隐含夏普比率

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英文标题：
《The implied Sharpe ratio》
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作者：
Ankush Agarwal, Matthew Lorig
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In an incomplete market, including liquidly-traded European options in an investment portfolio could potentially improve the expected terminal utility for a risk-averse investor. However, unlike the Sharpe ratio, which provides a concise measure of the relative investment attractiveness of different underlying risky assets, there is no such measure available to help investors choose among the different European options. We introduce a new concept -- the implied Sharpe ratio -- which allows investors to make such a comparison in an incomplete financial market. Specifically, when comparing various European options, it is the option with the highest implied Sharpe ratio that, if included in an investor\'s portfolio, will improve his expected utility the most. Through the method of Taylor series expansion of the state-dependent coefficients in a nonlinear partial differential equation, we also establish the behaviour of the implied Sharpe ratio with respect to an investor\'s risk-aversion parameter. In a series of numerical studies, we compare the investment attractiveness of different European options by studying their implied Sharpe ratio.
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中文摘要：
在不完全市场中，将流动交易的欧洲期权纳入投资组合可能会提高风险厌恶投资者的预期终端效用。然而，与夏普比率（Sharpe ratio）不同的是，夏普比率提供了不同基础风险资产相对投资吸引力的简明衡量标准，没有此类衡量标准可帮助投资者在不同的欧洲选项中进行选择。我们引入了一个新概念——隐含夏普比率，它允许投资者在一个不完整的金融市场中进行这样的比较。具体而言，在比较各种欧洲期权时，如果将隐含夏普比率最高的期权包括在投资者的投资组合中，将最大程度地提高其预期效用。通过对非线性偏微分方程中状态相关系数的泰勒级数展开，我们还建立了隐含夏普比率相对于投资者风险厌恶参数的行为。在一系列的数值研究中，我们通过研究不同欧洲期权的隐含夏普比率来比较其投资吸引力。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-25 07:59:58 上传

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关键词：夏普比率 Mathematical Quantitative Differential coefficients

隐含的Sharpe ratioAnkush Agarwal马修·洛里基（MatthewLorigy）此版本：2019年8月15日摘要不完全市场，包括投资组合中流动交易的欧洲期权，可能会提高风险规避投资者的预期终端效用。然而，与夏普比率不同的是，夏普比率为不同基础风险资产的相对投资吸引力提供了一个简明的衡量标准，没有这样的衡量标准可以帮助投资者在不同的欧洲选项中进行选择。我们引入了一个新概念，即隐含夏普比率，它允许投资者在一个完整的金融市场中进行这样的比较。具体而言，在比较各种欧洲期权时，如果将其纳入投资者的投资组合，则隐含夏普比率最高的期权将最大程度地提高其预期效用。通过非线性偏微分方程中状态相关系数的泰勒级数展开方法，我们还建立了隐含夏普比率相对于投资者风险厌恶参数的行为。在一系列的数值研究中，我们通过研究不同的欧式期权的隐含夏普比率来比较其投资吸引力。关键词：夏普比率、偏微分方程渐近性、随机波动性、赫斯顿、倒数赫斯顿1简介夏普比率定义为投资组合预期收益与其标准偏差的比率，由夏普（1966）引入，作为共同基金绩效的简明衡量标准。自那以后，其他几项工作已经使用了不同设置的理念来衡量由风险资产组成的投资组合的绩效。Jensen（1969）考虑了不同风险对不同风险资产所需回报的影响。

他利用资本资产定价模型表明，可以通过观察投资组合的实际回报与该投资组合的预期回报之间的差异来比较投资组合，这取决于其系统风险水平和市场投资组合的实际回报。Merton（1969）提出了另一种投资组合选择方法，他通过效用函数的风险厌恶参数将投资者的风险偏好纳入其中。他考虑了一位在市场上交易风险资产以最大化其预期终端效用的投资者。在对数资产收益率正态分布且夏普比率恒定的假设下，他表明，假设相对风险厌恶效用函数恒定，投资者从夏普比率较高的资产中获得更高的预期效用。Hodges和Neuberger（1989）利用预期效用最大化的思想，为具有交易成本的市场中的未定权益创建最佳复制投资组合。他们的工作产生了在不完全市场中对未定权益进行独立定价的想法（参见Carmona（2008）的相关作品集）。差异定价框架允许在不完全市场中确定或有索赔的经济合理价格。在此类市场中，不可能使用基础风险资产的自我融资组合完美复制任何或有权益，并确定唯一价格（例如，关于不完整市场的完整数学特征，请参见第10.3Delbaen和Schachermayer（2006）节）。通常，由差异价格满足的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程通过数值求解。不久前格拉斯哥大学亚当·斯密商学院。电子邮件：ankush。agarwal@glasgow.ac.ukyDepartment华盛顿大学应用数学系。

电子邮件：mlorig@uw.eduinLorig（2018）是一个基于一类随机波动率模型的不完整市场框架，大致解决了欧洲期权差异价格的HJB方程。他开发了近似技术，用泰勒级数展开法求解具有状态相关系数的非线性偏微分方程，该方法是在一系列论文中开发的：Pagliarani和Pascucci（2012），Lorig et al.（2015），Lorig et al.（2017）。Lorig（2018）也提供了差异价格的相应近似隐含波动率。由于基础风险资产无法在不完全市场中完美对冲欧洲期权，因此希望创建投资组合的投资者可以通过将欧洲期权纳入其中而获益。这就提出了一个重要问题，即如何衡量市场上不同欧洲期权的投资吸引力。与夏普比率如何用于衡量基础风险集合的表现类似，本文引入了隐含夏普比率的概念，它可以被视为衡量欧洲期权对投资者的价值。通常，欧洲期权的价值根据其隐含波动率进行量化。在比较两种期权时，隐含波动率较高的期权被认为是更昂贵的期权。然而，期权的隐含波动率并不能反映其对投资者的价值。相对于不拥有期权，在给定的隐含波动率下买卖期权可能会增加或减少投资者的预期终端效用。本文定义的隐含夏普比率旨在解决衡量投资者期权价值的问题。在投资文献中，投资者的行为偏好是通过其效用函数的风险厌恶参数获得的。

许多经典的不确定性投资研究都推导出了关于风险规避参数的比较静力学。例如，众所周知，厌恶风险的投资者愿意支付更高的保费来为自己投保。Jewitt（1987）在存在额外不确定性源的情况下，扩展了风险规避参数的经典比较静态。Eeckhoudt等人（1995年）研究了成本和价格变化对风险厌恶的报童库存的影响，报童必须决定购买报纸，以便以后出售。同样，在我们的工作中，我们的目标是用模型参数和投资者的风险厌恶参数来表达隐含的夏普比率，以帮助投资者在具有不同行使和到期时间的欧式期权之间进行选择。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们定义了隐含夏普比率，并证明其在一般市场环境中的唯一性和存在性。在第3节中，我们引入了一个普遍的局部随机波动率模型，并根据模型参数和风险规避参数推导了隐含夏普比率的方程。在第4节中，我们使用泰勒级数展开技术来发展隐含夏普比的半显式近似。在第5节中，我们使用不同的本地随机波动率模型示例研究了隐含夏普比率的特殊形式，并说明了在现有选择中确定最合适的欧洲投资选项的重要性。

附录a-B中给出了计算不同模型下隐含夏普比率的数学证明和一系列公式。2隐含夏普比率考虑了无摩擦金融市场，包括一个无风险的固定价格资产和一个由基于过滤概率定义的实值半鞅表示的非分割支付风险资产空间(Ohm, F、 （Ft），P）满足通常条件。设W=（Wt）0≤t型≤t从初始财富水平w开始，在时间t投资πt股S的投资者的财富过程∈ R、 然后，财富过程wsatieswt=w+ZtπudSu，（1），其中π=（πt）0≤t型≤这是一个实值可预测的过程，因此上面的随机积分可以很好地定义。此外，我们假设投资者还拥有风险资产的欧式或有权益。在T>0的固定时间范围内，投资者交易风险资产，以最大化其预期终端效用。我们假设投资者的效用函数U:R→ R是严格凹的，严格递增的，属于C类∞（R） 具有完全不同的功能。投资对投资者的价值由定义如下的函数表示：定义1。具有财富过程（1）且拥有ν欧式未定权益的投资者的价值函数V，每个都具有支付函数ν（ST），定义为asV（t，s，w，ν）：=supπ∈∏Et、s、whUWT+νИ（ST）i、 0个≤ t<t，s>0，w，ν∈ R、 其中∏是一组可容许策略，给定为∏：=nπ：（πt）0≤t型≤可预测且E0、s、wZTπtdhS、Sit<∞o、 当ν<0时，投资者是未定权益的卖方，当ν>0时，投资者是买方。如果对于给定的欧式期权支付，我们可以明确求解V，我们可以确定投资者是否愿意出售或购买该欧式期权。

与欧洲期权的布莱克-斯科尔斯价格类似，当我们假设风险资产价格遵循几何布朗运动时，我们将默顿价值函数定义为投资者的价值函数。定义2。假设风险资产动态由Black-Scholes模型给出，其中dSt=uStdt+σStdBt，其中u∈ R是预期回报率，σ∈ R+是波动率，B=（Bt）t≥0是标准布朗运动。财富过程（1）投资者的默顿价值函数vm定义为vm（t，w；λ）：=supπ∈πEt，s，w[U（WT）]，其中λ：=uσ是夏普比。默顿值函数是关于λ的递增函数。因此，具有更高清晰度的风险资产将导致更高的默顿价值函数。正如隐含波动率用于将市场观察到的欧洲期权价格与Black-Scholes模型的欧洲期权价格联系起来一样，我们定义了隐含夏普比率，以将一般风险资产价格模型中的投资者价值函数与Black-Scholes模型中的默顿价值函数联系起来。定义3。假设一个具有财富过程（1）的投资者拥有单位价格p的ν欧洲风格的未定权益。进一步假设V（t，s，w–νp，ν）≥ 所有t的U（w）∈ [0，T]和任何大于0，w，ν的s∈ R、 然后，隐含夏普比是方程vm（t，w；∧）=V（t，s，w–νp，ν）的唯一正解∧，（2），其中vm是默顿值函数，V是投资者的值函数。根据上述定义，如果投资者假设风险资产价格遵循夏普比率∧的几何布朗运动，并且只投资于该风险资产，则在一般风险资产定价模型中，通过投资由风险资产和欧洲期权组成的投资组合，他将获得与他相同的预期效用。欧洲看涨期权和看跌期权通常根据其隐含波动率进行比较。

当插入Black-Scholes模型的欧洲买入/卖出公式时，隐含波动率提供期权的市场价格。然而，对于希望最大化其预期终端效用的投资者来说，它并没有提供期权价值的任何衡量标准。隐含夏普比率纠正了隐含波动率的这一缺点。通过隐含的夏普比率，我们可以将不完全市场中投资者的价值函数V与经典的默顿价值函数VM联系起来。这样做，我们的目标有两个：首先，通过计算ν>0（买入期权）或ν<0（卖出期权）的隐含Sharperatio，我们可以将其与ν=0（期权中无头寸）的情况进行比较。从定义3可以看出，与其他可能性相比，较高的隐含夏普比率将为希望在有限时间范围内实现预期终端效用最大化的投资者带来更高的价值。因此，隐含的夏普比率可以告诉我们，购买（ν>0）或出售（ν<0）或有索赔是否可以提高投资者的效用，而不仅仅是投资于期权基础的风险资产（ν=0）。也可以通过比较不同可能性（ν<0，ν>0，ν=0）对应的值函数直接进行比较。然而，正如我们稍后将看到的，在指数效用函数的情况下，隐含的夏普比率与初始财富水平无关。因此，它提供了投资价值的标准衡量标准，而不是依赖于财富起始水平的价值函数。其次，通过计算两个具有不同行使权和到期日的欧洲期权的隐含夏普比率，我们可以比较它们与投资者的相对价值。隐含夏普比率越高的欧式期权对投资者越有吸引力。

这样的比较可以在所有可用的欧洲期权中进行，从而使隐含夏普比率比隐含波动率更好地衡量投资期权的价值。隐含波动率是一个无单位的量，它提供了不同欧洲期权之间比其各自价格更好的比较。本着同样的精神，隐含的夏普比率允许在不同的欧洲选项之间进行更直观的比较，而不是它们各自的预期效用值，后者取决于初始财富。如前所述，在指数效用函数的情况下，隐含的夏普比率将独立于起始财富水平，因此它比直接观察价值函数更好，价值函数取决于起始财富。不同财富水平的投资者可以使用隐含的夏普比率来做出明智的投资决策，而不是使用价值函数。其次，我们建立了保证隐含夏普比存在唯一性的理论结果。定理1。（2）中定义的隐含夏普比率存在且唯一。证据函数VM（t，w；λ）是以下偏微分方程的解：tV–λ(wV）wV=0，V（T，w）=U（w）。（3） 它对于状态变量w也是严格递增和严格凹的。因此，我们有wVM<0。接下来，假设λ>λ，让VM（t，w；λ）和VM（t，w；λ）分别表示λ和λ的方程（3）的解。然后，我们得到tVM（t，w；λ）–λwVMwVM！（t，w；λ）wVM（t，w；λ）=tVM（t，w；λ）–λwVMwVM！（t，w；λ）wVM（t，w；λ）+λ– λwVMwVM！（t，w；λ）wVM（t，w；λ）>0。因此，VM（t，w；λ）是由VM（t，w；λ）求解的方程的子解，其终端条件与λ无关，且VM（t，w；λ）=VM（t，w；λ）。

因此，对于λ>λ和t<t，我们得到了VM（t，w；λ）>VM（t，w；λ）。换句话说，VMis严格地以λ递增。此外，对于任何λ，VM（t，w；λ）≥ U（w），它保证（2）的解的存在唯一性。在下一节中，我们将研究一类马尔可夫不完全市场模型中的隐含夏普比率。在缺乏隐含Sharpe比率的封闭式公式的情况下，我们使用Lorig（2018）开发的非线性偏微分方程的泰勒级数展开技术，找到风险规避参数和其他模型参数方面的半显式近似。3马尔可夫市场设置为了研究隐含夏普比率相对于市场参数的行为，我们专门研究马尔可夫市场模型的设置。我们假设S的动力学形式为st=expXt公司,dXt公司=u（Xt，Yt）–σ（Xt，Yt）dt+σ（Xt，Yt）dBXt，（4）dYt=c（Xt，Yt）dt+β（Xt，Yt）ρdBXt+p1–ρdBYt, （5） 其中BX=（BXt）0≤t型≤备用=（BYt）0≤t型≤皮重无关的布朗运动。我们假设随机微分方程组（4）-（5）允许一个唯一的强解（X，Y），适用于过滤F=（Ft）0≤t型≤T、 接下来，对于在时间T投资于S的货币的πT，投资者的财富过程满足以下等式：dwt=πtStdSt=πTu（Xt，Yt）dt+πTσ（Xt，Yt）dBXt。具有ν欧式期权且初始财富水平为w的投资者的价值函数为asV（t，x，y，w，ν）=supπ∈πEt，x，y，w[U（WT+νν（XT））]。假设每个具有付息函数Д和到期日T的欧洲期权都有价格p，该价格p是通过计算市场所选定价措施下的期权付息预期获得的。我们采用primalaphoach来求解V，并假设值函数属于C1,2,2（[0，T]×R）。