保险公司现金流量的非参数建模

图6显示了在报告日期后的相应时间间隔内报告的索赔所需储量的点和区间估计。已发生的未决索赔可通过两种方式进行估算，即索赔准备金和IBNR之间的差额，即135、556、927- 35759781=99797146P。其次，作为预期未决索赔的总和，前提是S>S（tk），即Mt（S）=nXk=1Mk（S | S>S（tk），δk=1）。第二个计算选项理论上允许我们估计已报告未决索赔的分布函数和相应准备金的区间估计。5估计精度考虑到拟定算法对保险公司财务流建模的实际应用前景，保险公司非参数建模现金流的估计精度19表5 IBNR随时间的分布预计索赔（百万P）标准预计间隔（百万P）天数下限平均偏差上限值限额（百万P）索赔【0，90】7.006 9.095 11.184 1.270 143.91【90，180】4.131 5.861 7.592 1.052 83.25【180，270】3.181 4.829 6.477 1.002 62.41[270, 360) 2.654 4.286 5.919 0.992 50.21[360, 450) 2.166 3.741 5.315 0.957 39.65[450, 540) 1.497 2.918 4.338 0.864 28.29[540, 630) 0.847 2.059 3.271 0.737 18.18[630, 720) 0.384 1.384 2.384 0.608 11.22[720, 810) 0.085 0.901 1.716 0.496 6.73[810, 900) 0.000 0.486 1.095 0.371 3.25[900, 990) 0.000 0.200 0.602 0.244 1.11[9901080）0.000 0.000 0.000 0.000 0.00400 600 800 1000 1200损失报告时间（日）0246810损失（百万便士）图。

6预期索赔随时间的分布（IBNR和95%浓度带的平均值）20 Valery Baskakov、Nikolay Sheparnev和Evgeny Yanenko表6模型的主要参数平均索赔额索赔频率分布参数：τ~ Γ（k，θ）s~ lnN（a，σ）M（s）=100 P（s>0）=0.2θ=1000σ=0.9k=1 a=lnM（s）-σ他们从样本中获得的参数，其大小足以提供给保险商的数据，这是特别令人感兴趣的。选择IBNR作为一个参数，以完整地描述财务流量的估计精度。事实上，为了计算参数，需要估计二维分布函数f（s，τ）以及一些附加参数。因此，IBNR估计精度允许我们评估其计算中涉及的所有参数的准确性。利用基于数学模型的随机建模对准备金估计的准确性进行研究，该数学模型充分详细地模拟了真实保险公司的流程，包括保单的订立和终止、索赔的发生、报告和结算。假设索赔金额为对数正态分布，索赔发生与报告日期之间的时间为伽马分布，则在SAS环境中进行随机建模（见表6）。保险组合规模从100到100000份同类型保单不等，索赔频率从0.03到0.3不等。

对于模型的每一组固定参数值，至少生成K=1000个样本，以估计其基础上的IBNR估计的百分比误差和置信限。建模算法如下：设置模型的输入参数，包括平均索赔M（s）和索赔频率P（s>0）ii对n份保单的保险组合进行建模，并计算已发生但未报告的索赔金额ii形成多维截尾样本，并根据上述方法构建分布函数F（s，τ）的估计iv通过公式（16）v重复步骤（ii）-（iv）至少K次vi评估IBNR评估IBNR估计的百分比误差和相应的置信限。请注意，在步骤（ii）中计算的未报告索赔的总和是随机的，因为它是在建模过程中由于多个随机变量的相关性而形成的，理论上等于IBNR。让我们将其预期值设置为Mt（R）。然后可以计算IBNR估计的百分比误差，例如，通过公式K=Mt（s）Mt（R），（20）非参数建模保险公司现金流2110000 1000000样本大小0.00.51.01.52.02.53.0 IBNRFig的相对误差。7 IBNR百分比误差取决于样本大小，其中Mt（s）在步骤（iv）中通过公式（16）进行估计。图7显示了IBNR估计的相对误差（20）的依赖性及其98%容差区间的限制，这取决于由策略数量决定的样本大小。图表显示，在建模所取的样本中，所研究参数的预期值有轻微偏移，绝对值不超过5%。此外，对于500份及以上保单的样本，该算法给出的IBNRestimate有点夸张，可以解释为精算准备金。

随着样本量的增加，IBNR估计的百分比误差方差急剧减小。从数量上看，它如下所示：随着样本量增加1000倍（从100个策略增加到100000个策略），误差方差减少了700倍以上。接下来，图7中的图表显示，在2000个或更多的样本量下，公差范围变得与其预期值对称，这几乎与本例中的中值一致。图8中的3个样本大小图清楚地显示了相对误差密度分布形状与样本大小的关系：250、1000和10000个政策。因此，建模结果表明，在足够大的样本量下，IBNR估计分布接近正态分布。这证实了表达式（19）可用于计算公差限值。例如A将公式（19）中98%公差区间的计算结果与模拟中获得的结果进行直接比较（从10000份保单样本中估算储量，从22 Valery Baskakov、Nikolay Sheparnev和Evgeny Yanenko0.951.00 1.05 1.10 1.15 1.2040 0000.9 1.0 1.1 1.2 1.310 0000.5 1.0 1.5 2 2 010 000 2 4 625 0%.图8 IBNR标准化值的分布密度取决于1000份储量估算样本的样本大小）表明后一个区间宽5.9%，样本量为40000份保单，这一差异仅为0.8%。6总结与结论本文提出了一种基于多维分布函数F（s，τ）构建定量统计模型的原始方法，该函数是基于保险公司的保险单（包括可扣除的保单）和发生的索赔数据构建的。

一些俄罗斯保险公司关于非人寿保险合同的实际数据说明了拟议方法的一些机会。从而得出净保费、索赔频率、索赔准备金（包括IBNR和OCR）的点估计和区间估计。由此得出的索赔准备金估计值属于基于传统准备金法（链梯法、频率严重性法和BornhuetterFerguson法）计算得出的合理估计值范围。所提议的方法基于对公司多维分布函数和财务指标的加性估计，从某种意义上讲，它们是作为对样本（索赔）中每个元素分别构建的估计的总和来计算的。这允许使用所提议的方法对保险公司23的非参数现金流建模，尤其是解决保险组合特定部分和/或时间间隔之间的准备金再分配问题。通过统计建模检验了基于所提出方法的保险公司财务参数估计的准确性。IBNR被用作测试参数。

建模结果表明，拟议储量估计值具有令人满意的准确性。与传统方法相比，拟议方法的优势是显而易见的——它使得仅假设用于估计分布函数F（s，τ）的样本的随机性和同质性，就可以对公司财务指标的更多数量进行估计（这是应用大多数统计方法时最常用的假设）。同样，随机性和同质性的假设是该方法的主要缺点，因为该假设在实践中并不总是成立的：（1）由于通货膨胀，索赔规模取决于日历时间；（2）在构建分布估计F（s，τ）时，不考虑理赔时间。然而，索赔金额通常与结算时间相关。第一个问题可以通过标准方法轻松解决，即将所有付款安排在固定日期。第二个问题只能部分解决，例如使用分布函数F（s，τ*), 其中坐标τ替换为沉降期τ*k=τk- τk（见表2）。由于报告的未决索赔信息变得不太确定，审查集的结构将同时发生变化，这客观上降低了分布函数估计的准确性。这如图3和图9所示，图3和图9代表了具有相同值k的样本元素。尽管存在这些缺点，但对于使用的一列宽图，所提出的方法相当能抵抗模型与理论模型的某些偏差（尤其是索赔规模和结算日期之间存在的相关性），因此建议在精算实践中使用。本文只考虑了一种处理截尾样本的方法，即qED估计（9）。

事实上，使用截尾数据估计分布的方法集与使用完整数据的方法集一样多种多样。它包括参数极大似然法、广义最小距离法以及加性估计、核估计和其他估计。统计评价的性质在很大程度上取决于截尾样本的结构和大小，因此不可能为所有情况提供一种最优的评价方法；由于这个原因，需要大量的创造性才能解决所讨论的问题。参考文献1。Baskakov V，Bartunova A（2019）截尾和截尾寿命数据多元分布函数的非参数估计。欧元。精算师。J、 9:209–23924 Valery Baskakov、Nikolay Sheparnev和Evgeny Yanenko05 10 15 20τ*25 50 75 100 s k=5 k=1 k=12 k=11图。9二维向量（s，τ）的截尾集*)2、Baskakova A、Baskakov V（2014）国际复兴开发银行根据一家保险公司的多变量传感数据进行储量估算。精算师（俄语）5:21–253。Baskakov V，Baskakov I（2010），关于非人寿保险中的费率制定和其他任务。精算师（俄语）4:37–414。Baskakov V（1996）关于多元删失数据的经验分布模拟。数学科学杂志81（4）：2779–27855。本杰明B（1977）《普通保险》，伦敦海涅曼6。Dempster A，Laird N，Rubin D（1977）不完全数据的最大似然估计。J R Stat Soc，Ser B 39:1–387。Klein JP，Moeschberger ML（2003）《生存分析：截尾和截断数据的技术》。纽约斯普林格，第5368页。Schmidt KD，Zocher M（2008）《博恩胡埃特-弗格森原则》。方差推进风险科学2（1）：85–110