GARCH强度模型下的风险中性期权定价

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英文标题：
《Risk-neutral option pricing under GARCH intensity model》
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作者：
Kyungsub Lee
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The risk-neutral option pricing method under GARCH intensity model is examined. The GARCH intensity model incorporates the characteristics of financial return series such as volatility clustering, leverage effect and conditional asymmetry. The GARCH intensity option pricing model has flexibility in changing the volatility according to the probability measure change.
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中文摘要：
研究了GARCH强度模型下的风险中性期权定价方法。GARCH强度模型综合了金融收益序列的特征，如波动率聚类、杠杆效应和条件不对称。GARCH强度期权定价模型具有根据概率测度变化改变波动率的灵活性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Risk-neutral_option_pricing_under_GARCH_intensity_model.pdf (303.16 KB)

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关键词：GARCH 期权定价 ARCH ARC RCH

GARCH-intensitymodelKyungsub-Lee下的风险中性期权定价*摘要研究了GARCH强度模型下的风险中性期权定价方法。GARCH强度模型结合了金融收益序列的特征，如波动率聚类、杠杆效应和条件不对称。GARCH强度期权定价模型具有根据概率测度变化改变波动率的灵活性。1引言本文在GARCH强度模型下建立了风险中性的期权定价框架。金融资产收益率序列具有有趣的特征。在一系列财务回报中，大波动率往往跟随大波动率，小波动率往往跟随小波动率，这被称为波动率聚类。杠杆效应表明，今天的波动率与过去的回报率呈负相关。条件对称性是当前和过去波动率之间的非对称相关性，取决于当前和过去回报率是正还是负。各种GARCH模型很好地捕捉到了这些特征。原始GARCH模型很好地描述了波动率聚类。[13] [12]、[8]和[14]结合了杠杆效应，[1]捕捉了条件不对称。[5]引入的GARCH强度模型还描述了金融资产价格动态中的波动率聚类、杠杆效应和条件不对称，并基于泊松型强度过程。风险中性期权定价是一种确定标的资产金融期权无套利价格的方法。期权定价理论*江南大学统计系、庆山、庆博38541、韩国【3】和【11】基于风险中性定价框架。[9]和[10]研究了风险中性定价与无套利原则之间的关系。

[6] 解释了GARCHmodel下的风险中性期权定价。本文将风险中性定价思想推广到GARCHintensity模型。论文的其余部分组织如下：第2节回顾了GARCH强度模型。第三节研究了GARCH强度模型下风险中性期权定价的数学分析。第四节将期权定价理论扩展到广义GARCH强度模型。第5节总结了本文。2 GARCH强度模型首先，我们回顾了文献[5]中介绍的GARCH强度模型。在该模型中，资产价格过程的运动由两个具有时变强度过程的泊松型过程描述。概率空间(Ohm, F=F（T），P），过滤F（T），0≤ t型≤ T，给出。假设2.1（[5]）。给出了F（t）自适应r.c.l.l.过程N+（t），N-（t） 正F（t）自适应r.c.l.l.过程λ+（t），λ-（t） 对于0≤ t型≤ t满足以下条件：（i）（离散观测时间）t=t/N和ti=it、 0个≤ 我≤ N（ii）（有条件分配）（N±（t）- N±（ti-1） ）| F（ti-1） 具有强度为λ±（ti）的泊松分布-1） （t- ti公司-1） ，ti-1.≤ t型≤ ti。亨塞普（N±（ti）- N±（ti-1） =k | F（ti-1） ）=（λ±（ti）-1)t） kk！经验值(-λ±（ti-1)t） 。（iii）（条件独立）N+（t）-N+（ti-1） 和N-（t）-N-（ti-1） a条件独立给定F（ti-1） ，ti-1.≤ t型≤ ti。（iv）（分步过程）λ+（t）=λ+（ti-1） 和λ-（t） =λ-（ti-1） ，ti-1.≤ t<ti。（v） （可预测性）λ+（ti）取决于N±（ti-k+1）和λ±（ti-k） ，1≤ k≤我- 1，与λ类似-（ti）。（vi）（资产价格）当常数δ>0时，价格过程isS（t）=S（0）exp（δ（N+（t））- N-（t） ））。在时间t价格上涨时，S（t）=eδS（t-) 或S（t）=e-δS（t-) 取决于跳跃的方向。

资产价格也可以由一个随机微分方程表示，该方程由bydS（t）=（eδ）给出- 1） S（t）-)dN+（t）+（e-δ- 1） S（t）-)dN-（t） 。LetX（ti）=对数（ti）S（ti-1） 是该期间的日志返回值[ti-1，ti]。然后由mi=X（ti）δ=N+（ti）定义的整数值随机变量- N-（ti）- （N+（ti-1) - N-（ti-1） ）在F（ti）上具有条件骨架分布-1） f（m |λ+（ti-1), λ-（ti-1） ）=经验值{-λ+（ti-1) - λ-（ti-1)}λ+（ti-1)λ-（ti-1)m/2I | m |（2pλ+（ti-1)λ-（ti-1） 式中，Ia是由Ia（x）定义的第一类修正贝塞尔函数=∞Xk=0k！Γ（k+a+1）x个2k+a。由于存在条件概率密度的闭合形式，因此可以很容易地使用最大似然估计。定义2.2（日志返回分解）。用u（ti）={（eδ）定义u（ti）、γ（ti）、ε（ti）- 1） λ+（ti-1） +（e-δ- 1)λ-（ti-1)}tγ（ti）={（eδ- 1.- δ） λ+（ti-1） +（e-δ- 1 + δ)λ-（ti-1)}tε（ti）=X（ti）- E[X（ti）| F（ti-1)].回想一下，在假设2.1下，E[X（ti）| F（ti-1） ]=δ（λ+（ti-1) - λ-（ti-1))tVar（X（ti）| F（ti-1） ）=δ（λ+（ti-1) + λ-（ti-1))tE[exp（X（ti））| F（ti-1） ）=exp（u（ti））和x（ti）=u（ti）- γ（ti）+ε（ti），其中u（ti）是漂移项，γ（ti）是It^o校正因子，ε（ti）是aF（ti）-时间间隔内发生的可测量冲击-1，ti]。如[5]中所述，为了捕获波动率聚类，应用了GARCH[4]类型的建模：λ±（ti）=ω±+α±ε（ti）+β±λ±（ti-1） 对于某些常数ω±、α±和β±。如果β+=β-= β在GARCH强度模型中，得到了GARCH型时变波动率。为了说明这一点，假设h（ti）是ti处提前一步的回报条件变量，那么h（ti）=Var（X（ti）| F（ti-1))/t=δ（λ+（ti-1) + λ-（ti-1） ）和h（ti）=δ（ω++ω-) + βh（ti-1) + δ(α++ α-)ε（ti-1). （1） 这与GARCH中的条件方差模型是一致的。

此外，我们还考虑了GJR[8]GARCH型强度模型：λ±（ti）=ω±+α±ε（ti）+β±λ±（ti-1） 其中i（ti）=1，ε（ti）<00，ε（ti）≥ 0.3风险中性期权定价我们通过构造一个等价测度，提出了强度模型的期权定价方法，在此等价测度下，贴现股票价格过程为阿马丁格尔过程。我们假设标的资产不支付股息，letr>0为无风险利率。下面我们为等价鞅测度选择新的强度。定义3.1。取一对正r.c.l.l.自适应步进过程eλ+andλ-使得（eδ- 1） eλ+（t）+（e-δ- 1） eλ-（t） =r.（2）（我们认为右侧等于r，因为左侧在风险中性度量下被视为漂移。）（i） LetD（t）=λ+（t）+λ-（t）-eλ+（t）-eλ-（t） 对于0≤ t型≤ T，设U（0）=0，对于ti-1<t≤ 潮汐指数（t）=（N+（t）- N+（ti-1） ）对数λ+（t）λ+（t）+（N-（t）- N-（ti-1） ）logeλ-（t） λ-（t） 。（ii）设Z（0）=1，对于ti-1<t≤ 潮汐线Z（t）=Z（ti-1） exp{D（t）（t- ti公司-1） +U（t）}。定理3.2。{Z（t）}0≤t型≤这是一个P-鞅。证据对于ti-1<t≤ ti，定义Z+、i（t）和Z-,i（t）乘以Z±（ti-1） =1和dz±，i（t）=Z±，i（t-)eλ±（ti-1) - λ±（ti-1） λ±（ti-1） d（N±（t）- λ±（ti-1） t）。ThenZ±，i（t）=exp（λ±（ti-1) -eλ±（ti-1） ）（t- ti公司-1） +（N±（t）- N±（ti-1） ）logeλ±（ti）-1） λ±（ti-1).（有关证明的详细信息，请参见【7】。）自N±（t）起-λ±（ti-1） t是鞅，Z±，i（t）是ti的鞅-1.≤ u<t和henceE[Z±，i（t）| F（ti-1)] = 1.注意Z+，i（t）Z-,i（t）=Z（t）Z（ti-1).自N+（t）起- N+（ti-1） 和N-（t）- N-（ti-1） 条件独立给定F（ti-1） ，我们有Z（t）Z（ti-1)F（ti-1)= E[Z+，i（t）| F（ti-1） ]E[Z-,i（t）| F（ti-1)] = 1.取s，t，使tj-1<s≤ tjand s<t。

ThenE[Z（tj）| F（s）]=Z（s）and[Z（t）| F（s）]=EZ（t）Z（ti-1） Z（ti-1） Z（ti-2） ×···×Z（tj+1）Z（tj）Z（tj）F（s）= EEZ（t）Z（ti-1） Z（ti-1） Z（ti-2） ×···×Z（tj+1）Z（tj）Z（tj）F（ti-1)F（s）= EZ（ti-1） Z（ti-2） ×···×Z（tj+1）Z（tj）Z（tj）EZ（t）Z（ti-1)F（ti-1)F（s）= EZ（ti-1） Z（tt-2） ×···×Z（tj+1）Z（tj）Z（tj）F（s）...= E[Z（tj）| F（s）]=Z（s）。定义3.3。定义等效概率度量Q byQ（A）=A的ZAZ（T）dP∈ F、 现在我们改变强度。引理3.4。N~+和N的强度-Q下由λ+和λ给出-, 分别地证据因为{N+（t）- N+（u）}| F（u）具有ti的泊松分布-1.≤u<t≤ ti，我们有EPexp{ηi（N+（t））- N+（u））}F（u）= exp{λ+（ti-1） （t- u） （eηi- 1） }对于F（ti-1） -可测量的随机变量ηi。我们将证明Q和λ+的相似性成立。定义Z±，i（t），如定理3.2的证明所示。对于常数ξ，我们有eq[exp{ξ（N+（t））- N+（ti-1） ）}| F（ti-1） ]=EPexp{ξ（N+（t））- N+（ti-1） ）}Z（t）Z（ti-1)F（ti-1)= EP[exp{ξ（N+（t））- N+（ti-1） ）}Z+，i（t）Z-,i（t）| F（ti-1） ]=EP[经验{ξ（N+（t））- N+（ti-1） ）}Z+，i（t）| F（ti-1） ]EP[Z-,i（t）| F（ti-1） ]=EP[经验{ξ（N+（t））- N+（ti-1） ）}Z+，i（t）| F（ti-1） ]=EPexp{ξ（N+（t））- N+（ti-1） ）+（λ+（ti-1) -eλ+（ti-1） ）（t- ti公司-1） }×exp（（N+（t））- N+（ti-1） ）logeλ+（ti-1） λ+（ti-1))F（ti-1)= exp{（λ+（ti-1) -eλ+（ti-1） ）（t- ti公司-1） }×EP“exp（（N+（t））- N+（ti-1） ）ξ+logeλ+（ti-1） λ+（ti-1)!)F（ti-1） #=exp{（λ+（ti-1) -eλ+（ti-1） ）（t- ti公司-1） }×exp（λ+（ti-1） eλ+（ti-1） λ+（ti-1） eξ- 1.（t- ti公司-1） ）=exp{eλ+（ti-1） （eξ- 1） （t- ti公司-1） }其中，最后一个表达式是强度为λ+（ti）的泊松分布的矩母函数-1） （t- ti公司-1). 对于N-（t）- N-（ti-1） ，车顶相同。如定义2.2所示，我们根据eλ+、eλ定义eγ（ti）和eε（ti）-Q.eγ（ti）={（eδ- 1.- δ） eλ+（ti-1） +（e-δ- 1+δ）eλ-（ti-1)}teε（ti）=X（ti）- 等式[X（ti）| F（ti-1)].ThenX（ti）=rt型- eγ（ti）+eε（ti）。定理3.5。

贴现股价过程是一个Q鞅，即0≤ u≤ t型≤ TEQ[e-rtS（t）| F（u）]=e-ruS（u）。证据根据塔的性质，必须考虑以下情况：-1.≤ u<t≤ ti。自{N±（t）起- N±（u）}| F（u）具有λ±（ti）强度-1） （t- u） 在q下，我们有EQ[S（t）| F（u）]=EQ[S（u）exp{δ（N+（t）- N+（u）- N-（t） +N-（u） ）}| F（u）]=S（u）EQ[exp{δ（N+（t）- N+（u））}| F（u）]EQ[经验值{-δ（N-（t）- N-（u） ）}| F（u）]=S（u）exp{eλ+（ti-1） （t- u） （eδ- 1） }exp{eλ-（ti-1） （t- u） （e）-δ- 1） }=S（u）er（t-u） 。基本上，GARCH强度期权定价模型具有根据度量变化改变波动率的灵活性。这使我们能够构建一个与波动性扩散一致的GARCH强度期权定价模型。如果我们考虑λ+andeλ的特殊情况-满足附加条件λ+（t）+eλ-（t） =λ+（t）+λ-（t） 。（3） 由于D（t）=0，我们有z（t）=expNXi=1（N+（ti）- N+（ti-1） ）logeλ+（ti-1） λ+（ti-1） +（N-（ti）- N-（ti-1） ）logeλ-（ti-1)λ-（ti-1).自δ（eλ+（ti-1） +eλ-（ti-1))t是给定F（ti）的q下X（ti）的条件方差-1） ，我们有varq（X（ti）|F（ti）-1） ）=VarP（X（ti）| F（ti-1） ）用于1≤ 我≤ N、 我们在图1中绘制了隐含波动率微笑图。使用蒙特卡罗方法中表1中的参数设置，我们生成了5×10样本价格路径。隐含波动率采用Black-ScholesMerton模型计算。左侧面板表示30天到期的隐含波动率，右侧面板表示60天到期。0.9 1 1.1 1.2 1.30.060.070.080.090.1Moneynes（K/S）默示成熟度=30天0.9 1 1.1 1.2 1.30.060.070.080.090.1Moneynes（K/S）默示成熟度=60天图1:GJR：波动率微笑：成熟度30天和60天（从左到右）表1:GJR强度模型δ2.0×10的参数设置-3ω+8.50 × 10-2β+9.39 × 10-1α+9.79 × 10γ+1.09 × 10ω-7.28 × 10-2β-9.42 × 10-1α-8.49 × 10γ-1.07×10备注3.6。

假设λ±（t）=λ±andeλ±（t）=eλ±对于某些常数λ±andeλ±对于每个t，并假设欧洲看涨期权价格attime t由c（t，S（t））=等式e给出-r（T-t） （S（t）- K） +| F（t）]，其中Q是条件方差保持度量。根据I^to公式，我们有-rtc（t，S（t））=c（0，S（0））+A（t）+Zthc（u，eδS（u））- c（u，S（u））id（N+（u）-eλ+u）+Zthc（u，e-δS（u））- c（u，S（u））id（N-（u）-eλ-u） 式中（t）=中兴通讯-俄罗斯- rc（u，S（u））+ct（u，S（u））+eλ+hc（u，eδS（u））- c（u，S（u））i+eλ-hc（u，e-δS（u））- c（u，S（u））i杜。请注意，e-rtc（t，S（t）），N+（t）-eλ+t和N-（t）-eλ-t是Q-鞅。因此A（t）是鞅，被积函数应该为零。因此，c满意度-钢筋混凝土（t，S）+ct（t，S）+eλ+hc（t，eδS）- c（t，S）i+eλ-hc（t，e-δS）- c（t，S）i=0。对于小δ，考虑以下近似值：c（t，e±δS）- c（t，S）≈ （e±δ- 1） ScS（t，S）+（e±δ- 1） ScS（t，S）。然后-钢筋混凝土（t，S）+ct（t，S）+eλ+（eδ- 1） ScS（t，S）+（eδ- 1） ScS（t，S）+eλ-（e）-δ- 1） ScS（t，S）+（e-δ- 1） ScS（t，S）≈ -钢筋混凝土（t，S）+ct（t，S）+eλ+（eδ- 1） ScS（t，S）+δScS（t，S）+eλ-（e）-δ- 1） ScS（t，S）+δScS（t，S）≈ 0和Eqs。（2） （3）得到了Black-Scholes-Merton偏微分方程-钢筋混凝土（t，S）+ct（t，S）+rScS（t，S）+hScS（t，S）=0，其中h=δ（λ++λ）-).4 GARCH强度模型的推广本节的目标是为之前的模型提供一个推广版本，在该模型中，假设受新闻影响的股票价格变化大小由独立且相同分布的随机变量表示。假设4.1。资产价格过程的假设（i）–（v）与假设2.1（i）–（v）相同，我们需要一个附加条件：（vi）（资产价格）资产价格S（t）满意度（t）=S（0）expN+（t）Xj=1δ+，j-N-（t） Xj=1δ-,j对于一些i.i.d.随机变量δ+，j>0和δ-,j> 0，j≥ 引理4.2。

在假设4.1下，我们有e[X（ti）| F（ti-1） ]=（(R)δ+λ+（ti-1) -δ-λ-（ti-1))tandVar（X（ti）| F（ti-1） ）=（δ+λ+（ti-1) +δ-λ-（ti-1))t其中δ±=E[δ±]和δ±=E[δ±]。证据回想一下x（ti）=N+（ti）Xj=N+（ti-1） +1δ+，j-N-（ti）Xj=N-（ti-1)+1δ-,j、 现在使用以下事实：每个条件分布N±（ti）Xj=N±（ti-1） +1）δ±，jF（ti-1） 是复合泊松分布。注意，根据δ+和δ的分布-, 该模型允许对数返回X（t）的条件分布具有梯度性。例如，如果δ分布的尾部-大于δ+分布的尾部，则对数收益X（t）的条件分布呈负偏态。定义4.3。我们定义u（ti）=（φδ+- 1） λ+（ti-1)t+（φδ-- 1)λ-（ti-1)tγ（ti）=（φδ+- 1.-？+λ+（ti-1)t+（φδ-- 1.-δ-)λ-（ti-1)tε（ti）=X（ti）- E[X（ti）| F（ti-1） 其中φδ+=E[Eδ+]，和φδ-= E【E】-δ-]分别地注意，通过直接计算，我们得到x（ti）=u（ti）- γ（ti）+ε（ti）。（4） 出现平均校正因子γ（ti）是因为我们使用对数回归建模，这意味着e[exp（ε（ti））| F（ti-1） ]=E[经验值{-E[X（ti）| F（ti-1） ]+X（ti）}F（ti）-1） ]=经验值{-E[X（ti）| F（ti-1） ]}×E经验值N+（ti）Xj=N+（ti-1） +1δ+，jF（ti-1)×E经验值N-（ti）Xj=N-（ti-1)+1δ-,jF（ti-1)利用复合泊松分布的性质，我们得到了e[exp（ε（ti））| F（ti-1） ]=exp{（φδ+- 1.-？+λ+（ti-1)t+（φδ-- 1.-δ-)λ-（ti-1)t} =exp（γ（ti））。未来股价的提前一步预期可以表示为漂移项u（ti）乘以当前股价的指数，即isE[S（ti）| F（ti-1） ]=S（ti-1） exp（u（ti）- γ（ti））E[exp（ε（ti））| F（ti-1） ]=S（ti-1） exp（u（ti））。扩展版本的网格强度模型的等价鞅测度的推导与前一版本相似。定义4.4。

设f±是δ±的概率密度函数，f±分别是一些概率密度函数（在等价鞅测度下是δ±的期望概率密度函数）。（i） Leteφδ+=等式[eδ+]=Z∞-∞exef+（x）dx，eφδ-= 等式[e-δ-] =Z∞-∞e-xef公司-（x） dxandeλ+andeλ-是两个r.c.l.l.适应的阶跃过程，满足方程（eφδ+- 1） eλ+（ti）+（eφδ-- 1） eλ-（ti）=rt（5）对于每个i，andeλ±（t）=eλ±（ti-1） 对于ti-1.≤ t<ti。（ii）假设eλ+（t）和eλ-（t） 都是积极的过程。Letκi-1=eλ+（ti-1) - λ+（ti-1） +eλ-（ti-1) - λ-（ti-1） ，Qi-1（t）=N+（t）Xj=N+（ti-1） +1logλ+（ti-1） f（δ+，j）eλ+（ti-1） ef（δ+，j）+N-（t） Xj=N-（ti-1） +1logλ-（ti-1） f（δ-,j） eλ-（ti-1） ef（δ-,j） ，对于整数0≤ 我≤ N、 定义Z（0）=1，Z（t）=Z（ti-1） 经验值(-κi-1（t- ti公司-1) - 气-1（t））表示ti-1<t≤ ti，递归。备注4.5。注意F（ti-1） -可测随机变量κi-当鞅测度收益分布的条件方差等于物理测度下的方差时，1为零。Qi（t）取决于F（t）随机变量N±和δ。引理4.6。对于0≤ t型≤ T，E[Z（T）]=1。证据对于ti-1<t≤ ti，definez+，i（t）=exp（λ+（ti-1) -eλ+（ti-1） ）（t- ti公司-1） +N+（t）Xj=N+（ti-1） +1对数λ+（ti-1） ef（δ+，j）λ+（ti-1） f（δ+，j）Z-,i（t）=经验(λ-（ti-1) -eλ-（ti-1） ）（t- ti公司-1） +N-（t） Xj=N-（ti-1） +1对数λ-（ti-1） ef（δ-,j） λ-（ti-1） f（δ-,j）.然后Z+、i（t）和Z-,i（t）是F（t）-可测且满足[Z+，i（t）| F（ti-1） ]=1和[Z-,i（t）| F（ti-1)] = 1.注意Z+，i（t）Z-,i（t）=Z（t）Z（ti-1).自N+（t）起- N+（ti-1） 和N-（t）- N-（ti-1） 有条件地独立于F（ti-1） ，我们有Z（t）Z（ti-1)F（ti-1)= E[Z+，i（t）| F（ti-1] E[Z]-,i（t）| Fi-1] = 1.最后，对于0<t≤ T，我们有E[Z（T）]=EZ（t）Z（ti-1） Z（ti-1） Z（ti-2). . .Z（t）Z（t）Z（t）Z（t）Z（0）= EEZ（t）Z（ti-1） Z（ti-1） Z（ti-2). . .Z（t）Z（t）Z（t）Z（t）Z（0）F（ti-1)= EZ（ti-1） Z（tt-2). . .Z（t）Z（t）Z（t）Z（t）Z（0）=...= EZ（t）Z（0）= 1、由于E[Z（T）]=1，我们在定义4.4中使用Z（T）来构建新的概率测度Q。