零黑皮人玩具利率模型

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英文标题：
《Zero Black-Derman-Toy interest rate model》
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作者：
Grzegorz Krzy\\.zanowski, Ernesto Mordecki, Andr\\\'es Sosa
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We propose a modification of the classical Black-Derman-Toy (BDT) interest rate tree model, which includes the possibility of a jump with small probability at each step to a practically zero interest rate. The corresponding BDT algorithms are consequently modified to calibrate the tree containing the zero interest rate scenarios. This modification is motivated by the recent 2008-2009 crisis in the United States and it quantifies the risk of a future crises in bond prices and derivatives. The proposed model is useful to price derivatives. This exercise also provides a tool to calibrate the probability of this event. A comparison of option prices and implied volatilities on US Treasury bonds computed with both the proposed and the classical tree model is provided, in six different scenarios along the different periods comprising the years 2002-2017.
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中文摘要：
我们提出了对经典的黑皮人玩具（BDT）利率树模型的修改，该模型包括在每一步以小概率跳到实际零利率的可能性。相应的BDT算法因此被修改，以校准包含零利率场景的树。这一修改是受美国最近2008-2009年危机的推动，它量化了未来债券价格和衍生品危机的风险。该模型对衍生产品的定价是有用的。此练习还提供了一种工具来校准此事件的概率。在包括2002-2017年在内的六个不同时期的六种不同情景下，对比了使用拟议和经典树模型计算的美国国债期权价格和隐含波动率。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Zero_Black-Derman-Toy_interest_rate_model.pdf (249.89 KB)

2022-6-25 07:49:05 上传

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关键词：利率模型 econometrics Modification Applications Quantitative

Zero Black Derman玩具利率模型Grzegorz Krzy˙zanowskia，Ernesto Mordeckib，Andr’es SosacaHugo Steinhaus中心，弗罗茨瓦夫科技大学纯数学和应用数学学院，弗罗茨瓦夫50-370，乌拉圭Repblica大学经济与行政科学学院（Universidad de la RepblicaInstituto de Estadistica-Facultad de Cienceas Economicas y de Administraci'on-Universidad de la Repblica，Uruguayabstract）我们提出了对经典的黑皮人玩具（BDT）利率树模型的修改，该模型包括在每一步以小概率跳变为实际零利率的可能性。相应的BDTalgorithms因此被修改，以校准包含零利率场景的树。这一修改是受最近2008-2009年美国危机的推动，它量化了未来债券价格和衍生品危机的风险。该模型对衍生产品的定价是有用的。此练习还提供了一种工具来校准此事件的概率。在2002年至2017年不同时期的六种不同情景下，对使用拟议和经典树模型计算的美国国债期权价格和隐含波动率进行了比较。关键词：黑德曼玩具模型、零利率政策、债券期权、金融危机、期限结构。1、简介联邦基金利率（即存款机构在无抵押基础上隔夜向其他存款机构借贷准备金余额的利率）是金融市场的一个重要基准。

该利率影响影响美国总体经济某些方面的货币和金融条件，如就业、增长、通货膨胀和期限结构利率。2007-2008年美国金融危机之后，美联储在一年内将联邦基金利率下调425个基点，几乎为零（目标利率为0-0.25%）。这一决定被保留了九年，被称为零利率政策（ZIRP政策）。图1显示了2002年至2017年间联邦基金利率的演变。受这一现象的启发，受刘易斯（2016）连续时间ZIRP模型的启发，并利用杜菲和辛格尔顿（1999）的默认模型，我们提出了对经典黑皮人玩具（BDT）利率模型的修正（Black，Derman&Toy，1990）。1.1. 对ZIRP进行建模的不同方法最近，出现了几种对ZIRP进行建模的方法。Lewis（2016）提出了两个建议，他将其总结为：（i）缓慢反思边界，也称为粘性边界；和（ii）从边界跳转返回。第一个模型包括利用被视为马尔可夫过程的差异中使用的资源，包括引入粘性点。粘滞点比其他点保留该过程的时间更长。为了产生这种现象，在连续时间模型中，在扩散速度测量中引入了一个原子点（Borodin&Salminen，2002）。第二个模型包括引入延迟启动过程。该延迟时间由指数随机变量建模。在这个指数时间之前，该过程保持在x=0的水平。然后，它跳转到一个独立的状态，并从中继续其作为一种分化的动态。

这些模型的债券价格见（Lewis，2016）。电子邮件地址：grzegorz。krzyzanowski@pwr.edu.pl（Grzegorz Krzy˙zanowski），mordecki@cmat.edu.uy（欧内斯托·莫德基），asosa@iesta.edu.uy（Andr\'es Sosa）于2020年7月14日向Elsevier提交预印本图1：联邦基金利率（2002-2017）。Tian和Zhang（2018）提出了另一种方法。这些作者背离了经典的CIRprocess（Cox，Ingreoll&Ross，1985），在某个相对较小的利率水平上增加了一个倾斜点。扩散模型中的倾斜现象代表了一种渗透屏障。当过程到达歪斜点时，向上和向下移动的概率根据一定的概率进行修改。这样，如果向下延拓的概率大于1/2，因为CIR过程永远不会达到零，那么提议的过程在比CIR过程更长的时间内保持在偏斜点以下。可以通过偏离偏离偏离偏离理论以及其他许多方式来构建倾斜偏离（Lejay，2006）。该模型的离散模拟是一个二元随机游动，除斜点外，所有状态的概率都是对称的。在这一点上，下降的可能性更大。这会产生一个比原始过程更长时间保持在临界阈值以下的过程。还可以看出，这一过程的弱极限，经过适当的规范化，会出现偏差（Lejay，2006）。在论文（Tian&Zhang，2018）中，基于随机演算参数，作者给出了该模型的债券价格。Eberlein等人（2018）介绍了另一种模拟ZIRP现象的方法。该提案是在伦敦银行同业拆借利率的列维模型的背景下提出的，修改允许负利率。

该模型特别适合在极低利率的情况下进行校准，它是在半鞅理论的框架下提出的，并包括衍生品定价，尤其是Caplet。作为一个应用，借助正态逆高斯L'evy过程，使用欧洲Caplet市场价格来校准所提出的模型。Martin（2018）提出了另一项建议，认为金融危机改变了期限结构的建模视角。主要原因是之前联系在一起的利率之间存在差异。因此，建议在同一模型中使用多条利率曲线，以反映固定收益市场中观察到的不同类型的风险。作者使用的评估范式基于强度模型。期限结构的动态由指数单因素模型给出。风险率包括在银行间部门观察到的影响相应利率的风险。作者指出，该方法对于长期资产（如掉期和掉期期权）很重要。1.2. 鉴于ZIRP需要足够的模型，我们建议脱离黑皮肤玩具（BDT）二叉树模型，将每一时间步以小概率向下跳跃至实际零利率值的可能性纳入其动力学。此外，我们假设，一旦过程达到零利率区，它很有可能保持在那里。该提议模仿了Duffee和Singleton（1999）提出的默认债券模型中的强度方法，根据一个小比率的几何随机变量跳到接近零的位置。此外，Lewis（2016）描述的粘性现象，作为利率过程，一旦实现这种跳跃，就很可能保持在接近零的区域。

实际上，初始BDT二元树模型修改为混合二元三元树模型，以确定与市场期限结构一致的利率。新模型被称为ZBDT模型（零黑德曼玩具利率模型）。本文的其余部分结构如下。在第2节中，我们介绍了经典BDT模型的主要思想，重点是校准，目的是在第3节中介绍ZBDT模型及其各自的校准方程。第四部分是实证内容。它详细描述了美国研究期间（2002-2017年）发生的关键金融事件，提供了利率及其波动率的相关信息，我们选择了六种具有代表性的不同情景来比较BDT和ZBDT模型给出的结果。在第5节中，我们简要讨论了结果，并对一些可能的未来工作进行了评论。黑皮人玩具模型黑皮人玩具模型（Black et al.1990）是利率理论中最受欢迎和著名的模型之一。它由一个具有等概率变换的二叉树组成，这使得它使用起来简单灵活。更准确地说，该模型偏离了当前利率曲线，即提取不同到期日的收益率，并在一定时间间隔内使用一系列连续的历史利率曲线来计算该收益率波动率。该模型假设波动率只取决于时间，而不取决于利率的价值。

执行校准程序，以获得模型中规定的相应时间间隔内的利率。该模型假设未来利率在二叉树中随机演变，每个节点有两个场景，分别用u（表示“向上”）和d（表示“向下”）标记，其特殊性是，u后跟d的值与d后跟u的值相同。这样，在n个周期后，我们的利率建模随机过程有n+1个可能的状态。为了简化表述，我们认为一个时期相当于一年。此外，本文主要研究零息债券（zc债券）。相应的短期修改或使用债券和息票是很简单的。在图2（b）中，我们给出了与n=3年内到期的zc债券价格相关的树，其中，对于i和j的相同值，我们用Bi j表示与i期和状态j相对应的zc债券价格。在这里和整篇文章中，我们假设债券的面值（FV）等于100：j=1，n+1。这种债券的演变与一棵树相关，树上的利率适用于每个时间段，如图2（a）所示。在BDT模型中，每个节点上每个u或d场景的概率为1/2，演化是独立的，利率值通过校准获得。2.1. BDT模型的校准在一个有n个时间段的模型中，我们校准了一棵n阶树，与以下数据不同：ZC债券的收益率y（k），k=1，n、 对应于各期[0，k]（前k期），以及相同债券的收益率波动率β（k），k=2，n、 根据同一公约。树的利率为{ri，j:i=0，…，n- 1.j=1。

，i+1}，并对应于上下场景中的每个时间段，给出n（n+1）/2个待校准的未知量。第一步仅使用y（1），得出结论：r0,1=y（1）：B1,1=B1,2=100，B0,1=1+y（1）=1+r0,1B1,1+B1,2.r0,1r1,1r1,2r2,1r2,2r2,3（a）B0,1B1,1B1,2B2,1B2,2B2,3r0,1r0,1r1,1r1,2r1,2r2,1r2,2r2,3（b）图2：BDT利率树（a）和zc债券的对应树（b），其中T=3，FV=100。当n>1时，我们引入一年后的收益率yu（上升）和yd（下降），对应于债券价格BuandBd。该量满足areBu=（1+yu）n的相关关系-1，Bd=（1+yd）n-1、节点处的方差方程，包含n个步骤的树。我们引入一个随机变量Y，它取两个值：Y=yu，概率为1/2，yd，概率为1/2。然后，log Y具有方差var log Y=β（n），当且仅当yu=yde2β（n），相当于β（n）=logyuyd，（1）如下计算：var log Y=logyu+logyd-（对数yu+对数yd）=（log yu）- log yd）=logyuyd！=β（n）。BDT模型假设所有节点的对数利率随固定时间的方差为常数。时间n时每个节点的相应利率- 1由辅助随机变量Rn表示-2，j.Rn-2，j=注册护士-1，j+1，概率为1/2，rn-1，j，概率为1/2，对于j=1，n- 1、假设该随机变量的方差在同一时间段内所有节点均为常数，满足σ（n）=logrn-1，j+1rn-1，j，j=1，n- 1.（2）在校准的第二步中，新数据为y（2）和β（2）。未知量为r1,1、r1,2和σ（2）。在这种情况下，σ（2）=β（2），因为一年内利率的局部变化与全球变化一致。因此，yu=r1,2，yd=r1,1。

然后债券价格满足b0,1=（1+y（2））=（1+r0,1）（Bu+Bd），B2，j=100，j=1，2，3，Bu=（1+yu），Bd=（1+yd），β（2）=logyuyd。对于一般n，新数据为y（n）和β（n）。未知的是rn-1，对于j=1，n和σ（n）。值σ（n）是每个节点利率的方差（见（1））。然后债券价格满足（1+y（n））n=（1+r0,1）（Bu+Bd），Bn，j=100，j=1，（n+1），Bi，j=（1+ri，j）Bi+1，j+Bi+1，j+1, i=0，（n）- 1） ，j=1，i+1，Bu=（1+yu）n-1，Bd=（1+yd）n-1，β（n）=logyuyd，σ（n）=logrn-1，jrn-1，j-1，j=2，n、 3。ZBDT模型我们对经典BDT利率树模型的修改增加了在每个时间步以小概率向下挤兑到实际零利率的可能性，在这种情况下，到达后，过程仍保持高概率。更准确地说，在新模型中，用j标记（i，j）的节点≥ 2具有与BDT模型中相同的特性（上升和下降概率为1/2，跳到待校准的值）。此外，形式（1，j）的节点以较小的概率p添加第三个可能的向下跳跃，其他两个可能的跳跃具有概率^p=（1- p） /2。如果实现了这种向下跳跃，那么该过程将进入所谓的ZIRPzone，这意味着利率将变成一个较小的值x（接近政策目标）。当过程处于ZIRP区域时，它很可能保持在那里（1- q） 并以概率q退出。最后，为了校准树，遵循与经典BDT模型中相同的约定，我们进一步规定相同时间段内每个节点的方差保持不变（通过校准确定，下面用σ（n）表示周期n）。与BDT模型相对应，ZBDT模型将（未知）债券价格Bi，0fori=1。

n-1和B0，n=100。相应的利率ri，0表示1，i+1固定为x。在图3（b）中，我们给出了与n=3年到期的zc债券价格对应的树。请注意，p、q、X分别清楚地解释为危机发生的概率（在基本时间段内，本文中为1年）、经济从金融危机中复苏的条件概率（在基本时间段内）和ZIRP区利率的假设值。3.1. ZBDT模型的校准为了进行校准，我们使用与BDT模型中相同的数据。该战略经过修改以应对新的未知因素，但遵循相同的理念。第一步仅使用y（1），我们得出结论，r=y（1）。方程为REB1,0=B1,1=B1,2=100，r0,1r1,1r1,2r2,1r2,2r2,3^p^p^p^pxxp1-qpq（a）B0，1B1，1B1，2B2，1B2，2B2，3r0，1r0，1r1，1r1，1r1，2r2，1r2，2r2，2r2，2r2，3B1，0B2，0xxxxxxx（b）图3：ZBDT利率树（a）和相应的zc债券（b），T=3，FV=100。B0,1=1+y（1）=1+r0,11- pB1,2+B1,1+ pB1,0！。在当前情况下，随机变量y取三个值：y=yu，具有概率^p，yd，具有概率^p，y，具有概率p。然后，log y与随机变量logyy具有相同的方差=logyuy，概率为p，logydy，概率为p，0，概率为p。log（Y/Y）的平均值为1- plogyuy+logydy！，thenvar logYy=1- plogyuy+洛基迪！-1.- plogyuy+logydy！！。引入符号\'u=logyuy，\'d=logydy。（3） 我们得到的VAR log y=1- p`u+`d-(1 - p） \'u\'d.（4）现在考虑利率，如果节点n- 1，j有两条边（即j=2，…，n），然后是节点状态方程（2）处的方差（与BDT情况相同）。