快变长记忆随机波动率下的期权定价

接下来，我们将从校准的角度总结本文的主要结果，即隐含波动率曲面在由具有长期相关性的快速过程建模的随机波动率背景下的形式。我们将首先总结建模的一些方面。我们考虑一个连续时间随机波动率模型，它是高斯长程过程的光滑函数。明确地，我们将分数随机波动率（fSV）建模为分数O rnstein–Uhlenbeck（fOU）过程的光滑函数。fOU过程是具有分形长程相关结构的平稳过程的经典模型。该过程可以用fBm过程的积分表示。fBm过程的分布用赫斯特指数H表示∈ (0, 1). 对于所有H′＜H的情况，fBm过程是指数H′的局部H¨older连续，这一性质由fOU过程继承。OFFBM流程WHt在这方面也很相似WHαt，t∈ R距离=αHWHt，t∈ R对于所有α>0。（1.3）fOU过程在小于fOU过程平均逆转时间的时间尺度上近似继承了自相似性，我们用下面的ε表示。在这个意义上，我们可以将fOU过程称为短时间sca les上的多尺度过程。案例H∈ （1/2，1）给出了一个长程的fOU过程。该机制对应于一个持续的过程，其中fBm的连续增量正相关。随着H值的增加，相关fBm过程的连续增量具有更强的正相关性，从而使过程更加平滑，其自协方差函数衰减缓慢。有关fBm和fOU流程的更多详细信息，请参阅读者toBiagini et al.（2008）；Coutin（2007）；Doukhan等人。

(2003); Mandelbrot和Van Ness（1968）；Cheridito等人（2003年）；Kaarakka和Salminen（2011年）。波动驱动过程是由zεt=ε定义的ε-标度fOU过程-HZt公司-∞e-t型-sεdWHs。（1.4）这是一个零均值、平稳的高斯过程，显示出Hur st指数H的长期相关性∈ (1/2, 1). 需要注意的是，这是一个“自然时间尺度”为ε的过程，在这个意义上，平均再转化时间或过程达到平衡分布之前的时间为ε级。同样重要的是要注意，c相关性的衰减（在ε时间尺度上）是多项式而不是指数衰减，如标准的Ornstein–Uhlenbeck过程。明确地说，时间t和t+t衰减为(t/ε）2H-2，过程方差与ε无关。在本文中，我们考虑了一个随机波动率模型，它是具有Hur-st系数H的快速变化fOU过程的光滑函数∈ (1/2, 1). 由σεt=F（Zεt），（1.5）给出，其中F是一个光滑的、正的、一对一有界函数，具有bounded导数，并具有等式（3.5）中给出的附加技术条件。σε过程反映了fOU Zεt的长期相关性。第5节中的主要结果是对欧洲看涨期权的隐含波动率的一种表示，即行使K、到期日t和当前时间t，它=EhT- tZTt（σεs）dsFti1/2+σaFττH-1/2+ττH-3/2日志KXt公司. （1.6）此处af=ε1-HeσρhFF′i′τH3/2σΓ（H+3/2），（1.7）τ=T-t是成熟时间，ρ是驱动fBm的布朗运动与驱动下伏的布朗运动之间的相关性，τ=σ（1.8）是特征扩散时间。

此外，我们还有σ=F=ZRF（σouz）p（z）dz，eσ=hF i=ZRF（σouz）p（z）dz，hF F′i=ZRF（σouz）F′（σouz）p（z）dz，其中σou=1/（2 sin（πH）），p（z）是标准正态分布的概率密度函数（pdf）。换句话说，我们形成了关于fOU过程Zεt不变分布的平均波动率函数的矩。式（1.6）中的第一项实际上是当前条件下到期前的预期有效波动率。第二项是非零偏态项，仅当波动率过程和低估相关时，ρ才为非零。请注意，分数项结构的指数取决于赫斯特指数，赫斯特指数决定了波动驱动过程Zεt的平滑度和去相关率。过程越平滑，长期至到期的隐含波动率越大。在这里呈现的快速波动情况下，波动性波动较大且较快，隐含波动性在短期到期制度下表现出来。事实上，短期到期意味着到期时间小于分化时间（1.8），但大于平均逆转时间ε。因此，短期到期涉及短期期限内的巨大波动性波动，导致货币性修正，从而爆发并支配纯到期期限。在到期时间较短或较长的情况下，条件预期有效波动率的贡献较小，我们有较短的到期时间和K 6=XtIt~σaFhττH-3/2日志KXt公司i、 （1.9）并长期使用~σaFττH-1/2. （1.10）我们在此注意到，公式（1.6）中偏斜度ter m的分数标度恰好是对应于inGarnier和Solna（2015）给出的长时间到期和小波动率波动情况的分数标度。

这意味着，随着到期时间的延长，我们的情况令人想起我们现在的快速波动。然而，与inGarnier和Solna（2015）认为的小波动率波动相比，这里的波动率波动较大。我们还注意到，混合波动率的情况以及波动率波动率的可积相关函数将对应于H1/2。然而，请注意，我们的推导只对H有效∈ (1/2, 1). 如果我们考虑∑φ的公式（4.10），该公式确定了式（1.6）中第一项的方差，我们观察到它在H1/2时消失，这表明式（1.6）中的第一项具有决定性。在混合情况下，隐含波动率的一阶修正是确定的，而波动率协方差函数的不可积性使其在一般的长期情况下成为一个随机过程，方差为H1/2。实际上，在极限情况H1/2中，我们得到的结果与（Fouque et al.，2000，第5.2.5节）中处理混合情况的结果相似。明确地说，我们考虑了混合情况，其中波动驱动过程是非常规的Ornstein-Uhlenbeck过程；此外，波动风险的利率和市场价格为零。n（Fouque et al.，2000，E q.（5.55））给出了（Fouque et al.，2000，第5.2.5节）中定义的系数Vd的隐含可用性，它=σ- Vh2σ+στ测井KXt公司i、 （1.11）具有与H1/2相同的形式限制（1.6）。然而，给出系数Vd的平均表达式与我们在这里通过形式极限H1/2得出的解释不一致。这是因为我们考虑的奇异摄动情况在H=1/2时实际上是“奇异的”，并且重要项的顺序会改变。

然而，从校准角度来看，重要的是，我们具有隐含波动率参数化的连续性及其格式H=1/2，为渐近框架提供了稳健性。在第6节中，我们给出了随机修正系数的完整统计描述，该系数确定了价格修正的随机成分和隐含波动率（等式（1.6）中的第一项）。它是一个成熟度T和当前时间T的随机函数，具有高斯统计量和我们详细描述的协方差函数。该协方差函数具有有趣的、非平凡的、自相似的性质，并且该函数对于构造和刻画隐含波动率曲面的估计量非常重要。概述论文概要如下。在第二节中，我们描述了分数Ornstein-Uhlenbeck过程，并推导出一些基本的先验界。在第3节中，我们描述了随机波动率模型。在第4节中，我们推导了快速均值回归分数情形下的价格表达式。推导基于鞅方法。也就是说，我们将价格作为一个过程进行ansatz，该过程具有正确的支付效果，其主要订单项是鞅。然后指出该过程是价格的主序表达式，其误差为非鞅部分的序。这种方法包括引入修正子，使非鞅部分在一个小的项上成立；我们在第4节给出了结果分解。根据价格的表达式，我们在第5节推导出关联隐含波动率，并在第7节给出我们的结论。我们在附录a中给出了一个方便的波动率Hermite分解。附录B.2证明了许多技术引理。快速分数Ornstein-Uhlenbeck过程。

我们使用快速分数Ornstein–Uhlenbeck（fOU）过程作为波动因子，并描述如何用分数布朗运动来表示该过程。因为分数布朗运动可以用普通布朗运动来表示，所以我们还得到了快速fOU过程的表达式，作为布朗运动的过滤版本。分数布朗运动（fBm）是一个z-均值高斯过程（WHt）t∈R的协方差[WHtWHs]=σH|t | 2H+| s | 2H- |t型- s | 2H, （2.1）式中σHis为正常数。我们使用以下移动平均值来表示fBm（Mandelbrot a and Van Ness（1968））WHt=Γ（H+）ZR（t- s） H类-+- (-s） H类-+dWs，（2.2），其中（Wt）t∈Ris是R上的标准布朗运动。Then（WHt）t∈Ris实际上是协方差为（2.1）的azero-mea-n高斯过程，我们有σH=Γ（H+）hZ∞（1+s）小时-- 上海-ds+2Hi=Γ（2H+1）sin（πH）。（2.3）我们引入ε-scale d fOU asZεt=ε-HZt公司-∞e-t型-sεdWHs=ε-HWHt公司- ε-1.-HZt公司-∞e-t型-sεWHsds。（2.4）因此，fOU过程实际上是一个分数布朗运动，r e存储力为零。这是一个零均值、平稳的高斯过程，方差e[（Zεt）]=σou，σou=Γ（2H+1）σH=2 sin（πH），（2.5）与ε无关，协方差e[ZεtZεt+s]=σouCZsε,其中Cz（s）=Γ（2H+1）hZRe，仅为s/ε的函数-|v | s+v | 2Hdv- |s | 2Hi=2 sin（πH）πZ∞cos（sx）x1-2H1+xdx。这表明ε是fOU Zεt的自然变化尺度。请注意，随机过程Zε既不是鞅过程，也不是马尔可夫过程。对于H∈ （1/2，1），具有长程相关性质Z（s）=Γ（2H- 1） s2H公司-2+os2H公司-2., s>> 1.（2.6）这表明相关函数在本质上是不可积的。

在本文中，我们主要关注案例H∈ (1/2, 1).我们注意到，如果H=1/2，则标准或nstein–Uhlenbeck过程（用标准布朗运动合成）是一个具有指数相关性的平稳高斯-马尔可夫过程，因此是一个混合过程。可以使用Cholesky方法（见图e2.1）或Mre等人（1993）中描述的其他众所周知的方法来模拟fOU过程的路径；Bardet等人（2003年）。0 2 4 6 8 10 t-2恢复0 2 4 6 8 10 s0.5相关函数图。2.1. 上图显示了一个实现，Zεt，t∈ （0，10），即Hurst指数为0.6，相关时间为ε=1（蓝色实线）的fOU过程，以及H=1/2，ε=1（红色虚线）的标准Ornstein–Uhlenbeck过程的实现。越大，轨迹越规则。底图显示了相应的相关函数CZ（s），在H=0.6的情况下，蓝色实线的“重”尾给出了长程特性。使用等式。（2.2）和（2.4），我们得出了标度fOU asZεt=σouZt的移动平均积分表示-∞Kε（t- s） dWs，（2.7），其中kε（t）=√εKtε, K（t）=Γ（H+）σouhtH--Zt（t- s） H类-e-sdsi。（2.8）在我们的上下文中，内核K的主要特性如下（对anyH有效∈ （1/2，1））：-K是非负值，K∈ L（0，∞) 带R∞K（u）du=1，但K 6∈ L（0，∞),- 短时间t<< 1K（t）=Γ（H+）σoutH公司-+ OtH公司+, （2.9）-长时间t>> 1K（t）=Γ（H-)σoutH公司-+ OtH公司-, （2.10）尤其是K（t）-σouΓ（H-)tH公司-∈ L（0，∞).3、随机波动率模型。风险资产的价格遵循托卡斯蒂克微分方程dxt=σεtXtdW*t、 （3.1）其中，随机波动率σεt=F（Zεt），（3.2）和Zε是上一节中引入的标度fOU，适用于布朗运动Wt。

此外，W*这是一个布朗运动，它与整个过程中的随机波动性有关*t=ρWt+p1- ρBt，（3.3），其中布朗运动Bt与Wt无关。假设函数F为一对一、正值、smo oth、有界和有界导数。因此，（Bt，Wt）生成的过滤Ft也是Xt生成的过滤Ft。事实上，它相当于（W*t、 Wt），或（W*t、 Zεt）。因为F是一对一的，所以它等于（W）生成的过滤*t、 σt）。因为F是正值，所以它等于（W）生成的过滤*t、 （σεt）），或Xt。我们用Ck表示关于fOU过程不变分布的波动函数F的Hermite系数，Ck=ZRHk（z）F（σouz）p（z）dz，Hk（z）=(-1） kez/2dkdzke-z/2，（3.4），其中p（z）=exp(-z/2）/√2π. 我们在附录A中使用这些来推导一些技术性的指令。事实上，有一个技术原因要求F满足以下条件：存在一些α>2，因此∞Xk=0αkCkk！<∞. （3.5）如上所述，波动驱动过程ss Zεtposses具有长期相关性。如我们现在所示，波动过程σεtitself继承了这一特性。引理3.1。我们表示，对于j=1，2，Fj公司=ZRF（σouz）jp（z）dz，DF′jE=ZRF′（σouz）jp（z）dz，（3.6），其中p（z）是标准正态分布的pdf。1、过程σε是一个平稳随机过程，平均值E[σεt]=hF i，方差Var（σεt）=F- hF i，与ε无关。2、formCov过程σεtis的协方差函数σεt，σεt+s=F- hF i型Cσsε, （3.7）其中相关函数Cσ满足Cσ（0）=1和Cσ（s）=Γ（2H- 1） σouhF′ihFi- hF为2h-2+os2H公司-2., 对于s>> 1.（3.8）因此，过程σεt具有长期相关性（即其相关函数在本质上不可积）。证据

从σεt的定义（3.2）来看，σε是一个具有平均hF i的平稳随机过程这一事实很简单。对于任何t，s，向量σ-1ou（Zεt，Zεt+s）是一个平均值为（0，0）且协方差矩阵为2×2的高斯随机向量=1 CZ（s/ε）CZ（s/ε）1.因此，表示Fc（z）=F（σouz）-hF i，过程的协方差函数σεtisCov（σεt，σεt+s）=EFc（σ-1ouZεt）Fc（σ-1ouZεt+s）=2π√det CεZZRFc（z）Fc（z）exp-（z，z）Cε-1（z，z）Tdz=ψCZ公司sε,ψ（C）=2π√1.- CZZRFc（z）Fc（z）exp-z+z- 2Czz2（1- C）dzdz。这表明C ov（σεt，σεt+s）仅是s/ε的函数。此外，对于小的C，函数ψ可以用C的幂展开，ψ（C）=2πZZRFc（z）Fc（z）exp-z+zdzdz+C2πZZRzzFc（z）Fc（z）exp-z+zdzdz+O（C），C<< 1给出了σεt.4的（2.6）相关函数的形式（3.8）。期权价格。我们的目标是计算定义为Matingalemt=E的期权价格高（XT）|英尺, （4.1）其中h是光滑函数。事实上，h可能存在较弱的假设，因为我们只需要控制下面定义的函数Q（0）t（x），而不是h。我们引入了运算符lbs（σ）=t+σxx、 （4.2）即零利率和（恒定）波动率σ下的标准Black-Scholes算子。接下来，我们通过构造一个显式函数Qεt（x），利用价格过程是获得近似值的一个重要因素这一事实，使得Qεt（x）=h（x）和Qεt（Xt）是一个高达一阶terms的鞅。然后Qεt（Xt）给出了该阶mtt的近似值。以下命题给出了小ε区域中的可分解mt表达式的一阶对应关系。提案4.1。当ε很小时，我们有mt=Qεt（Xt）+o（ε1-H） ，（4.3），其中Qεt（x）=Q（0）t（x）+x个xQ（0）t（x）φεt+ε1-HeσρQ（1）t（x）。（4.4）函数Q（0）t（x）是确定性的，由Black-Scholes公式给出，具有常数波动率σ，LBS（σ）Q（0）t（x）=0，Q（0）t（x）=h（x）。

（4.5）参数σ和eσ是确定性的，由σ给出=F=ZRF（σouz）p（z）dz，eσ=hF i=ZRF（σouz）p（z）dz，（4.6），其中p（z）是标准正态分布的pdf。随机分量φεt由φεt=EhZTt给出（σεs）-σds公司Fti。（4.7）函数Q（1）t（x）是确定性校正Q（1）t（x）=xx个x个xQ（0）t（x）Dt，（4.8），Dt=D（T- t） H+，D=hF F′iΓ（H+）=Γ（H+）ZRF′（σouz）p（z）dz。（4.9）如引理B.3（第一项）所示，为ε→ 0，零均值随机变量εH-1φεT是收敛于σφ（T）的方差- t） 2H，σφ=hF F′iΓ（2H+1）sin（πH）-2HΓ（H+）. （4.10）此外，它在分布上收敛于均值为零且方差为σφ（T）的高斯随机变量-t） 2小时。这表明（4.4）中的两个修正项具有相同的ε1阶-H、 但第一个是随机的，零均值，近似高斯分布，而第二个是确定性的。证据对于任何光滑函数qt（x），我们都有它的公式qt（Xt）=tqt（Xt）dt+x个xqt公司（Xt）σεtdW*t型+x个xqt公司（Xt）（σεt）dt=磅（σεt）qt（Xt）dt+x个xqt公司（Xt）σεtdW*t、 最后一个学期是马丁加乐。在此之前，通过（4.5），我们得到了dq（0）t（Xt）=（σεt）-σx个x个Q（0）t（Xt）dt+dN（0）t，（4.11），其中N（0）是鞅dN（0）t=x个x个Q（0）t（Xt）σεtdW*t、 还要注意，在等式（4.11）（及以下）中，我们使用了符号x个x个Q（0）t（Xt）=x个x个Q（0）t（x）x=Xt。设φεt由（4.7）定义。我们有φεt=ψεt-Zt公司（σεs）-σds，其中鞅ψε由ψεt=EhZT定义（σεs）-σds公司Fti。