三阶方差掉期尾部套期组合的绩效

此外，在市场动荡中，有义务向买方支付浮动部分的掉期卖方可能难以付款。1990 1995 2000 200501234561990 1995 2000 20050.511.522.533.5图3：交易成本为0.2%（左）和0.5%（右）的对冲组合价值的动态掉期与错误方式风险相关，因为买方对交易对手的敞口与卖方的信用风险相关。如果标的资产价格暴跌，那么掉期商向买方支付的款项往往会增加，但在这种资产价格暴跌的情况下，卖方也很可能面临严重的市场和信用风险。将错误方式和交易对手风险降至最低的一种方法是集中清算。中央对手方（CCP）承担着双边交易的对手方信用风险，如利率和信用违约掉期，中央对手方在全球范围内的作用日益增强。第三时刻变动掉期也可以标准化，因此预计将通过CCP进行交易。3偏微分方程在本节中，计算了随机波动率模型下具有第三时刻变动掉期的尾部对冲投资组合的概率密度函数。由于尾部对冲组合分布的分析公式未知，本文提出了aPDE和一种数值方法来计算尾部对冲组合的概率密度函数。假设资产回报过程R遵循平方根随机波动模型（如Heston（1993）所报告）：dRt=u -及物动词dt+PVTDWSTDVTVT=κ（θ- Vt）dt+γpVtρdWst+p1- ρdWvt其中wS和Wvare是独立的标准布朗运动。然后，第三个动量变化过程用[R，R]t=2ZtRsd[R]s=2ztrsvsds表示，其中我们使用d[R]s=Vtds。

注意，我们不假设零漂移或风险中性漂移，但在物理概率下使用漂移u，并且u隐含在被积函数RSV中。如前一节所述，考虑持有对冲投资组合的投资者，该投资组合由第三时刻变动掉期的底层资产S和βS成员组成，即接受流动资产-βS[R，R]T，成熟度为T。为简单起见，假设Swap的固定支腿为零。保值投资组合在[0，T]上的对数回报近似为xt=log装货单- βS[R，R]TS≈ RT公司- β[R，R]T=RT- 2βZTRSVSD。现在，我们解释了计算对冲投资组合分布的向后和向前方法。3.1反向方法为了计算投资组合回报分布的概率密度函数，首先，考虑基于费曼-卡克定理的反向方法。投资组合回报的时间t条件特征函数isu（r，v，t）=EheiφXTRt=r，Vt=vi=E经验值-2iφβZTtRsVsdseiφRTRt=r，Vt=v.然后，根据该定理，u（r，v，t）满足以下偏微分方程（PDE）ut型+u -vur+κ（θ- 五）uv+vur+γvuv+ργvurv=2iφβrvu，终端条件u（r，v，T）=eiφr。我们可以导出具有足够数量网格点的特征函数∈ [φmin，φmax]通过上述初始点r=0和v=v的偏微分方程，并通过离散傅立叶变换计算对冲投资组合的概率密度函数。这种方法的缺点是，PDE的边界条件没有得到很好的定义，当我们在PDE上应用数值程序时，这会导致错误。

因此，我们采用向前的方法来计算概率密度函数。3.2正向逼近我们有关于投资组合转向动力学的三维随机微分方程：dXtdRtdVt=u -及物动词- 2βRtVtu-Vtκ（θ- Vt）dt公司+√及物动词√Vt0γρ√Vtγp1- ρ√及物动词dWxtdWstdWvt其中，Wxis是其他地方未使用的虚拟变量。方差协方差矩阵表示为√及物动词√Vt0γρ√Vtγp1- ρ√及物动词0 0 0√及物动词√Vtγρ√Vt0 0γp1- ρ√及物动词=VtVtγρVtVtVtγρVtγρVtγρVtγρVtγVt.通过前向Kolmogorov方程，也称为Fokker-Planck方程，我们推导出了三维随机向量（Xt，Rt，Vt）的联合概率密度函数f（x，r，v，t）的DE，其中x=Xt，r=RTA，v=Vtattime t：ft=-u -v- 2βrvfx个-u -vfr-vκ（θ- v） f+vfx+vfr+γvvf+vfx个r+ργx个vvf+ργr初始条件f（x，r，v，0）=δ（x）δ（r）δ（v- v） 其中δ表示狄拉克三角函数。PDE的空间域是三维的。对于数值过程，减少空间的维数是很方便的。由于x仅在微分算子中出现在偏微分方程中，我们对x应用f（x，r，v，t）的傅立叶变换：^f（r，v，t；φ）=Z∞-∞f（x，r，v，t）e-iφxdx。关于x areF的偏导数的Fourier变换fx个= iφ^f，ffx个= -φ^f.将上述傅立叶变换应用于偏微分方程，我们得到^ft型=-u+v+iφv+ργ^fr+v^fr+-κ(θ - v） +γ+iργφv^fv+γv^fv+ργv^fr五+iφ-u+v+2βrv-φv+iργφ+κ^f（1），初始条件为^f（r，v，0；φ）=δ（r）δ（v- v） 。

当φ=0时，PDEis的解在平方根随机波动率模型下简化为联合概率密度函数（Rt，Vt），如图4所示。为简洁起见，设ur（r，v）=-u+v+iφv+ργ，σr（r，v）=v，uv（r，v）=-κ(θ - v） +γ+iργφv，σv（r，v）=γv，α（r，v）=iφ-u+v+2βrv-φv+iργφ+κ。然后我们可以重写^ft=ur（r，v）^fr+σr（r，v）^fr+uv（r，v）^fv+σv（r，v）^fv+ργv^frv+α（r，v）^f。我们还为第三时刻变化的联合概率密度函数g（y，r，v，t）构造了一个偏微分方程，其中y=Yt：=[r，r]t，r=rta，v=Vt，时间t为三维随机向量（Yt，Rt，Vt）：g级t=-2rvg级y-u -vg级r-vκ（θ- v） g+vg级r+γvvg+ργrvvg（2）00.10-0.5v-0.250.2r0200.250.30.540图4：当φ=0时，等式（1）的解是Heston模型中收益和方差的联合概率密度函数。转换后的PDE相对于y表示为^gt型=-u+v+ργ^gr+v^gr+{-κ(θ - v） +γ}^gv+γv^gv+ργv^grv+(-2iφrv+κ）^g。现在我们解释数值方法的细节，以解决偏微分方程（1）。变换后的偏微分方程的有限差分法用于计算联合分布的数值解。空间域被限制在有界区域[rmin，rmax]×[0，vmax]，其中rmin=-rmax。收益率r和波动率v空间的网格点的数目相等，N表示该数目，使得rmin=r<···<rN=rmaxand0=v<··<vN=vmax。返回和挥发空间网格点的差异大小表示为r和v、 分别为。当nr<ri<rNand v<vj<vN时，使用中心差分方案计算r和v方向的导数。

在该方案下，偏导数近似为^fr（ri，vj）≈^fi+1，j-^fi-1，j2r^fr（ri，vj）≈^fi+1，j- 2^fi，j+^fi-1，j(r）^frv（ri，vj）≈^fi+1，j+1-^fi-1，j+1-^fi+1，j-1+^fi-1，j-14vr、 其中，为了简单起见，省略了时间符号t，并且根据我们的数值程序，^fi，jis是^f（ri，vj）的近似值。类似地，关于v的导数是近似的。当rior Vjh作为空间网格的边界值时，我们使用单边差分格式，例如，^fr（r，vj）≈^f2，j-^f1，jr^fr（r，vj）≈^f3，j- 2^f2，j+^f1，j(r） 。对于时间离散，使用Peacemanand Rachford（1955）的交替方向隐式（ADI）方法。首先隐式处理r的方向，然后隐式处理v的方向。在下一隐式步骤中，显式格式产生的误差将通过减小的误差来减小。明确计算混合导数项。时间点的分布与差异相同t、 在两个离散时间点t和tn+1之间，有一个中间点tn+1/2。为了应用ADI方案，我们有一个中间步骤的有限差分公式。

对于1<i<N，^fn+1/2i，j-^fni，jt/2=ur（ri，vj）^fn+1/2i+1，j-^fn+1/2i-1，j2r+σr（ri，vj）^fn+1/2i+1，j- 2^fn+1/2i，j+^fn+1/2i-1，jr+uv（ri，vj）^fni，j+1-^fni，j-12v+σv（ri，vj）^fni，j+1- 2^fni，j+^fni，j-1(v） +ργvj^fni+1，j+1-^fni-1，j+1-^fni+1，j-1+^fni-1，j-14rv+α（ri，vj）^fn+1/2i，j。我们重写ur2r-σr(r）^fn+1/2i-1，j+t+2σr(r）- α^fn+1/2i，j+-ur2r-σr(r）^fn+1/2i+1，j=bi，j（3），其中bi，j=^fni，jt+uv^fni，j+1-^fni，j-12v+σv^fni，j+1- 2^fni，j+^fni，j-1(v） +ργvj^fni+1，j+1-^fni-1，j+1-^fni+1，j-1+^fni-1，j-14rvand没有混淆，设ur=ur（ri，vj），类似地，对于uv，σr，σvandα。当i=1时，使用单侧差异方案，我们有^fn+1/21，j-^fn1，jt/2=ur^fn+1/22，j-^fn+1/21，jr+σr^fn+1/23，j- 2^fn+1/22，j+^fn+1/21，j(r） +uv^fn1，j+1-^fn1，j-12v+σv^fn1，j+1- 2^fn1，j+^fn1，j-1(v） +ργvj^fn2，j+1-^fn1，j+1-^fn2，j-1+^fn1，j-12rv+α^fn+1/21，jandt+urr-σr(r）- α^fn+1/21，j+-urr+2σr(r）^fn+1/22，j-σr(r） ^fn+1/23，j=b1，j.（4），其中b1，j=^fn1，jt+uv^fn1，j+1-^fn1，j-12v+σv^fn1，j+1- 2^fn1，j+^fn1，j-1(v） +ργvj^fn2，j+1-^fn1，j+1-^fn2，j-1+^fn1，j-12rv、 类似地，当i=N时，我们有-σr(r） ^fn+1/2N-2，j+urr+2σv(r）^fn+1/2N-1，j+t型-urr-σv(r）- α^fn+1/2N，j=bN，j（5），其中bN，j=^fnN，jt+uv^fnN，j+1-^fnN，j-12v+σv^fnN，j+1- 2^fnN，j+^fnN，j-1(v） +ργvj^fnN，j+1-^fnN-1，j+1-^fnN，j-1+^fnN-1，j-12rv、 设^fn+1/2jand bj表示分别由^fn+1/2i、jand bi、j组成的第j列向量。然后，对于每个j，我们有一个矩阵乘法形式a（j）r^fn+1/2j=bj（6），其中a（j）是除第一行和最后一行之外的三对角矩阵：a（j）r=a（r，j）1,1a（r，j）1,2a（r，j）1,3··0 0a（r，j）2,1a（r，j）2,2a（r，j）2,30 0。。。。。。。。。。。。。。。0.........0 0 a（r，j）N-1，N-2a（r，j）N-1，N-1a（r，j）N-1，N0 0···a（r，j）N，N-2a（r，j）N，N-1a（r，j）N，N其中条目由等式确定。（3） ，（4）和（5）。例如，如果1<1<N，则byEq。

（3） ，我们有一个（r，j）i，i=t+2σr（ri，vj）(r）- α（ri，vj）a（r，j）i，i-1=ur（ri，vj）2r-σr（ri，vj）(r） a（r，j）i，i+1=-ur（ri，vj）2r-σr（ri，vj）(r） 。矩阵是稀疏的，方程（6）的解可以有效地求解。下一步，我们在v方向上隐式应用有限差分方案。对于1<j<N，我们有^fn+1i，j-^fn+1/2i，jt/2=ur^fn+1/2i+1，j-^fn+1/2i-1，j2r+σv^fn+1/2i+1，j- 2^fn+1/2i，j+^fn+1/2i-1，jr+uv^fn+1i，j+1-^fn+1i，j-12v+σv^fn+1i，j+1- 2^fn+1i，j+^fn+1i，j-1(v） +ργvj^fn+1/2i+1，j+1-^fn+1/2i-1，j+1-^fn+1/2i+1，j-1+^fn+1/2i-1，j-14rv+α^fn+1i，j.We重写uv2v-σv(五）^fn+1i，j-1+t+2σv(五）- α^fn+1i，j+-uv2v-σv(五）^fn+1i，j+1=ci，j（7），其中ci，j=^fn+1/2i，jt+uv^fn+1/2i+1，j-^fn+1/2i-1，j2r+σv^fn+1/2i+1，j- 2^fn+1/2i，j+^fn+1/2i-1，jr+ργvj^fn+1/2i+1，j+1-^fn+1/2i-1，j+1-^fn+1/2i+1，j-1+^fn+1/2i-1，j-14rv、 与前一步类似，当j=1或j=N时，我们使用单侧不同的模式t+uvv-σv(五）- α^fni，1+-uvv+2σv(v） vj公司^fni，2-σv(v） ^fni，3=ci，1（8）和-σv(v） ^fni，N-2+uvv+2σv(五）^fni，N-1+t型-uvv-σv(v） vj公司- α^fni，N=ci，N（9），其中ci，1和ci，由上一步中的单侧方案定义。因此，对于每个矩阵，我们有一个原始向量为^fnian和cniA（i）v的矩阵乘法形式^fniT=（cni）T其中表示非共轭转置和a（i）v=a（v，i）1,1a（v，i）1,2a（v，i）1,3··0 0a（v，i）2,1a（v，i）2,2a（v，i）2,30 0。。。。。。。。。。。。。。。

0.........0 0 a（v，i）N-1，N-2a（v，i）N-1，N-1a（v，i）N-1，N0 0···a（v，i）N，N-2a（v，i）N，N-1a（v，i）N，N其中，条目由等式（7）、（8）和（9）确定。假设模型中的参数满足Feller条件，以保证方差过程的正性：2κθ>γ，则边界条件为^f（rmin，v，t；φ）=^f（rmax，v，t；φ）=^f（r，0，t；φ）=^f（r，vmax，t；φ）=0。-40-20 0 20 40-0.200.20.40.60.811.2赫斯顿对冲-40-20 0 20 40-0.2-0.100.10.2 HestonhedgedFigure 5：特征函数的实（左）和虚（右）部分，β=0（虚线）和40（实线）3.3概率密度函数通过执行数值程序，我们得到图5中绘制的XTas特征函数，参数设置为κ=18，θ=0.1，γ=1，ρ=-0.62，T=0.1。在图中，为基础资产（虚线）和β=40（实线）的对冲投资组合显示了特征函数的实部（左）和虚部（右）。通过对特征函数的变换，我们计算了（XT，RT，VT）的联合概率密度函数。通过应用ADI格式，与显式格式相比，数值过程所需的时间要少得多，因为确保数值稳定性所需的时间步长比显式格式大得多。在ADI方案中，空间网格为[Rmin，Rmax]=[-0.5，0.5），[Vmin，Vmax]=[0，0.3]，r=0.025和v=0.0075，我们得到了稳定的结果t=0.001。同时，对于显式方法，t需要在2×10左右-4使用相同的空间栅格时。图6显示了与模拟数据的直方图相比，对冲数β=40且T=0.1的基础资产（左）和对冲组合（右）的概率密度函数。模拟的样本量为10。

图7显示了对冲组合回报（实数）与基础资产回报（虚线）的概率密度函数，不同对冲数字β=10、20、30、40、50和60。与基础资产的分布相比，对冲投资组合具有更像高斯的细尾分布。表2列出了各种对冲数字β=0、10、…、的组合回报分布的数值计算平均值、标准偏差、偏度和峰度，60.该表表明，当β介于30和40之间时，投资组合回报的偏度约为零，峰度最小。这一结果与模拟研究一致，模拟研究中报告的最佳对冲数为38.42。对于第2节中解释的实证分析，采用相同的方法进行了模拟研究。图8显示了年化三阶矩变化的概率密度函数-0.4-0.2 0 0.2 0.40246-0.4-0.2 0.2 0.40246图6：模拟数据的概率密度函数和柱状图：基础资产（左）和对冲组合（右）表1：参数设置为u=0.05，κ=18，θ=0.1，γ=1，ρ=-0.62和T=0.1年β平均标准偏差偏度峰度0.0041 0.0964-0.4281 3.374110 0.0071 0.0861-0.3097 3.226620 0.0100 0.0766-0.1875 3.157430 0.0129 0.0683-0.0671 3.1563400.0158 0.0618 0.0600 3.158650 0.0188 0.0575 0.2296 3.218460 0.0216 0.0560 0.4275 3.2131由PDE验证2）。正如预期的那样，三阶矩变化的分布是左偏的。Peaceman和Rachford二维ADI格式的局部截断误差称为O((t） +(r） +(v） ）。换言之，由数值过程的一次迭代引起的误差以C为界((t） +(r） +(v） ）对于某些常数C。

由于对冲投资组合概率分布的封闭式公式不存在，因此很难通过比较精确解和数值解来证明整个迭代的全局截断误差。另一方面，仅对于标的资产，根据本程序计算的回报率p.d.f.可以与从Heston型模型的已知特征函数中检索到的p.d.f.进行比较：c（ψ）=exp-（iψ+ψ）θξcoth（ξT）+κ-iγρψ+κθT（κ-iγρφ）γ+iψuTcoshξT+κ-iγρψξsinhξT2κθγ（10），其中ξ=pγ（ψ+iψ）+（κ- iγρψ）。在上面的公式中，V=θ是为了简单起见，就像在数值过程中一样。结果如图9所示，由均方根测量的全局误差-0.4-0.2 0 0.2 0.40246 Hestonhedged（a）β=10-0.4-0.2 0 0.2 0.40246 Hestonhedged（b）β=20-0.4-0.2 0 0.2 0.40246 Hestonhedged（c）β=30-0.4-0.2 0 0.2 0.40246 Hestonhedged（d）β=40-0.4-0.2 0 0.2 0.40246 Hestonhedged（e）β=50-0.4-0.2 0 0.2 0.40246 Hestonhedged（f）β=60图7：与Heston模型下的基础资产（虚线）相比，具有各种对冲数字β（实线）的概率密度函数-0.1-0.05 0.05 0.1010200304050图8：三阶矩变量的概率密度函数0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 000.050.10.15图9：分区大小的全局截断误差检查数值PDE解与从公式（10）中检索到的p.d.f之间的误差（RMSE）。对于分析，空间网格设置在r=[-0.8，0.8]和v=[0，0.8]。时间步长为0.00001，到期日为T=0.1。全局误差是整个过程中的总误差r=0.05、0、04、····、0.005、0.004。方差的步骤，v、 也相应地改变，使得r中的分区数等于v中的分区数。