GARCH强度模型下的风险中性期权定价

对于A，我们定义q（A）=ZAZ（T）dP∈ F、 （6）引理4.7。根据（6）中的测量值Q，对于每个ti-1<t≤ ti，条件分布（N+（t）- N+（ti-1） ）| F（ti-1） 和（N-（t）- N-（ti-1） ）| F（ti-1） 是新强度为λ+（ti）的泊松分布-1） andeλ-（ti-1） ，分别为。此外，δ+，j在Q证明下具有概率密度函数f。定义Z±，i（t）如引理4.6的证明。对于常数u，wehaveEQ[exp{u（N+（t））- N+（ti-1） ）}| F（ti-1） ]=EPexp{u（N+（t））- N+（ti-1） ）}Z（t）Z（ti-1)F（ti-1)= EP[exp{u（N+（t））- N+（ti-1） ）}Z+，i（t）Z-,i（t）| F（ti-1） ]=EP[经验值{u（N+（t））- N+（ti-1） ）}Z+，i（t）| F（ti-1） ]EP[Z-,i（t）| F（ti-1） ]=EP[经验值{u（N+（t））- N+（ti-1） ）}Z+，i（t）| F（ti-1） ]和[exp{u（N+（t））- N+（ti-1） ）}Z+，i（t）| F（ti-1） ]=EPexp{u（N+（t））- N+（ti-1） ）+（λ+（ti-1) -eλ+（ti-1） ）（t- ti公司-1） }×expN+（t）Xj=N+（ti-1） +1对数λ+（ti-1） ef（δ+，j）λ+（ti-1） f（δ+，j）F（ti-1)= exp{（λ+（ti-1) -eλ+（ti-1） ）（t- ti公司-1） }×EP经验值N+（t）Xj=N+（ti-1） +1u+logeλ+（ti-1） ef（δ+，j）λ+（ti-1） f（δ+，j）！F（ti-1).PutY+，j=u+对数λ+（ti-1） ef（δ+，j）λ+（ti-1） f（δ+，j），设Φ为Y+，j的条件矩母函数，即Φ（z）=EP[exp（zY+，j）| f（ti-1)].注意Φ（1）=eλ+（ti-1） λ+（ti-1） euEP“ef（δ+，j）f（δ+，j）F（ti-1） #=eλ+（ti-1） λ+（ti-1） euZ公司∞-∞ef（x）f（x）f（x）dx=eλ+（ti-1） λ+（ti-1） 欧盟。ThenEP公司经验值N+（t）Xj=N+（ti-1） +1Y+jF（ti-1)= exp{λ+（ti-1) (Φ(1) - 1） （t- ti公司-1)} .注意EP[exp{u（N+（t））- N+（ti-1） ）}Z+，i（t）| F（ti-1） ]=exp（λ+（ti-1) -eλ+（ti-1） +λ+（ti-1） eλ+（ti-1） λ+（ti-1） 欧盟- 1.（t- ti公司-1） ）=exp{eλ+（ti-1） （欧盟- 1） （t- ti公司-1） }，这是强度为eλ+（ti）的泊松分布的矩母函数-1). 因此N+（t）-N+（ti-1） | F（ti-1） 是强度为λ+（ti）的泊松分布-1). 对于N-（t）- N-（ti-1） ，证明是一样的。对于引理的其余部分，为了确定δ±，junder Q的分布，检查δ+，1在Q下的分布就足够了。在不失去一般性的情况下，假设第一跳，即。

随机变量δ+，1的出现时间小于t。因此，对于常数u，我们有eq[euδ+，1]=EP[euδ+，1Z（t）]=EP[euδ+，1Z+，1（t）Z-,1（t）Z（t）/Z（t）]=EP经验值（λ+（t）-eλ-（t） （）t+N+（t）对数λ+（t）λ-（t）×euδ+，1ef（δ+，1）f（δ+，1）N+（t）Yj=2ef（δ+，j）f（δ+，j）.最后一个等式成立，因为给定的随机变量独立且自[Z]起-,1（t）]=EZ（T）Z（T）= 此外，由于独立性和EP经验值（λ+（t）-eλ-（t） （）t+N+（t）对数λ+（t）λ-（t）= 1（当δ为常数时，引理4.6）和p“ef（δ+，j）f（δ+，j）#=1。最后我们得到eq[euδ+，1]=EP“euδ+，1ef（δ+，1）f（δ+，1）#=Z∞-∞euxef（x）f（x）f（x）dx=Z∞-∞euxef（x）dx表示δ+，1在Q下有一个概率密度函数f。对于一般j，证明是相同的。风险中性分布的选择EF+andef-与风险中性测度下对数收益率条件分布的稳健性有关。这与分布f+和f-与物理测量下的偏度有关。现在我们证明了在等价鞅测度Q下，折扣股价过程是阿马丁格尔过程。定理4.8。在（6）定义的度量Q下，我们得到了eq[e-r（t-u） S（t）| F（u）]=0<u<t<t时的S（u）。证据取u，t，使ti-1.≤ u<t≤ ti。公式[S（u）| F（t）]=公式S（t）膨胀N+（t）Xj=N+（u）+1δ+，j-N-（t） Xj=N-（u） +1δ-,jF（t）= 均衡器S（t）膨胀N+（t）Xj=N+（u）+1δ+，j-N-（t） Xj=N-（u） +1δ-,jZ（t）Z（u）F（t）= S（t）exp{（λ+（ti-1) -eλ+（ti-1) + λ-（ti-1) - λ-（ti-1） ）（t- u） }×EP经验值N+（t）Xj=N+（u）+1δ+，j+logeλ+（ti-1） ef（δ+，j）λ+（ti-1） f（δ+，j）！F（t）×EP经验值-N-（t） Xj=N-（u） +1δ-,j+对数λ-（ti-1） ef（δ-,j） λ-（ti-1） f（δ-,j） 哦！F（t）.设φW+为W+的条件矩母函数，j=δ+，j+logeλ+（ti-1） ef（δ+，j）λ+（ti-1） f（δ+，j）给定过滤f（t）。

那么φW+（1）=EP[eW+，j | F（t）]=eλ+（ti-1） λ+（ti-1） EP“eδ+，jef（δ+，j）f（δ+，j）F（t）#=eλ+（ti-1） λ+（ti-1） Z∞-∞exef（x）f（x）f（x）dx=eλ+（ti-1） λ+（ti-1） eφδ+其中eφδ+在定义4.4中定义。亨塞普经验值N+（t）Xj=N+（u）+1δ+，j+logeλ+（ti-1） ef（δ+，j）λ+（ti-1） f（δ+，j）！F（u）= exp{λ+（ti-1） （t- u） （φW+（1）- 1） }=exp{（eλ+（ti-1） eφδ+- λ（ti-1） ）（t- u） }andEQ[S（u）| F（t）]=S（t）expn（λ+（ti-1) -eλ+（ti-1） +λ+（ti-1) -eλ+（ti-1） ）（t- u） o×exp{（eλ+（ti-1） eφδ+- λ+（ti-1） +eλ-（ti-1） eφδ+- λ-（ti-1） ）（t- u） }=S（t）exp{（eλ+（t）eφδ+-eλ+（t）+eλ-（t） eφδ+-eλ-（t） ）（t- u） }=S（t）er（t-u） 。最后一个相等是由于定义4.4（i）。通过应用tower性质，我们得到了任意u和t.5的期望结果。引入了GARCH强度模型的风险中性期权定价框架。给出了等价鞅测度，从而计算了该测度下的风险中性期权价格。该框架与波动率微笑和利差等实证特征相一致。该理论很容易推广到广义的盖奇强度模型。参考文献[1]Babsiri，M.E.和Jean-Michel Zakoian。2001，《计量经济学杂志》101:257–294。[2] Bakshi，G.和Dilip Madan。2006，《管理科学》52:1945-1956。[3] Black，F.和Myron S.Scholes。1973年，《政治经济学杂志》81:637–654。[4] Bollerslev，T.1986年。计量经济学杂志31:307–327。[5] Choe，G.H.和Kyungsub Lee。2014年，AStA统计分析进展98:197–224。[6] Duan，J.-C.1995年。数学金融5:13–32。[7] Elliott，R.J.和P.Ekkehard Kopp。随机分析与应用8:157–167。[8] 格罗斯滕、拉维·贾甘纳森和大卫·E·伦克尔。1993年，《金融杂志》48:1779-1801。[9] Harrison，J.M.和David M.Kreps。1979年，《经济理论杂志》20:381-408。[10] Harrison，J.M.和Stanley R.Pliska。1981

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