三阶方差掉期尾部套期组合的绩效

结果表明，随着分区大小的减小，RMSE收敛到零。例如，当r=0.004，RMSE为3.19×10-4，非常接近于零。由于对冲投资组合的p.d.f.的数值分析基于相同的方法，因此对冲投资组合收益分布的数值解具有相同的精度。4跳跃扩散随机波动在本节中，我们考虑一个具有跳跃回归过程的随机波动跳跃扩散模型：Rt=Ztu -Vs公司ds+ZtpVsdWss+X0<s≤t型RsVt=Ztκ（θ- Vs）ds+ZtγpVsρdWss+p1- ρdWvs.则第三个力矩变化为[R，R]t=2ZtRsVsds+X0<s≤t型卢比卢比对冲投资组合回报率近似为byXT≈ RT公司- 2βZTRSVSD- βX0<s≤t型卢比（Rs）=Ztu -Vs公司- 2βRSVds+ZtpVsdWss+X0<s≤t型卢比- β卢比卢比=Zt公司u -Vs公司- 2βRSVds+ZtpVsdWss+X0<s≤田纳西州卢比- 2βRs-(卢比）- β (Rs）我们在哪里使用卢比- β卢比卢比= 卢比- β卢比（卢比- 卢比-)= 卢比- β卢比（卢比- 卢比-)（卢比+卢比-)= 卢比- β卢比（卢比- 卢比-)（2Rs-+ 卢比- 卢比-)= 卢比- 2βRs-(卢比）- β (卢比）。注意，通过对方差E【Vt】的长期预期≈ θ、 我们有-] =u -θs、 通过假设跳转大小RSI独立于当前回报水平Rs-, 投资组合收益跳跃部分的预期由跳跃测度J的积分形式表示X0<s≤田纳西州卢比- 2βRs-(卢比）- β (卢比）o=Z[0，t]×Rz- 2βu -θsz公司- βzJ（ds×dz）=λZtZRz- 2βu -θsz公司- βzψ（z）dzds。对于最后一个等式，我们假设跳跃过程遵循密度函数ψ为跳跃大小的正态分布和强度参数λ为单位时间内跳跃次数的泊松分布。跳转大小和到达时间是相互独立的。此外，假设收益的跳跃部分是鞅，即[Rs]=0，因此ψ的平均值为零。

该方程意味着，如果在时间s时资产回报过程r中存在大小为z的跳跃，则存在大小为zX（s）的跳跃：=z-2βu -θsz公司-βzin投资组合回报过程X.考虑两次连续可微分函数h（X，r，v，t），使得，对于0≤ t型≤ T，h（x，r，v，T）=E[h（XT，RT，VT）| x=XT，r=RT，v=VT]，终端条件h（XT，RT，VT）。跳转大小的条件期望表示为[h（Xt，Rt，Vt，t）| Xt-, Rt公司-, Vt]=ZRh（Xt-+ zX（t），Rt-+ z、 Vt，t）ψ（z）dz- h（Xt-, Rt公司-, Vt，t）。从这个角度来看，定义微分积分算子byLh（x，r，v，t）=u -v- 2βrvh类x个+u -vh类r+κ（θ- 五）h类v+vh类x+vh类r+γvh类v+ργvh类x个v+ργvh类rv+vh类x个r+λZRh（x+zX（t），r+z，v，t）ψ（z）dz- h（x、r、v、t）（11） 以及它的L-伴随，在这个意义上，hLu，wi=hu，L*wi，对于内积小于·、·>大于L（R）的所有u和w，byL*f（x，r，v，t）=-x个u -v- 2βrvf-ru -vf-vκ（θ- v） f级+xvf+rvf公司+vγvf+x个vργvf+rvργvf+x个rvf+λZRf（x- zX（t），r- z、 v，t）ψ（z）dz- f（x，r，v，t）. （12） 众所周知，等式中涉及导数的部分。（11） 和（12）相互伴随。

对于集成部分，我们显示ZRh（x+zX（t），r+z，v，t）ψ（z）dz，f（x，r，v，t）=ZRZRh（x+zX（t），r+z，v，t）f（x，r，v，t）ψ（z）dzdxdrdv=ZRZRh（x，r，v，t）f（x- zX（t），r- z、 v，t）ψ（z）dzdxdrdv=h（x，r，v，t），ZRf（x- zX（t），r- z、 v，t）ψ（z）dz.应用它的公式，我们得到h（Xt，Rt，Vt，t）=Zth（Xs-, 卢比-, Vs，s）左+右（Xs-, 卢比-, Vs，s）ds+ZtpVsh（Xs-, 卢比-, Vs，s）x+PVh（Xs-, 卢比-, Vs，s）rdWst+ZtγpVsh（Xs-, 卢比-, Vs，s）vdWvs+X0<s≤t型h类- λtE[h（Xt，Rt，Vt，t）| Xt-, Rt公司-, 最后三行是鞅，通过将上述方程第一行的被积函数设置为零，我们得到了一个后向偏微分积分方程：h类t+Lh=0。此外，我们还得到了联合概率密度函数f和伴随算子的正演方程ft=L*f（13），初始条件f（x，r，v，0）=δ（x）δ（r）δ（v- v） 。关于跳跃扩散模型的福克-普朗克或正演方程的进一步和严格信息，请参见Pappalardo（1996）、Andersen和Andreasen（2000）、Hanson（2007）、Bentata和Cont（2009）、Bentata和Cont（2015）。与前一节一样，我们使用PDE（13）计算（Xt，Rt，Vt）的联合概率密度函数。为了降低维数，我们对x进行傅里叶变换，变换后的偏微分方程为^ft型=-u+v+iφv+ργ^fr+v^fr+-κ(θ - v） +γ+iργφv^fv+γv^fv+ργv^fr五+iφ-u+v+2βrv-φv+iργφ+κ- λ^f+λZRe-izX（t）φ^f（r- z、 v，t；φ） ψ（z）dz。通过应用前一节中解释的数值程序，在随机波动率跳跃扩散模型下计算概率密度函数。在本研究中，λ=20，跳跃大小的标准偏差σj=0.01。对于返回和挥发性参数，u=0.05，κ=18，θ=0.05，γ=1，ρ=-0.62.

图10显示了与模拟数据的直方图相比，对冲数β=45且T=0.1的基础资产（左）和对冲投资组合（右）的概率密度函数。模拟的样本大小为10。图11中显示了对冲组合回报（实数）与标的资产回报（虚线）的概率密度函数，不同对冲数字β=15、30、45和60。如前一节所述，与基础资产的分布相比，对冲投资组合具有更多类似高斯的细尾分布。-0.4-0.2 0 0.2 0.402468-0.4-0.2 0.2 0.402468图10：随机波动率和跳跃差异下模拟数据的概率密度函数和柱状图：基础资产（左）和对冲组合（右）表2：参数设置为u=0.05，κ=18，θ=0.05，γ=1，ρ=-0.62，λ=20，σj=0.02，T=0.1yearsβ平均标准偏差峰度0.0012 0.0759-0.5955 3.975715 0.0039 0.0682-0.4245 3.558930 0.0065 0.0612-0.2663 3 3.288945 0.0091 0.0552-0.1289 3.143360 0.0117 0.0506 0.0107 3.1072表2列出了各种对冲组合回报分布的数值计算平均值、标准偏差、偏度和峰度数字β=0，15， 30, 45, 60.当β介于45和60之间时，投资组合回报的偏度约为零，峰度最小。该结果与模拟研究一致，其中最优套期保值数为45.21.5。结论计算了三阶矩变量掉期尾部套期保值投资组合的概率密度函数。该方法基于关节密度函数偏微分方程的交替方向隐式数值分析。

计算出的密度函数表明，在Heston的随机波动率和跳差随机波动率模型下，掉期适当地消除了基础资产的倾斜和厚尾风险。在未来的工作中，将需要一种更快的方法来计算概率密度函数，因为偏微分方程方法具有时间复杂性。因此，计算出的概率函数可用于确定掉期的最佳套期保值数量，以消除-0.4-0.2 0 0.2 0.402468 JDS对冲（a）β=15-0.4-0.2 0 0.2 0.402468 JDS对冲（b）β=30-0.4-0.2 0 0.2 0.402468 JDS对冲（c）β=45-0.4-0.2 0 0.2 0.402468 JDSVhedged（d）β=60图11：与随机波动率跳跃差异（SVJD）模型（虚线）倾斜和尾部风险下的标的资产相比，具有不同对冲数字β（实数）的概率密度函数。参考Sandersen，L.和Andreasen，J.（2000）。跳跃扩散过程：波动率微笑拟合和期权定价的数值方法。衍生品研究综述，4:231–262。Andersen，T.G.，Bollerslev，T.，Diebold，F.X.，和Labys，P.（2003）。建模和预测灰色波动率。《计量经济学》，71:579–625。Bakshi，G.、Kapadia，N.和Madan，D.（2003年）。股票回报特征、倾斜定律和个人股票期权的差异定价。《金融研究回顾》，16:101–143。Barndor Off-Nielsen，O.E.和Shephard，N.（2002）。已实现波动率的计量经济学分析及其在估计随机波动率模型中的应用。皇家统计学会杂志：B辑（统计方法），64:253–280。Barndor Off-Nielsen，O.E.和Shephard，N.（2004）。随机波动和跳跃的功率和双功率变化。《金融计量经济学杂志》，2:1-37。Bentata，A.和Cont，R.（2009年）。模仿半鞅的边际分布。arXiv预印本arXiv:0910.3992。本塔塔，A。

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