用对称Hawkes和

Choe和Lee（2014b）得出的thereturn[R，R]tin的三阶矩变化是测量thereturn分布偏度的有用量。此外，扩散过程的可处理性使我们能够轻松推导出以下公式。提案5。在时间为0的方差过程的平稳性条件下，可以导出下列矩条件[[R，R]t]=ρKwhereK=S2γθκκt- 1+e-κt+2γφθκκt- κt+1- e-κt-2γθφκκ(κ+ κ)(-κ- κ- κκ）t+（κκ+κ）t-κ+κκ（e-κt- 1) -κ+κκ（e-κt- 1） +κκ+κ（e-（κ+κ）t- 1).证据见F。如果价格过程中的漂移部分为零，即φ=0，则第三动量变化的预期为simplyE[[R，R]t]=2γρθSκκt- 1+e-κt≈2γρθSκt其中近似值适用于非常大的t。示例1。根据命题5，NP \\[R，R]iK→ ρ随着样本量的增加，其中\\[R，R]表示实现了三阶矩变化的有限和近似值。图6中ρ估计值的收敛性在模拟研究中绘制，参数设置为κ=1.15，φ=0.45，θ=2.8×10-4, κ= 0.85, γ = 0.0375, ρ = -0.5. i/K的样本平均值收敛到ρ。在模拟结果中，样本平均值为-0.4935，标准误差为0.0757。然而，应注意的是，样本数量应足以实现收敛。如果样本数量不足，最好使用近似似然法或3.4.200 400 600 800 1000中讨论的模拟似然估计-3.-2.-101ρ样本大小图6：ρ估计值的收敛图7：霍克斯模型和扩散类比3.3霍克斯模型和扩散模型的比较很好地描述了价格动态的微观结构，如阿斯特拉德聚类或微观结构噪音。

霍克斯模型直接描述了资产价格的逐点结构，数据应用于模型，无需进一步假设或数据修正。该模型的对数似然函数的闭合形式公式和非常可靠的数值算法，以确定适用的最大值。另一方面，差异法自然扩展了传统上用于描述资产价格变动的方法。请注意，本文中的差异模型不是霍克斯模型的严格数学变换。我们使用推导来提供直觉，而不是数学证明。因此，人们可以争论模型的合法性，例如，引入ρ，ρ被视为常数。然而，该模型继承了典型差异模型的优点。基于It'o calculusand PDE方法，有用公式的推导，如矩条件和分布性质，比基于泊松的Hawkes模型简单。由于长期以来对扩散模型进行了广泛研究，预计将有一个更方便的方面来应用现有理论或扩展模型。同时，扩散模型的最大似然估计通常更加复杂，因为密度函数的闭合形式公式在许多情况下不可用。在没有闭合形式似然函数的情况下，使用基于展开的似然函数方法（Ait-Sahalia等人，2008）、基于模拟的方法（Brandt和Santa Clara，2002）或广义矩量法（Garcia等人，2011；Bollerslev等人，2011）来估计参数。3.4模拟似然估计由于本文中扩散过程的准确似然公式几乎不可用，因此该估计基于Brandt和Santa Clara（2002）提出的模拟方法。

简而言之，该方法将两个观测点之间的间隔Tian和ti+1划分为长度为N的子间隔。从tiup到N模拟M个路径- 1使用离散化模型的子区间。最后一个值的转移概率函数平均值稳定2：最小勾号百分比（%）-中间价BAC CVX GE IBM JPM KO MCD T VZ XOM2007 79.91 83.29 55.70 78.16 75.41 73.71 79.15 84.57 70.142008 87.83 59.01 79.93 43.65 59.68 67.48 58 68.58 69.48 68.572009 88.19 70.36 93.84 56.98 72 80.10 84.51 82.14 82.06 86.792010 79.78 87.83 98.74 77.95.79 77 94.61 83.88 82.4082.71 86.982011 99.53 72.16 99.21 52.73 96.96 89.44 86.92 98.23 89.07 90.35表3：最小勾号百分比（%）-交易价格BAC CVX GE IBM JPM KO MCD T VZ XOM2007 92.70 69.86 97.26 64.40 90.34 89.81 87.23 94.74 93.11 79.782008 84.60 50.88 89.81 51.80 71.21 76.61 63.89 86 82.79 60.932009 98.89 72.34 98.39 59.03 89.15 80 42 97.44 93.67 82.472010 99.63 81.07 99.61 80.88 95.58 92.5985.65 99.15 98.19 92.362011 99.81 62.08 99.68 57.04 96.76 91.76 80.58 99.01 97.12 84.48到ti+1处观测值的模拟路径（基于离散化的正态分布近似）成为最大模拟似然。在实证研究中，由于原始数据基于勾号结构，因此数据被重新格式化以应用差异模型。大间隔，即ti+1-ti设置为1分钟，在该时间段内观察到大量事件，以获得近似值。图7显示了程序，每一分钟，观察到的价格就是构建差异化过程的基点，该过程位于tickstructure背后。

在区间内，离散化版本的扩散模型的路径用60个子区间进行模拟。4实证研究4.1数据对于实证研究，使用标准普尔500指数中10只股票的超高频数据。首先，作为原始数据，我们按照以下方式重新组织数据：o历史数据包括股票的最佳出价、询价以及它们在不同交易所的动态超交易时间。o选择纽约证券交易所（NYSE）10:00至15:30期间报告的每只股票的最佳买入和卖出报价的中间价动态，以避免市场早期或后期观察到的季节性影响在原始原始数据中，时间戳具有1秒分辨率。如果在一秒钟内多次报告价格变化，则等距间隔的价格变化将在一秒钟内重新分布中间价增量和减量的单位变化量是最低买卖价差的一半。如果价格增量或减量大于最小单位规模，则变化被视为具有最小规模的连续变动的总和。在最近的数据中，最小变化的百分比在许多符号中都非常高，如表2所示。