多维Black-Scholes偏微分中数字符号的使用

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英文标题：
《The Use of Numeraires in Multi-dimensional Black-Scholes Partial
  Differential Equations》
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作者：
Hyong-chol O, Yong-hwa Ro and Ning Wan
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The change of numeraire gives very important computational simplification in option pricing. This technique reduces the number of sources of risks that need to be accounted for and so it is useful in pricing complicated derivatives that have several sources of risks. In this article, we considered the underlying mathematical theory of numeraire technique in the viewpoint of PED theory and illustrated it with five concrete pricing problems. In the viewpoint of PED theory, the numeraire technique is a method of reducing the dimension of status spaces where PDE is defined.
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中文摘要：
数值的变化为期权定价提供了非常重要的计算简化。这项技术减少了需要考虑的风险来源的数量，因此在为具有多个风险来源的复杂衍生品定价时非常有用。在本文中，我们从PED理论的角度考虑了数字技术的基本数学理论，并用五个具体的定价问题对其进行了说明。从PED理论的观点来看，数字技术是一种降低状态空间维数的方法，其中定义了PDE。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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PDF下载：
--> The_Use_of_Numeraires_in_Multi-dimensional_Black-Scholes_Partial_Differential_Eq.pdf (256.75 KB)

2022-6-25 16:47:53 上传

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关键词：SCHOLES choles Holes Black lack

《多维Black-Scholes偏微分方程中数字的使用》，Hyong-chol1,2RO，Yong hwaWan，Ningcenter of Basic Sciences，Kim Il-Sung University，平壤，中国上海同济大学韩国应用数学系，研究员；王宁，1979年，研究生摘要在期权定价中，数字的变化提供了非常重要的计算简化。这项技术减少了需要说明的风险来源的数量，因此在为具有多个风险来源的复杂衍生品定价时非常有用。在本文中，我们从PED理论的角度考虑了数字技术的基本数学理论，并用具体的定价问题加以说明。在PED理论的观点中，数字技术是一种降低状态空间维数的方法，其中定义了PDE。关键词数字；布莱克-斯科尔斯方程；员工持股计划；选项；储蓄计划；可转换债券；利率衍生工具；零耦合债券衍生品。AMS科目分类：35C05；35K15；91B24；91B28；91B30.JEL：G13；G331简介改变数字是减少期权定价中必须考虑的风险数量的一种非常重要的方法。数字的变化在理论文件中是众所周知的，但似乎这种方法在应用中并不经常使用，许多实践者不知道如何以及何时使用它。

因此，在[1]中，他们从随机微积分的角度描述了数字变换方法的本质，并给出了5个典型的例子来描述数字变换的用法和错误用法。在随机价格的两种资产中选择一种资产的期权是一个具有多个风险源的典型例子，而数值的变化在这类期权的定价问题中具有优势。使用数字变化简化期权定价的想法与著名的布莱克-斯科尔斯公式有着几乎相同的悠久历史。在布莱克-斯科尔斯公式中，我们可以把美元看作一个数字。梅尔顿（Merton）[12]使用了改变数字的方法来推导随机收益率为零的欧洲期权定价公式（但他没有使用数字这一术语）。Margrabe【11】第一个命名的数字。Margr abe在他的论文中承认Steve Ro ss建议他使用资产作为计价单位。Brenner、Galai【3】和Fisher【4】使用了我们现在使用的数字变化方法。哈里森（Harrison）和克雷普斯（Kreps）[7]使用了具有严格正值的证券价格作为计价单位。他们使用的资产没有市场风险，而且利率为零，因此分析更容易。格曼（Geman）[6]和詹姆士·迪安（Jamshidian）[8]研究了数字技术变化的数学基础。本文可以说是[1]的PDE版。也就是说，我们的目的是从偏微分方程理论的角度来描述数字技术的变化。

我们将给出[1]中的4个例子，以及Li和Ren[10]的另一个例子来描述使用数字变更的PDE基础：2 O，Hyong chol RO，Yong hwa Wan，Ningo员工股票所有权计划（ESOP）的定价采用货币执行价的定价选择权。o提供索引选择的定价节约计划。o可转换债券定价可在到期时转换为股票的定价债券。总之，从偏微分方程理论的角度来看，数值变换是降低多维偏微分方程域空间维数的一种方法。2 PDE数字变更基础假设：考虑的红色期权价格取决于（n+1）风险源。（i） S（t）、S（t）、····、Sn（t）是不支付股息的可交易资产的无套利价格过程。（ii）在ris k中性测度下，S（t），S（t），···，Sn（t）satisfydSi（t）Si（t）=r（t）dt+mXj=1σijdWj（t），i=0，1，··，n（1）这里r（t）是短期利率（利率），Wj（j=1，···，m）是一维标准维纳过程，满足（dWi）=0，（2）V ar（dWi）=dt，（3）Cov（dWi，dWj）=0，（i 6=j）。（4） （iii）V（S，S，····，Sn，t）是到期日为t的多资产期权的无套利价格函数。由Jiang【9】，V（S，S，···，Sn，t）满足（n+1）-维BlackScholes方程：五、t+nXi，j=0aijSiSj五、硅Sj+r（t）nXi=0Si五、硅- r（t）V=0。（5） 其中，j=nXk=0σikσjk，（i，j=0，1，····，n）。（6） A=[aij]是一个正对称矩阵。（iv）期权的到期付款如下：V（S，S，·····，Sn，T）=P（S，S，····，Sn）。（7） 在多维Black-Schole偏微分方程3中使用N个数值期权的无套利价格V（s，s，···，Sn，t）是解决PDE（5）和（7）中存在的问题的一种方法。

方程（5）是一个抛物线方程，其中（n+1）个空间变量反映（n+1）个风险源。定理1考虑{（S，S，···，Sn，t）域中的求解问题（5）和（7）∈Rn+1 | t>0，Si>0，i=0，1，····，n}。如果到期支付函数P满足同质性，即P（aS，aS，···，aSn）=aP（S，S，···，Sn），那么使用Sas作为数字时，a>0，即变量u=VS，zi=SiS，i=1，··，n，（8）我们可以将空间维度减少1。因此，（n+1）维问题（5）和（7）被转化为n维Black-Scholese方程的终值问题。证据表示F（z，···，zn）= P（1，z，··，zn）。那么，因为根据P的同质性假设，我们有P（1，z，···，zn）=P（S，S，···，Sn）S=V（S，S，···，Sn，T）S，我们可以这样写：U（z，··，zn，T）=F（z，··，zn）。（9） 因此，终端条件变为n维函数。在（5）中，如果我们使用关系V（S，S，·，Sn，t）=U（z，·，zn，t）S将V的Si导数转化为U的zi导数，那么Ut+nXi，j=1（a- ai0- a0j+aij）zizjUzi公司zj=0。（10） （QED）现在，如果我们可以使用多维Black-Scholes公式（Jiang[9]（7.3.22））来获得问题（10）和（9）的解表示。方程（10）系数的n维矩阵。Bn=[a- ai0- a0j+aij]ni，j=1是一个对称的正矩阵。

事实上，对称的性质是evide nt，对于每个ξ=（ξ，····，ξn）⊥∈ 注册护士(⊥平均转置矩阵），ξ⊥Bnξ=nXi，j=1（a- ai0- a0j+aij）ξiξj=a-nXi=1ξi+nXi=1ai0ξi-nXj=1ξj+nXj=1a0j-nXi=1ξi！ξj+nXi，j=1aijξiξj.4 O，Hyong chol RO，Yong hwa Wan，Ningthey如果我们让η=-nXj=1ξi，ξ，····，ξn⊥∈ Rn+1，然后通过A的正性，我们得到ξ⊥Bnξ=η⊥Aη≥ 因此（10）是n维Black-Scholes方程，通过多维Black-Scholes公式，我们得到了（Z，t）=2π（T- t）编号：det Bn|-Z∞···Z∞F（y，···，yn）y，···，ynexp-~α⊥B-1n~α2（T- t）dy···dyn，其中z=（z，··，zn）⊥, ~α=（α，···，αn）⊥αi=lnziyi-一- 2ai0+所有（T-t） ，i=1，···，n。返回原始变量S，S，···，Sn，我们得到了（5）和（7）的解：V（S，S，···，Sn，t）=SU（Z，t）=S2π（T-t）编号：det Bn|-×Z∞···Z∞P（1，y，···，yn）y，···，ynexp-~α⊥B-1n~α2（T- t）dy···dyn，（11）αi=lnSiyiS-一- 2ai0+所有（T-t） ，i=1，···，n.（12）因此，我们证明了以下定理：（n+1）维问题（5）和（7）的n维表示由（11）和（12）提供。备注1无股息条件（i）和无相关性假设（4）并非仅用于简化的必要条件。3例3.1员工持股计划（ESOP）问题：ESO P是一种合同，其持有人有权以以下执行价格购买股票。例如，将到期日设为一年（T）。那么执行价是min（6个月后时间（T）的股票价格，一年后的股票价格（T））×85%（β）。那么ESO P的公平价格是多少？数学模型：在多维Black-Schole偏微分方程中使用N个数值，设s（t）为股票价格，t为到期日，t<t，0<β<1为折现率，v（s，t）为员工持股计划价格。那么到期付款如下：V（S，T）=[S（T）- βmin（S（T），S（T））]+=S（T）- βmin（S（T），S（T））。

（13） 假设：（i）在ris k中性测度下，股票价格满足sdS（t）=rS（t）dt+σS（t）dW（t）。（14） （ii）短速率r是确定性常数。事实上，这个问题本身相对简单，因此不使用数值的变化，我们可以很容易地得到解的公式。合同的风险中性价格符合标准Black-Scholes方程：五、t+σS五、S+rS五、S- rV=0。（15） 因此，E SOP的价格函数满足终值问题（15）和（13）。到期付款F（13）重写如下：V（S，T）=（1- β） S（T）+βmax（S（T）- S（T），0）。在区间（T，T）中，价格S（T）是已知的，因此合同可以看作是由1- 履约价格为（T）的股票的βsha和期权的βSHE。因此，时间t（t）的合同价格≤ t<t）由v（S，t）=（1）给出- β） S（t）+β[S（t）N（d）- S（T）e-r（T-t） N（d）]，t≤ t<Td=lnS（t）S（t）+r+σ（T- t） σ√T- t、 d=d- σpT- t、 特别是在时间t，V（S，t）=S（t）h1- β+βN（d1,0）- βe-r（T-T） N（d2,0）i，d1,0=rσ+σpT公司- T、 d2,0=d1,0- σpT- T、 （16）因此，其当时的价格与确定性股票的价格相同，因此，合同在T（0）时的价格≤ t<t）由v（S，t）=S（t）h1给出- β+βN（d1,0）- βe-r（T-T） N（d2,0）i，0≤ t型≤ T、 （17）其中d1,0和d2,0是（16）中的a s。使用数字变化：在（13）中，将S（T）视为可交易资产的时间T-价格并不那么自然。为了克服这一困难，在【1】中，新资产定义如下：S（t）=S（t），0≤ t型≤ T、 S（T）er（T-T） ，T≤ t型≤ T、 6 O，Hyong chol RO，Yong hwa Wan，NingNote，Sis投资组合的时间T价格，其持有人在时间T=0时购买股票，将其保留到T=T，然后在时间T=时出售，并将S（T）数量的现金存入银行。

ThenS（T）=S（T）er（T-T） ，如果我们设k=e-r（T-T） ，（18）然后将到期付款f（13）重写如下：V（S，S，T）=S（T）- βmin（S（T），K·S（T））。（19） 在（19）中，S（T）可以被视为可转换资产S的时间价格，从定义和假设（14）中，我们可以知道，在风险中性度量下，Ssatis fiesds（T）=rS（T）dt+σS（T）dW（T），（20）其中σ（T）=σ, 0 ≤ t型≤ T、 0，T≤ t型≤ T、 使用无套利技术，我们可以建立合同风险中性价格函数V（S，S，T）满足的等式。通过-对冲构造投资组合∏：V- S- S、 选择 和因此投资组合∏在区间（t，t+dt）内是无风险的，也就是说，d∏=r∏dt，因此我们有dV- dS公司- dS=r（V- S- S） dt。（21）通过二维It^o公式，我们得到dV=五、t型+σS五、S+2σσ（t）SS五、SS+σ（t）S五、Sdt公司+五、十二烷基硫酸钠+五、SdS。（22）因此我们选择 =五、S=五、S、 （23）我们将（22）和（23）替换为（21），得到五、t型+σS五、S+2σσ（t）SS五、SS+σ（t）S五、S+r五、SS+r五、不锈钢-rV=0。（2 4）因此，E SOP价格的双因素模型就是终值问题（24）和（19）。除了波动率σ随时间变化的事实外，问题（24）和（19）满足定理1的所有条件。在这种情况下，数值Eu=VS，z=SS（25）的变化在多维Black-Schole偏微分方程7中使用N个数值效果很好，即使用（25）将问题（24）和（19）转化为一维Black-Scholes方程的以下终端问题：Ut+（σ- σ（t））zUz=0，U（z，T）=（1- β） z+β最大值（z- K、 0）。（26）求解（26）并返回原始变量，得到公式（17）。备注2公式（17）与【1】相同。3.2具有外币履约价格的期权定价有些期权的履约价格与外币相关。

例如，有一种期权，其上市基础股票价格为英镑，而履约价格为美元。设计此类期权的目的是激励财务经理，以使股票的美元价格最大化。问题：假设期权的标的股票以英国镑进行交易，而敲打价格以美元支付：1）股票价格s（0）是敲打价格的英国镑价格（由于税收等原因，大多数执行的敲打期权在初始时间总是以美元支付）；2） S（0）的美元价格就是不变的执行价格；3） 期权持有人可以以固定的美元执行价购买标的股票。由于股票使用英国英镑进行交易，固定美元履约价格对应随机英国英镑履约价格，因此该期权的定价不是标准定价问题。

利用数字的变化，我们可以简化这个定价问题。数学模型：S（t）表示库存价格（英国镑）、rpUK（无风险）利率、RDU（无风险）利率、X（t）美元/英国镑汇率（Y（t）=X（t）-1： 英镑/美元汇率），Kd为固定美元履约价格，Kp（t）为履约价格的英镑价格。假设：（i）在自然测度下，股票价格满足以下几何布朗运动d（t）=αSS（t）dt+σSS（t）dWS（t）。（ii）Ris k自由速率Rp和Rd是确定性常数。（iii）美元/英镑汇率X（t）符合Garman和Kohlhagen的模型[5]dX（t）=αXX（t）dt+σXX（t）dWX（t）（在自然测量下）。根据It^o公式，英镑/美元汇率Y（t）satifiesdy（t）=αYY（t）dt+σYY（t）dWY（t）（在自然度量下）。8 O，Hyong chol RO，Yong hwa Wan，NingHereσY=σX，WY=-WX。WS（t）和WX（t）是具有以下关系的向量维纳过程：dWS（t）·dWX（t）=ρdt，dWS（t）·dWY（t）=-ρdt，|ρ|<1。（27）至于执行价格，我们有Kp（0）=S（0），Kd=Kp（0）·X（0）=S（0）·X（0）≡ 常数美元履约价格是一个常数，但汇率是随机的，因此履约价格的英国英镑价格是一个随机变量：Kp（t）=Kd·Y（t）=S（0）·X（0）·X（t）-1、特别是RKP（T）=S（0）·X（0）·X（T）-1=S（0）·Y（T）·Y（0）-1.（28）对于到期付款，美元到期付款为FD=最大（S（T）·X（T）- Kd，0）。到（28）时，以英镑为单位的到期付款isFp=最大（S（T）- Kp（T），0）=最大值（S（T）- S（0）·Y（0）-1·Y（T），0）。备注3该期权有两种自然定价方法：美元定价和英国镑定价。