零黑皮人玩具利率模型

如果节点有三条边（当j=1时），则方差统计方程（4）。在校准的第二步中，新数据是y（2）和β（2）。未知量为r1,1、r1,2和σ（2）。在这种情况下，1,1=yd，1,2=yu，y=x，σ（2）=β（2）（因为在这种情况下，一年利率的局部变化与全球变化一致）。因此，yd=r1,1，yu=r1,2。B0,1=（1+y（2））=1+r0,11- p（Bu+Bd）+pB！，B2，j=100，j=1，2，3，Bu=（1+yu），Bd=（1+yd），B=（1+y），β（2）=1- p`u+`d-(1 - p） 式（3）中的\'u\'d.与\'uand\'dgiven连用。对于一般n，新数据为y（n）和β（n）。未知的是rn-1，对于j=1，n、 和σ（n）。校准方程为：B0,1=（1+y（n））n=1+r0,11- pBu+1- pBd+pB！，Bn，j=100，j=0，（n+1），Bi，j=1+ri，jBi+1，j+1+Bi+1，j, i=1，（n）- 1） ，j=2，i+1，Bi，1=1+ri，j1- pBi+1,2+1- pBi+1,1+pBi+1,0！，i=1，（n）- 1） ，Bi，0=1+xqBi+1,1+（1- q） Bi+1,0, i=1，（n）- 1） ，Bu=（1+yu）n-1，Bd=（1+yd）n-1，B=（1+y）n-1，`u=对数Y，`d=对数Y，β（n）=1- p`u+`d-(1 - p） \'u\'d，σ（n）=对数-1，j+1rn-1，j，j=2，n、 `=对数-1,1x，`=对数-1,2x，σ（n）=1- p`+ `-(1 - p） ``。4、美国国债数据不同情景的实证分析我们工作的主要动机是分析2008年美国政府实施ZIRP后债券价格出现的新特征。在时间线1中，我们介绍了研究期间与美国经济相关的主要事件。表1:2000-2016.2000-2001年相关金融事件时间表。com和公司欺诈。2002-2003年·····美国经济恢复扩张，而通货膨胀率和利息率保持相对较低。2004-2006年美国经济扩张。美联储连续17次加息。2007年次贷住房危机。

大型金融机构持有的贷款组合毫无价值。2008年美国金融危机。美联储将利率降至0-0.25%。2009年美国经济衰退。2010年，欧洲金融危机加剧。2011-2014年·······························。中等挥发性物质。2015-2016年经济增长。美联储两次加息0.25%。4.1. 2002-2017年利率收益率和波动率我们提供了用于校准ZBDT模型（包括利率和债券价格）的收益率及其波动率，目的是计算债券期权价格。每日利率对应于2002年8月6日至2017年4月28日期间，并从美国联邦储备委员会获得。数据用（t，k）表示，其中t表示日期，k表示本研究中使用的相应六个到期日（k=1/2、1、2、3、4、5年）。在前面的章节中，由于分析是在固定的时间内进行的，所以省略了t。为了计算与这些值对应的波动率β（t，k），我们使用公式‘’（t，k）=Xi=0ogy（t- i、 k）y（t- 我- 1，k），β（t，k）=Xi=0逻辑（t- i、 k）y（t- 我- 1，k）-\'`（t，k）！，其中系数252对应于一年的营业日数；也就是说，选择用于计算波动性的窗口。获得的数据如图4所示。图4：不同到期日的收益率和收益波动率（2002-2017年）。4.2. 六个观察到的典型场景我们选择了六个不同的日子，对应于六个不同的时期，期望分析ZBDT模型中利率向下跳跃的影响。

为了选择每一天，考虑了图4和时间线1中描述的利率。在所选的六种情景中，我们分别校准了BDT和ZBDT模型，给出了相应的利率和债券价格。这些数值结果见附录中的表2、4、6、8、10和12。利用这些信息，我们计算了普通看涨期权价格以及80到100之间的债券价格，得到了各自的隐含波动率。为了计算在时间t到期的zc债券上的期权在时间t的隐含波动率，行使K和到期S（t<S<t），我们使用Black公式（见（Black，1976）），其中statesc=B（t，t）Φ（d）- KB（t，S）Φ（d），其中d1,2=对数B（t，t）KB（t，S）σ√S- t±σ√S- t、 Φ是累积正态分布函数。请注意，无论考虑的模型是什么，如果相应的期权没有价值，我们假设隐含波动率等于0。有关更多详细信息，请参见（McDonald，2006）。在我们的实证研究中，我们考虑了到期时间为五年（T=5）的zc债券和到期时间为两年（S=2）的欧洲看涨期权（T=0）。对于ZBDT模型，我们假设参数x=0.25%，p=0.02，q=0.07。结果见附录中的表3、5、7、9、11和13。一个主要结论是，与BDT模型相比，ZBDT允许我们对期权进行定价，其行权接近债券面值，这对应于低利率期。这使得危机前的期权价格更加准确。结论在目前的工作中，我们提出了一种新颖实用的方法来模拟主权债券利率结构下降的可能性。

这种调整是受美国最近2008-2009年危机的推动。我们的方法受到Lewis（2016）的ZIRP模型以及Duffee和Singleton（1999）的债券定价模型违约框架的启发。我们的建议是在经典的黑皮人玩具树模型的每个时期添加一个新的分支，该模型考虑到这种下降事件发生的可能性很小。我们将其命名为ZBDT模型，“Z”代表（接近）利率。据我们所知，我们的模型是为ZIRP提出的第一个离散时空模型，它与之前通过粘性差异（如in（Lewis，2016））和斜态差异（Tian&Zhang，2018）将这种现象纳入连续时间模型的动机相同。本文包括制定相应的修正校准方案（该方案自然比经典的BDT校准更复杂，并且使用相同的信息），以获得利率树和相应的债券价格。利用这些信息，我们评估了两种模型提供的欧式期权价格。通过黑期权定价公式提供的隐含波动率分析，对两种模型进行了比较。我们的提议开启了在不同情况下修正期权价格的可能性，尤其是在未来利率风险下。美国债券市场提供的隐含波动率曲线分析是一种工具，可以揭示在何种情况下，这种下跌概率是不可忽视的。我们的主要结论是，ZIRP模型允许u对高罢工的期权进行定价。所有观察到的隐含波动率在ZBDT模型中都高于BDT模型。

这为危机前时期的期权价格提供了更准确的信息。进一步的研究包括考虑美国债券期权市场价格（以及债券市场中可能的其他通常衍生因素），以校准拟议模型的参数：下跌概率和留在ZIRP区的可能性，以及提出连续时间模型模拟的更复杂任务。参考文献[1]Black，F.（1976），《商品合同定价》。《金融经济学杂志》，第3卷，第167-179页。[2] 黑色，F。；Derman，E.和Toy，W.（1990），《利率的单因素模型及其在国债期权金融分析中的应用》，Journal，第46卷，第1期，第33-39页。[3] 博罗丁，A.N。；Salminen，P.（2002），《布朗运动事实和公式手册》。第二版。概率及其应用。Birkhuser Verlag，巴塞尔，2002年。[4] Brigo，D.，Mercurio，F.（2006），《利率模型理论与实践与微笑、通货膨胀和信贷》。第二版Springer Verlag。[5] Cox，J.、Ingreoll J.和Ross S.（1985），利率期限结构理论。《计量经济学》53，第385-407页。[6] 杜菲，D.，辛格尔顿，K.（1999），可违约债券的期限结构建模。《金融研究评论》，第12卷，第687-720页。[7] Eberlein，E.、Gerhart，G.&Grbac，Z.（2018），考虑负利率的多曲线L'evy远期价格模型。QuantitativeFinance，第18卷，第4期。[8] Filipovic，D.（2009），期限结构模型。斯普林格金融公司。[9] Hull，J.（2009）第23号技术说明。期权、期货和其他衍生品。期权、期货和其他衍生品。[10] Lejay，A.（2006），关于斜布朗运动的构造。概率调查，第3卷，第413-466页。[11] Lewis，A.（2016），《随机波动下的期权估价II》。金融出版社，美国加利福尼亚州纽波特海滩[12]Martin，M。

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