市场超统计的普遍性

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英文标题：
《Universality of market superstatistics》
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作者：
Mateusz Denys, Maciej Jagielski, Tomasz Gubiec, Ryszard Kutner, H.
  Eugene Stanley
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We use a continuous-time random walk (CTRW) to model market fluctuation data from times when traders experience excessive losses or excessive profits. We analytically derive \"superstatistics\" that accurately model empirical market activity data (supplied by Bogachev, Ludescher, Tsallis, and Bunde)that exhibit transition thresholds. We measure the interevent times between excessive losses and excessive profits, and use the mean interevent time as a control variable to derive a universal description of empirical data collapse. Our superstatistic value is a weighted sum of two components, (i) a powerlaw corrected by the lower incomplete gamma function, which asymptotically tends toward robustness but initially gives an exponential, and (ii) a powerlaw damped by the upper incomplete gamma function, which tends toward the power-law only during short interevent times. We find that the scaling shape exponents that drive both components subordinate themselves and a \"superscaling\" configuration emerges. We use superstatistics to describe the hierarchical activity when component (i) reproduces the negative feedback and component (ii) reproduces the stylized fact of volatility clustering. Our results indicate that there is a functional (but not literal) balance between excessive profits and excessive losses that can be described using the same body of superstatistics, but different calibration values and driving parameters.
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中文摘要：
我们使用连续时间随机游走（CTRW）对交易员经历过度亏损或过度盈利时的市场波动数据进行建模。我们通过分析得出了“超统计学”，它精确地模拟了具有过渡阈值的经验市场活动数据（由Bogachev、Ludescher、Tsallis和Bunde提供）。我们测量了过度亏损和过度盈利之间的事件间隔时间，并使用平均事件间隔时间作为控制变量，得出了经验数据崩溃的通用描述。我们的超统计值是两个分量的加权和，（i）由较低的不完全伽马函数修正的幂律，该幂律渐进地趋向于稳健性，但最初给出指数，以及（ii）由较高的不完全伽马函数阻尼的幂律，该幂律仅在短的事件间隔时间内趋向于幂律。我们发现，驱动这两个组件从属于自己的缩放形状指数出现了“超缩放”配置。当成分（i）再现负反馈，成分（ii）再现波动率聚类的程式化事实时，我们使用超统计来描述层次活动。我们的结果表明，超额利润和超额亏损之间存在函数（而非字面）平衡，可以使用相同的超统计体来描述，但校准值和驱动参数不同。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
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关键词：普遍性 Econophysics Quantitative Applications Hierarchical

市场超统计的普遍性Steusz Denys，Maciej Jagielski*1、2、3、托马兹·古比埃克、里扎德·库特纳和H。尤金·斯坦利（EugeneStanleyFaculty of Physics，University of Warsaw，Pasteura Str.5，PL-02093 Warsaw，PolandCenter for Polymer Studies and Department of Physics，Boston University，Boston，MA 02215 USA管理、技术和经济系，ETH Zurich，Scheuchzerstrasse 7，CH-8092 Zurich，Switzerland）*通信地址；电子邮件：zagielski@gmail.com.We使用连续时间随机游走（CTRW）对交易员经历过度亏损或过度盈利时的市场波动数据进行建模。我们通过分析得出了“超统计学”，它精确地模拟了具有过渡阈值的经验市场活动数据（由Bogachev、Ludescher、Tsallis和Bunde提供）。我们测量了持续亏损和过度盈利之间的事件间隔时间，并使用平均事件间隔时间作为控制变量，得出经验数据崩溃的通用描述。我们的超统计值是两个分量的加权和，（i）由较低的不完全伽马函数修正的幂律，其渐近趋向于稳健性，但最初给出指数，以及（ii）由较高的不完全伽马函数阻尼的幂律，其仅在短的事件间隔时间内趋向于幂律。我们发现，驱动这两个组件从属于自己的缩放形状指数，出现了“超缩放”配置。当成分（i）再现负反馈，成分（ii）再现波动率聚类的程式化事实时，我们使用超统计学来描述层次活动。

我们的结果表明，过度利润和过度损失之间存在函数（而非字面）平衡，可以使用相同的超统计体来描述，但校准值和驱动参数不同。1简介金融市场随着交易者估计风险水平并努力盈利而变化。市场回报产生过度盈利的时间与产生过度亏损的时间之间的间隔可以使用连续时间随机游走（CTRW）形式来描述（见参考文献（1-4）和其中的参考文献）。关于超额利润和亏损的经验市场数据（5-8）将超额利润定义为大于某些正固定阈值Q的利润，将超额亏损定义为低于某些负阈值的利润-Q、 损失与Q之间的平均事件间隔时间被用作聚合基本变量。事件间时间构成了对市场活动的普遍随机测量，时间尺度从一分钟到一个月不等（5,6）。平均事件间时间可以用作控制变量，产生经验数据崩溃的通用描述（7），即固定平均事件间时间的事件间时间分布是一个通用统计量，不受时间尺度、市场类型、资产或指数的影响。这种分布可以使用（i）CTRW valley模型（见参考文献（2，4）和其中的参考文献）来描述，该模型将时间间隔视为随机变量，以及（ii）随机相关基本过程的广义极值统计（10），这是q指数而非adhoc统计（5，6）。

金融市场多重分形结构中的事件间时间（11、12）和订单交易动态中的单步记忆中的事件间时间（13）是分析双重行动市场活动的基础。2主要目标主要目标是对与单变量统计数据相关的经验数据进行建模，即（i）极端（过度）损失之间的平均事件间时间段RQ，定义为低于负阈值-Q、 作为Q（>0）值和（ii）分布ψQ的函数(损失之间的事件间时间Qt，之前使用ad hocq指数描述。由于没有与第（i）项相关的经验数据，在我们对超额利润的研究中，我们将重点关注第（ii）项，并使用参考文献中提供的经验数据。(5–8). 请注意，参考文献中使用的q指数。（5-8）无法产生第（i）项中的关键经验数据，因此在我们的方法中，我们使用了超统计。因为小亏损和小盈利对交易员来说并不重要，所以我们关注中高Q值。我们的目标是提供具有普遍性的市场超级统计。在不同版本的连续时间随机行走形式主义（4、9、11-13）的背景下，“事件间时间”一词出现在文献中，其名称为“暂停时间”、“等待时间”、“交易间时间”和“发生间时间”。基本随机过程中的损失或收益值是否在统计上独立无关紧要，因为在我们的推导中，它们之间没有任何可能的相关性。所有数据和图纸均使用Mathematica版本制作。

为了简单起见，我们将损失视为正数。3基本成就在这里，我们找到了大于某个阈值Q（即τR）的过度（极端）损失之间的平均事件间时间周期RQ的分析闭合形式-1Q=P(-ε ≤ -Q） =P（ε≥ Q） =Z∞QD（ε）dε，（1）其中τ是时间单位，d（ε）是由极端（或过度）损失的威布尔分布（14–16）给出的回报密度，d（ε）=η′εεεη-1exp-εεη, ε, η > 0. （2） 注意，我们认为随机变量ε是一些潜在随机过程的增量。通常，该随机变量的值可以是相依的（10）。这里我们考虑了η<1的情况（见表1），这意味着分布D（ε）为ε/ 1，递减幂律（17）。参考文献（18）使用威布尔分布来描述给定资产后续交易之间的事件间时间统计。我们使用CTRW valley模型的Weibull分布和条件指数分布来推导与过度损失或利润阈值相关的超统计或复杂统计。将（2）代入（1），我们得到rq=expQ′εη!, （3） 即，根据幂律，ln rq相对于相对变量Q/(R)ε增加。图1中的实心曲线表示（3）生成的预测，并拟合经验数据（各点用不同的标记表示）。这一基本一致性使我们能够构建相应的超级统计学，并使我们能够研究连续的经验数据（见第4节和第5节）。由于统计误差较低，我们能够确定η和ε，并导出确定超统计形状的后续参数。例如，图。

1表示形状参数指数的值η<1（参见表1），对于较大的损失或收益（即ε ε）使威布尔分布（2）服从指数截断幂律。相比之下，参考文献（5）中给出的结果是不完整的，因为它们不允许与基于q指数的理论预测进行类似的比较。在本文后面，我们将设置τ=1。对于威布尔分布，相对平均值hεi'ε=η（1/η）和相对方差σhεi=hεi-hεihεi=h2ηΓ（2/η）Γ（1/η）- 1依赖于η，也就是说，它们（对于固定指数η）是普适量。请注意，每条曲线都有一个略有不同的乘法校准参数，用于确定其垂直位移。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆▲▲▲ ▲ ▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.0Log QLog RQFigure 1：平均事件间隔时间RQvs。四类典型报价的阈值Q。黑色圆圈、红色正方形、绿色菱形和蓝色三角形分别涉及美国/英镑汇率、标准普尔500指数、IBM股票和WTI（原油）经验数据（2000年1月至2010年6月），摘自参考文献（5）中的图2（从上到下绘制）实心、拟合良好的曲线显示了我们公式（3）的预测结果——其拟合参数ε和η的值如表所示。1（此处未提供不重要的乘法校准参数）。这项工作不考虑这些预测的细微波动偏差。（经EPL许可，使用经验数据。）表1：从公式（3）的预测值与经验数据的拟合中获得的指数η和数量ε的值（均绘制在图。

1） 代表美元兑英镑、标准普尔500指数、IBM股票和原油（WTI）的汇率。指数/面值。ηεUS/GBP 0.8756±0.0156 0.0037±0.0003S&P500 0.6981±0.0292 0.0035±0.0005IBM 0.8246±0.0236 0.0078±0.0007WTI 0.7855±0.0182 0.0131±0.00084超统计我们接下来构建一个非规范化、无条件分布ψQ(事件间时间间隔变量的Qt），Qt，以超统计的形式，基于第。3，ψQ(Qt）=Z∞QψQ(Qt |ε）D（ε）Dε。（4） 这里我们假设条件分布ψQ(Qt |ε）为指数形式ψQ(Qt |ε）=τQ（ε）exp-QtτQ（ε）！。（5） 由于它是有条件的，下一个（后续）损耗正好是ε，弛豫时间由拉伸指数τQ（ε）=τQ（0）exp（（BQε）η）（6）给出，作为（1，19–21）在非晶薄膜中的光电流弛豫的情况下引入的CTRW的标准版本中使用的指数弛豫时间的直接扩展。这里，τQ（0）是自由（ε无关）弛豫时间，而量BQ（>0）与变量ε无关。数量Bq是逆温度的形式模拟，我们稍后将推导其与控制阈值Q值的比例关系。我们使用（2）中的η指数来减少（6）中自由指数的数量（奥卡姆剃刀原理），并导出超统计ψQ(Qt）的精确闭合分析形式。注意，事件间时间的随机依赖性当较小的损耗比较大的损耗更频繁出现时，证实了（5）中假设的Qt on损耗ε。定义（6）描述了这一点，其中平均时间hQtiε=τQ（ε）是ε的单调递增函数。这就形成了一个不断扩大的事件间时间层次结构，其中较大的损失和利润出现的频率低于较小的损失和利润。

为了使较大的损失比较小的损失更频繁出现，我们使用τQ（ε）=τQ（0）exp(-（BQε）η）。（7） 在这种相反的情况下（这在分析上也是可以解决的），我们遇到了一种聚类现象，在这种现象中，较短的时间间隔将较大的损失/收益值分开，而不是将较小的损失/收益值分开。本补充案例将在第节中简要讨论。5、将（6）和（5）代入（4），我们最终得出了搜索形式ψQ的超统计(Qt）=τQ（Q）αQ(Qt/τQ（Q））1+αQ×γEuler（1+αQ，Qt/τQ（Q）），（8）为了规范化（4）给出的超统计，我们除以ψQ(Qt）byR∞QD（ε）dε=exp-Q′εη或者乘以RQ。这就产生了限制于不小于Q的利润和损失的条件超统计。条件分布的指数形式（5）假设固定值ε的损失或利润在统计上是独立的，这通常对不同的损失和利润值无效。其中标度形状指数αQ=（BQε）η=ln（τQ（\'ε）/τQ（0）），（9）和下不完全伽马函数γEuler（1+αQ，Qt/τQ（Q））=ZQt/τQ（Q）yαQexp(-y） dy.（10）公式（8）推导过程中的重要步骤是用新的运行变量y=Qt/τQ（ε）。这将（4）中积分下的整体函数从拉伸指数变为指数，使积分成为一个简单（精确且闭合）的操作。

请注意，（9）中的第一个等式给出了在规范CTRW谷模型（1，19–21）中获得的相应指数的简单、正式的概括，其中Bq是热力学β，ε是平均谷深，指数值η=1。方程（8）渐近（对于Qt/τQ（Q） 1） 采用幂律形式ψQ(Qt）≈τQ（Q）αQ(相对事件间时间的Qt/τQ（Q））1+αQΓEuler（1+αQ）（11）Qt/τQ（Q），而最初（对于Qt/τQ（Q） 1） 它采用指数形式ψQ(Qt）≈τQ（Q）αQ1+αQexp-1+αQ2+αQQt/τQ（Q）！。（12） 对于αQ 1，式（8）简化为αQ独立指数ψQ(Qt）≈τQ（Q）exp(-Qt/τQ（Q）），（13），与式（12）一致。注意，我们的方法仅基于弛豫时间（6）作为单变量ε的函数。仅使用ε=0，(R)ε，Q，参数Q是外部控制阈值，即通过使用（6）和（3），我们得到ln RQ=ln（τQ（Q）/τQ（0））ln（τQ（(R)ε）/τQ（0））。（14） 因此，使用（9）和（3）我们发现τQ（Q）τQ（0）=R1/αQQ。