能以及对数据生成过程中的分布假设进行稳健性分析的结果，而第6节给出了最后的备注。技术推导移至附录（第7节）。2^VGMV、^wGMV、^RGMV、^s和^vt的精确抽样分布通过本文，我们假设资产收益的p维向量x，x。。。，xnare独立且正态分布，平均向量u和协方差矩阵∑，即xi~ 对于i=1，…，Np（u，∑）。。。，n、 Fama[30]认为，月收益率的分布可以很好地近似于正态分布，Tu和Zhou[55]发现重尾对最优投资组合的表现没有显著影响。^VGMV、^θ、^RGMV、^s和^η的随机表示是在更一般的情况下导出的，即通过考虑^θ和^η的线性组合，表示为^θ=L^wgmv和^η=L^v，其中L是k<p的常数k×p矩阵- 1和秩（L）=k。同样，我们确定θ=LwGMVandη=Lv给出的^θ和^η的人口对应项。因为^u和∑是独立分布的（参见。

Rencher【51】，（VGMV，θ>，RGMV，s，η>）条件下的条件分布等于（VGMV，θ>，^RGMV，s，η>）的分布，其中^RGMV=^u>^∑-1>^Σ-1、▄s=▄u>^Q▄u和▄η=L^Q▄u▄u>^Q▄u，（2.1），而它们的种群对应物我们表示为：▄RGMV=▄u>∑-1>Σ-1，s=u>Qu，和η=LQu>Q。（2.2）让symbold=表示分布中的相等。在定理2.1中，我们给出了^VGMV、^θ、^RGMV、^s和^η的联合随机表示，将在下一节中用于描述有效前沿上的投资组合权重分布。证据见附录。定理2.1。设x，x。。。，xnbe独立且正态分布，平均向量u和协方差矩阵∑，即xi~ 对于i=1，…，Np（u，∑）。。。，n，其中n>p。定义M=（L>，|u，1）>，并假设秩（M）=k+2。设∑为正定义。然后，由（i）VGMVd=VGMVn给出了^VGMV、^RGMV、^θ、^s和^η的联合随机表示-1ξ;（ii）^RGMVd=RGMV+√VGMVz√n个+√英尺√n-p+1;（iii）^θd=θ+pVGMVsη+z/√n√英尺√n-p+1+LQL>-（sη+z/√n） （sη+z/√n） >f！1/2s1+tn-p+1吨√n-p+2！；（iv）^sd=（n- 1)1+tn-p+1fξ，f=ξn+sη+z√n>LQL>-1.sη+z√n; （2.3）（v）^ηd=sη+z/√nf公司+√fLQL>-（sη+z/√n） （sη+z/√n） >f！1/2×q1+tn-p+1吨√n-p+2t√n-p+1+Ik+ftt>n-p+21/2吨√n-p+3式中ξ~ χn-p、 ξ~ χn-p+2，ξ~ χp-k-1.nu>Au，z~ N（0，1），z~ Nk（0，LQL>），t~ t（n- p+1），t~ tk（n-p+2）和t~ tk（n-p+3）相互独立，a=Q- QL>LQL>-1LQ。（2.4）定理2.1的结果提供了一种简单的方法，可以从^VGMV、^RGMV、^θ、^s和^η的样本分布中得出观测值。值得注意的是，在一次模拟运行中，应该只模拟来自已知分布的随机变量。

此外，独立模拟变量的总维数等于（3k+5），这在使用直接模拟时是非常重要的，直接模拟是基于从aWishart分布绘制p×p矩阵和从正态分布绘制p维向量。为此，我们指出，（iii）和（v）中的平方根都可以解析计算，这将进一步有助于加速模拟研究。该观察结果基于以下两个等式（D-bb>）1/2=D1/2我-cD光盘-1/2bb>D-1/2（2.5）式中，D1/2是D和c的平方根=（1-√1.-b> D-1b）/b>D-1b和（I+dd>）1/2=I+add>（2.6），其中a=(√1+d>d-1） /d>d。因此，它认为lql>-（sη+z/√n） （sη+z/√n） >f！1/2(2.7)=LQL>1/2Ik-1.-qξnff-ξnLQL>-1/2sη+z/√nsη+z/√n>LQL>-1/2和Ik+ftt>n-p+21/2=Ik+s1+ft>tn-p+2- 1.因此，定理2.1中给出的随机表示矩阵的逆矩阵和平方根仅是总体量的函数。因此，与生成的样本长度无关，它们都应该只计算一次。当仿真基于生成样本协方差矩阵和样本平均向量的实现时，这种情况不再存在。综上所述，我们获得了一种高效的算法，可以在相对较短的时间内从^VGMV、^RGMV、^θ、^s和^η的样本分布中生成任意大尺寸的样本。定理2.1的另一个重要应用是从最优投资组合权重及其估计特征的样本分布中进行有效抽样，这将在下一节详细讨论。

这些结果将用于评估估计最优投资组合权重的有限样本属性。3最优投资组合权重的精确抽样分布属于有效前沿的最优投资组合的权重具有以下结构wg=wGMV+g（RGMV，VGMV，s）v（3.1），其k线性组合表示为lwg=θ+g（RGMV，VGMV，s）η，（3.2），其中函数g（RGMV，VGMV，s）确定了最优投资组合的特定类型。值得注意的是，该函数仅依赖于三个量RGMV、VGMV和s上的u和∑，这三个量完全决定了均值-方差空间中的整个有效前沿。通过考虑（3.2）的一般形式，我们能够涵盖许多著名的最优投资组合：全球最小方差（GMV）投资组合、均值方差（MV）投资组合、预期最大指数效用（EU）投资组合、相切（T）投资组合、夏普比（SR）最大化的最优投资组合、rsik（MVaR）投资组合的最小值，以及最小条件风险价值（MCVaR）投资组合、最大回报价值（MVoR）投资组合、最大条件回报价值（MCVoR）投资组合等。表1提供了每个最佳投资组合的g（，，，，）的具体选择。投资组合g（RGMV、VGMV、s）额外数量GMV 0MV RGMV- uu∈ R-目标预期回报Euγsγ>0是风险规避系数VGMVs/（RGMV- rf）rf是无风险回报sr VGMVs/RGMVMVaR spVGMV/（zα）- s） zα=Φ-1（α）MCVaR spVGMV/（kα）- s） kα=经验值{-zα/2}/（2π（1- α） ）MVoR（RGMV+v）s+√zαs（（RGMV+v）+（s-zα）VGMV）zα-sv>0是riskMCVoR（RGMV+k）s的目标值+√kαs（（RGMV+k）+（s-kα）VGMV）kα-SKI风险的目标条件值表1：为几个最优投资组合选择函数g。