最优投资组合权重和特征的抽样分布

符号Φ（.）表示标准正态分布和Φ的分布函数-1(.) 代表其反面。设^wg表示（3.2）中一般形式中给出的最优投资组合权重的样本估计量，该估计量是通过插入样本平均向量和样本协方差矩阵而不是未知的总体对应项获得的。然后，最优投资组合权重的k个线性组合由l^wg=^θ+g（^RGMV，^VGMV，^s）^η估计。（3.3）根据定理2.1，根据（3.3）的随机表示推导出（3.3）的精确抽样分布。结果总结在定理3.1中，其证明来自定理2.1。定理3.1。在定理2.1的条件下，它认为L^wgd=θ+sVGMVft√n-p+1+g（^RGMV，^VGMV，^s）f！sη+z/√n+LQL>-（sη+z/√n） （sη+z/√n） >f！1/2pVGMVs1+tn-p+1+g（^RGMV、^VGMV、^s）√英尺/√n-p+1q1+tn-p+1！t型√n-p+2+g（^RGMV、^VGMV、^s）√f×Ik+ftt>n-p+21/2吨√n-p+3（3.4），其中^VGMV、^rgmv和^s的联合随机表示在定理2.1的（i）-（v）中给出。从定理3.1的发现中，我们可以得出许多重要结果。首先，他们为最优投资组合权重的估计量的抽样分布提供了一个完整的特征。这种分布可以通过从导出的相对较大尺寸的随机表示中抽取具有独立观测值的样本来评估，然后应用成熟的统计方法来估计分布函数、密度、矩等。其次，定理3.1中获得的随机表示提供了一种从L^wg的有限样本分布生成样本的有效方法，遵循第2节在定理2.1之后提供的讨论，该讨论基于从已知的单变量和多变量分布中提取独立分布。

为此，我们注意到，（3.4）中的两个平方根应按照（2.7）和（2.7）中的规定进行计算。因此，导出的随机表示仅包括总体矩阵的逆方根和平方根，因此，在整体模拟研究期间，这些对象只能计算一次。当估计最优投资组合权重的抽样分布的观测值通过其相应的定义获得时，即通过从Wishart和正态分布生成独立样本，情况就不再如此了。第三，对于模拟研究中使用的人口数量的选择值，我们可以构建最优投资组合权重的集中集。第四，关于L^wg抽样分布的一个重要概率结果直接来自导出的随机表示。即，L^wg的有限样本分布仅取决于RGMV、VGMV、s、θ、η和LQL上的总体平均向量u和总体协方差矩阵∑。当必须绘制L^wg分布的样本时，仅需确定这七个数量。特别是，在单一线性组合的情况下，即当k=1时，我们只需确定六个独立于数据生成过程的维度p的单变量量。以类似的方式，我们推导了最优投资组合估计特征的统计推断，并给出了权重^wgas（3.1）。权重为（3.1）的最优投资组合的预期收益由g=RGMV+g（RGMV，VGMV，s），（3.5）给出，而其方差为VG=VGMV+g（RGMV，VGMV，s）。

（3.6）类似地，VaR、CVaR、VoR和CVoR由V aRg=-（RGMV+g（RGMV，VGMV，s））-zαrVGMV+g（RGMV，VGMV，s）s，（3.7）CV aRg=-（RGMV+g（RGMV，VGMV，s））-kαrVGMV+g（RGMV，VGMV，s）s，（3.8）和by symmetryV oRg=（RGMV+g（RGMV，VGMV，s））-zαrVGMV+g（RGMV，VGMV，s）s，（3.9）CV oRg=（RGMV+g（RGMV，VGMV，s））-kαrVGMV+g（RGMV，VGMV，s）s.（3.10）在（3.5）-（3.10）中插入样本均值向量和样本协方差矩阵，而不是人口对应项，我们得到了最优投资组合特征的样本估计量。定理2.1的应用导致了关于其（联合）采样分布的陈述，如定理3.2定理3.2所示。在定理2.1的条件下，最优投资组合估计特征的随机表示如（3.5）-（3.10）所示，其中RGMV、VGMV和s被其样本对应的^RGMV、^VGMV和^s替换为^VGMV=VGMVn-1ξ，^RGMVd=RGMV+sVGMVn1+p-1n-p+1ψz、 ^sd=（n-1） （p- 1） n（n-p+1）η，其中ξ~ χn-p、 ψ~ F（p- 1，n- p+1，ns），z~ N（0，1）是相互独立的。附录中给出了定理3.2的证明。必须注意的是，所有六个估计量（^Rg、^Vg、dV aRg、dCV aRg、dV oRg、dCV oRg）的联合分布完全由三个相互独立的随机变量ξ、ψ和z以及标准边际单变量分布确定。此外，它仅依赖于三个单变量量RGMV、VGMV和s上的未知总体平均向量和协方差矩阵，这三个单变量量唯一地确定了均值-方差空间中的整个有效前沿。为此，估计的最优投资组合特征的随机表示似乎比定理3.1中获得的最优投资组合权重的相应估计更简单。

类似地，通过使用第3.2条的结果，可以有效地得出联合分布（^Rg、^Vg、dV aRg、dCV aRg、dV oRg、dCV oRg）的独立实现。定理3.2导出的理论结果的另一个有趣的金融应用出现在欧盟投资组合的情况下，其样本预期收益率和样本方差超过以下随机表示：REUd=RGMV+γ-1^s，（3.11）^VEUd=^VGMV+γ-2^s.（3.12）因此，鉴于有效前沿的估计斜率参数，似乎^reu和^reu条件独立。只有在极限情况下，当风险规避系数γ变得一致时，即欧盟投资组合位于有效前沿的顶点，因此与GMV投资组合一致，这两个估计的投资组合特征变得无条件独立。在所有其他情况下，它们之间的依赖关系完全由效率边界的估计几何体来捕获。4高维渐近分布第3节和第4节导出的随机表示在推导最优投资组合权重估计量的渐近分布及其估计特征时也非常有用。为此，我们注意到，无论数据生成过程p的维度假设为fix，还是允许其与额外可用于分析高维最优投资组合结构的样本量一起增长，都可以单独使用相同的方法。统计文献对这两种制度进行了深入讨论。前一种渐近状态，即固定p，称为“标准渐近”（参见Le Cam和Yang[44]）。这里，样本均值和样本协方差矩阵都被证明是对应总体对应的一致估计量。当p与n相当时，挑战会增加，即。

维度p和样本量n都趋于一致，而它们的比率p/n趋于正常数c∈ [0，1），即所谓的浓度比。它被称为“大维渐近”或“Kolmogorov渐近”（c.f.，B–Uhlmanand Van De Geer[23]，Cai和Shen[24]），而c=0的情况对应于标准渐近。尽管如此，在高维渐近条件下，对仅包括样本平均向量或样本协方差矩阵的泛函的渐近行为进行了大量研究（参见，例如，Bai和Silverstein【5】、Cai等人【25】、Wang等人【56】、Bodnar等人【10】、Bodnar等人【14】、Bodnar等人【8】，当表达式中同时存在样本平均向量和样本（逆）协方差矩阵时，情况变得更加复杂。这个问题仍然没有解决，吸引着研究者和实践者。在本节中，我们将展示如何利用第2节和第3节的导出随机表示来推导估计最优投资组合的高维渐近分布及其特征。基于随机表示的建议方法的主要优点是，它们清楚地将确定性量与随机量分开，后者的联合渐近分布可以确定。在本节中，我们将对涉及总体平均向量和总体协方差矩阵的函数施加以下技术条件：（A1）存在m和m，使得0<m≤ u>Σ-1u ≤ M<∞ 和0<m≤ 1>Σ-11≤ M<∞ （4.1）在p。

此外，对于由p维向量l确定的最优投资组合权重的线性组合，它认为0<m≤ l> ∑-1升≤ M<∞ （4.2）p中一致。假设（A1）的财务解释基于这样一个事实，即它确保有效前沿RGMV、VGMV和s的参数以及最佳投资组合权重的K线性组合的组成部分都是有限的数字。从数学上讲，随着p的增加，某些数量的RGMV、VGMV、s和Lwgtend变为单位，这可能取决于u和∑。在这种情况下，应将（4.1）和（4.2）中的常数m和m替换为p-κm和p-κM表示一些κ>0。这种方法只会导致本节中导出的渐近协方差矩阵的表达式发生微小变化，其中一些术语可能会消失（类似讨论见Bodnar等人[13]）。为此，通过滥用符号，我们对涉及总体平均向量u和总体协方差矩阵∑及其相应确定性极限的函数使用相同的符号。例如，u>∑-1u也将用于表示limitlimp→∞u>Σ-1u. 从使用数量的文本中，可以清楚地理解数量。4.1^VGM V、^RGM V、^θ、^s和^η的高维渐近分布在给出估计最优港口权的高维渐近结果及其特征之前，我们推导了五个数量^VGMV、^RGMV、^θ、^s和^η的渐近随机表示。定理4.1中给出了几个独立正态分布随机变量/向量。这样的表述还允许刻画渐近依赖结构^VGMV、^RGMV、^θ、^s和^η，以及推导定理4.1之后给出的渐近协方差矩阵的表达式。定理4.1。

在定理2.1和假设（A1）的条件下，它认为（i）√n-p^VGMV-1.-p/n1-1/nVGMVd→√2(1 -c） VGMVu，（二）√n-p^RGMV- RGMVd→√VGMV√1.-铜+√硫+铜,（三）√n-p^θ - θd→√VGMV苏√s+cη+LQL>-ss+cη>1/2件,（四）√n-p^s-（序列号+序列号）（1）-1/n）1-零件号+2件d→1.-cp2（1-c） （c+2u>Au）u+2sp（1-c） η>（LQL>）-1/2件+√2（s+c）u！，（五）√n-p^η -ss+零件号ηd→√s+cLQL>-ss+cη>1/2件+√1.-c（s+c）LQL>- 2ss+cηη>！（LQL>）-1/2件-sq2（1-c） p/n的（c+2u>Au）u（s+c）η→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 其中u，u，u，u，u，u，u，u，uare相互独立，u，u，u，u，u，u~ N（0，1）和u，u，u~ Nk（0，Ik）。定理4.1的陈述总结了几个有趣的结果，其证明见附录。我们观察到三个量与GMV投资组合的权重和特征的估计量有关，即有效前沿上的顶点，面积与效率边界的估计斜率参数无关，该参数决定了效率边界的曲率以及与所选最优投资组合在效率边界中的位置相关的自融资投资组合η的估计权重。此外，根据定理2.1的有限样本结果，GMV投资组合的样本方差似乎与其估计的预期收益率和权重估计值无关。然而，令人惊讶的是，^θ和^rgmv之间的偏差部分由估计的自我融资投资组合^ηdu决定，其确定性表达式接近于√n-p^RGMV- RGMV和√n-p^θ - θ. 最后，定理4.1中导出的随机表示的直接应用导致了推论4.1中给出的渐近协方差矩阵的表达式。推论4.1。

在定理2.1和假设（A1）的条件下，它认为√n-p^VGMV-1.-p/n1-1/nVGMV^RGMV- RGMV^θ- θ^s-（序列号+序列号）（1）-1/n）1-p/n+2/n^η-ss+零件号η→ N2k+3（0，Ξ）带Ξ=2VGMV（1-c） 0 0 0 0 00 VGMV（1+s）VGMVη>0 0 0 VGMVηVGMVLQL>0 0 0 0Ξs，sΞ>s，η0 0 0Ξs，η0Ξη，η对于p/n→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 式中，Ξs，s=2（c+2s）（1-c） +2（s+c）（1-c） ，（4.3）Ξη，η=s+1（s+c）LQL>-s（2c（1-c） +（s+c））（s+c）ηη>，（4.4）Ξs，η=2s2c-s+4u>Au）（s+c）η。4.2最优投资组合权重的高维渐近分布定理4.1的结果用于推导估计最优投资组合权重^wg的高维渐近分布以及第3节给出的该投资组合的相应估计特征。设^λ=（^RGMV，^VGMV，^s）>和λ=RGMV，（1-c） VGMV，s+c1-c>（4.5）其中定理4.1的结果表明^RGMV- RGMV=oP（1），^VGMV- (1 - c） VGMV=oP（1），^s-s+c1-c=oP（1），其中oP（1）a.s。→ 0表示p/n→ c∈ （0，1）为n→ ∞.在本节中，假设函数g（x，y，z）与前向连续导数和负导数（x，y，z）不同=g（x，y，z）x个（x，y，z）=（x，y，z），g（x，y，z）=g（x，y，z）y（x，y，z）=（x，y，z），g（x，y，z）=g（x，y，z）z（x，y，z）=（x，y，z）。定理4.2给出了L^wg的渐近分布，并在附录中给出了证明。定理4.2。设g（，，，，.）与一阶连续导数不同。然后，在定理2.1和假设（A1）的条件下，我们得到√n-pL^wg-θ+sg（λ）s+p/nηd→ Nk（0，Ohm五十、 g）（4.6）对于零件号→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 具有Ohm五十、 g级=1.-cs+c+g（λ）g（λ）s+c+VGMVLQL>+s（（1-c） VGMV（s+c）g（λ）+g（λ）1-c-g（λ）s+c2(1 -c） c（s+c）+4（1-c） （s+c）“g（λ）g（λ）1-c-g（λ）s+c+ sg（λ）1-c-g（λ）s+c#+VGMV（1-c） （s+c）g（λ）+VGMV（s+c）g（λ）+1-cg（λ）-g（λ）（s+c））ηη>。

（4.7）在欧盟投资组合的特殊情况下，我们得到g（x，y，z）=γ-1z，g（x，y，z）=g（x，y，z）=0，和g（λ）1-c-g（λ）s+c=1-cγ-1.-γ-1（s+c）（1-c） （s+c）=0。结果表明，L^wEUis的渐近协方差矩阵表示为Ohm五十、 欧盟=1.-cs+c+γ-1s+c1-cγ-11-c+VGMVLQL>+（1-2c）γ-2s（1-c） ηη>。（4.8）同样，得到了估计最优投资组合特征的高维渐近分布。以下（3.5）-（3.10），（Rg、Vg、V aRg、CV aRg、V oRg、CV oRg）仅为RGMV、VGMV和s的功能。另一方面，定理4.1确定了^RGMV、^VGMV和^s的联合高维渐近分布，表示为√n-p^RGMV- RGMV^VGMV-1.-p/n1-1/nVGMV^s-（序列号+序列号）（1）-1/n）1-零件号+2件→ N（0，ΞRV s）用于p/N→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 带ΞRV s=VGMV（1+s）0 00 2VGMV（1-c） 0 02（c+2s）（1-c） +2（s+c）（1-c）,这表明（^RGMV，^VGMV，^s）是渐近独立分布的。设hg，i（RGMV，RGMV，s）用权重wg表示最优投资组合的第i个特征，设hg，i^λ代表（4.5）中定义λ的估计样本。hg，i（.）的j阶一阶偏导数在λ处，我们用hg，i表示；j（λ）。然后，我们得到了关于估计最优投资组合特征的高维分布的以下结果，其证明来自定理4.2的证明。定理4.3。设hg，i（，，，.），i=1。。。，q、 与一阶连续导数不同。然后，在定理2.1和假设（A1）的条件下，我们得到√n-p汞，1^λ- hg，1（λ）。。。hg，q^λ- hg，q（λ）→ 零件号的Nq（0，Ξh）→ c∈ （0，1）为n→ ∞ 用Ξh=（Ξh；ij）i，j=1，。。。，qwhereΞh；ij=Xl=1ΞRV s；llhg，i；l（λ）hg，j；l（λ）。

（4.9）4.3区间估计和高维检验理论定理4.2和4.3的结果表明，L^wg和hg，i^λ, i=1。。。，q、 是L^wg和hg的不一致估计量，i（RGMV，VGMV，s），i=1。。。，q、 分别为。而最优投资组合权重线性组合样本估计量的渐近偏差ss+cg（λ）- g（RGMV、VGMV、s）η、 第i个投资组合特征估计量的渐近偏差为hg，i（λ）-hg，i（RGMV，VGMV，s）。另一方面，定理4.1的结果已经为vgmv、RGMV、θ、s和η提供了一致的估计量。即，它们由^VGMV给出；c=^VGMV1-零件号，（4.10）^RGMV；c=^RGMV，（4.11）^θc=^θ，（4.12）^sc=n-pn编号^s-pp+n, （4.13）^ηc=^sc+p/n^sc^η。（4.14）结合这些等式，我们推导出L^wg和hg，i（RGMV，VGMV，s）的一致估计量，表示为L^wg；c=^θ+g^RGMV；c、 ^VGMV；c、 ^sc^ηc（4.15）和^hg，i，c=hg，i^RGMV；c、 ^VGMV；c、 ^sc. （4.16）在定理4.4中，给出了最优投资组合权重一致估计的渐近协方差矩阵及其特征。定理4.4。设λ=（RGMV，VGMV，s）>。