快变长记忆随机波动率下的期权定价

（4.12）我们可以写（σεt）-σx个x个Q（0）t（Xt）dt=x个x个Q（0）t（Xt）dψεt-x个x个Q（0）t（Xt）dφεt.It^o公式，dφεtx个x个Q（0）t（Xt）=x个x个Q（0）t（Xt）dφεt+x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtφεtdW*t+磅（σεt）x个x个Q（0）t（Xt）φεtdt+x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtd hφε，W*它因为LBS（σεt）=LBS（σ）+（σεt）-σx个x个和LBS（σ）x个x个Q（0）t（x）=0，这是给定的φεtx个x个Q（0）t（Xt）= -（σεt）-σx个x个Q（0）t（Xt）dt+（σεt）-σx个x个x个x个Q（0）t（Xt）φεtdt+x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtd hφε，W*it部门+x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtφεtdW*t型+x个x个Q（0）t（Xt）dψεt。我们有hφε，W*it=hψε，W*it=ρhψε，W it，由此（φεtx个x个Q（0）t（Xt）= -（σεt）-σx个x个Q（0）t（Xt）dt+（σεt）-σx个x个x个x个Q（0）t（Xt）φεtdt+ρx个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtd hψε，W it+dN（1）t，其中N（1）是鞅dN（1）t=x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtφεtdW*t型+x个x个Q（0）t（Xt）dψεt。因此，dQ（0）t（Xt）+φεtx个x个Q（0）t（Xt）=（σεt）-σx个x个x个x个Q（0）t（Xt）φεtdt+ρx个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtd hψε，W it+dN（0）t+dN（1）t.（4.13）由（4.8）满足lbs（σ）Q（1）t（x）=-x个x个x个xQ（0）t（x）θt，Q（1）t（x）=0，其中θt=-dDt/dt等于d hψε，W it=ε1-Hθt+eθεtdt，如LemmasB所示。1-B.2，eθεt在公式（B.9）中表示。通过应用It^o\'s公式，我们得到了dq（1）t（Xt）=LBS（σεt）Q（1）t（Xt）dt+x个x个Q（1）t（Xt）σεtdW*t=磅（σ）Q（1）t（Xt）dt+（σεt）-σx个x个Q（1）t（Xt）dt+x个x个Q（1）t（Xt）σεtdW*t型=（σεt）-σx个x个Q（1）t（Xt）dt-x个x个x个x个Q（0）t（Xt）θtdt+dN（2）t，其中N（2）是鞅dN（2）t=x个x个Q（1）t（Xt）σεtdW*t、 因此，dQ（0）t（Xt）+φεtx个x个Q（0）t（Xt）+ε1-HρeσQ（1）t（Xt）=（σεt）-σx个x个x个x个Q（0）t（Xt）φεtdt+ε1-Hρeσ（σεt）-σx个x个Q（1）t（Xt）dt+ε1-Hρx个x个x个x个Q（0）t（Xt）（σεt- eσ）θtdt+ρx个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεteθεtdt+dN（0）t+dN（1）t+ε1-HρeσdN（2）t。

（4.14）接下来，我们将显示右侧的前四项小于ε1-H、 我们介绍，对于任何t∈ [0，T]，R（1）T，T=ZTtx个x个x个x个Q（0）s（Xs）（σεs）-σφεsds，（4.15）R（2）t，t=ZTtε1-Hρeσx个x个Q（1）s（Xs）（σεs）-σds，（4.16）R（3）t，t=ZTtε1-Hρx个x个x个x个Q（0）s（Xs）θs（σεs- eσ）ds，（4.17）R（4）t，t=ZTtρx个x个x个x个Q（0）s（Xs）σεseθεsds。（4.18）我们表明，对于j=1，2，3，4，limε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（j）t，t）1/2= 0. （4.19）步骤1:j=1的（4.19）证明。我们表示（1）s=x个x个x个x个Q（0）s（Xs）和γεt=Zt（σεs）-σφεsds，（4.20），因此我们可以写出（1）t，t=ZTtY（1）sdγεsds。注意，Y（1）是一个有界二次变差的有界半鞅，其均方增量为E[（Y（1）s-Y（1）s′）一致有界于K | s-s′|。设N为正整数。我们表示tk=t+（t- t） k/N。我们有（1）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（1）sdγεsdsds=R（1，a）t，t+R（1，b）t，t，R（1，a）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（1）tkdγεsdsds=N-1Xk=0Y（1）tkγεtk+1- γεtk,R（1，b）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（1）s- Y（1）tkdγεsdsds。注意，我们通过Minkowski不等式（R（1，a）t，t）1/2≤ 2NXk=0kY（1）k∞E[（γεtk）]1/2≤ 2（N+1）kY（1）k∞sups公司∈[0，T]E[（γεs）]1/2，因此，通过LemmaB。4，对于任意固定的N，limε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（1，a）t，t）1/2= 0.另一方面，E（R（1，b）t，t）1/2≤ kF k∞N-1Xk=0Ztk+1tkE[Y（1）s- Y（1）tk]1/4E[（φεs）]1/4ds≤ 千牛-1Xk=0Ztk+1tk（s-tk）1/2秒sups∈[0，T]E[（φεs）]1/4≤K′√NSUP∈[0，T]E[（φεs）]1/4。因此，LemmaB。3（第四项），我们得到LIM supε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（1）t，t）1/2≤ lim supε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（1，b）t，t）1/2≤K′√N、 因为这对于任何N都是正确的，所以我们得到了期望的结果。步骤2:j=2的（4.19）证明。我们表示（2）s=ρeσx个x个Q（1）s（Xs）和κεt=ε1-HZt公司（σεs）-σ所以我们可以写出（2）t，t=ZTtY（2）sdκεsdsds。注意，Y（2）是一个有界半鞅，具有有界质量变化。设n为正整数。我们如上所述表示tk=t+（t- t） k/N。

我们有r（2）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（2）sdκεsdsds=R（2，a）t，t+R（2，b）t，t，R（2，a）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（2）tkdκεsdsds=N-1Xk=0Y（2）tkκεtk+1- κεtk,R（2，b）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（2）s- Y（2）tkdκεsdsds。那么，一方面，E（R（2，a）t，t）1/2≤ 2NXk=0kY（2）k∞E[（κεtk）]1/2≤ 2（N+1）kY（2）k∞sups公司∈[0，T]E[（κεs）]1/2，因此，通过LemmaB。6，我们得到limε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（2，a）t，t）1/2= 0.另一方面，E（R（2，b）t，t）1/2≤ ε1-HkF k∞N-1Xk=0Ztk+1tkE[Y（2）s- Y（2）tk]1/2秒≤ Kε1-HN公司-1Xk=0Ztk+1tk（s-tk）1/2秒≤K′ε1-H√N、 因此，我们得到lim supε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（2）t，t）1/2≤ lim supε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（2，b）t，t）1/2≤K′√N、 因为这对于任何N都是正确的，所以我们得到了期望的结果。步骤3:j=3的（4.19）证明。该证明与步骤2的证明相同，ηεt=ε1-HZt公司σεs- eσds，（4.22）代替κεt，并使用θ有界的事实。然后，我们通过LemmaB得到期望的结果。步骤4：证明j=4的（4.19）。我们有（R（4）t，t）1/2≤ KZTtE公司（eθεs）1/2秒≤ K’sups公司∈[0，T]E（eθεs）1/2.由LemmaB提供。2，我们得到limε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（4）t，t）1/2= 0.我们现在可以完成命题4.1的证明。在（4.4）中，我们介绍了近似值Qεt（x）=Q（0）t（x）+φεtx个x个Q（0）t（x）+ε1-HρeσQ（1）t（x）。然后我们得到QεT（x）=h（x），因为Q（0）T（x）=h（x），φεT=0，Q（1）T（x）=0。让我们表示rt，T=R（1）T，T+R（2）T，T+R（3）T，T+R（4）T，T，（4.23）Nt=ZtdN（0）s+dN（1）s+ε1-HρeσdN（2）s.（4.24）x（4.14）我们有qεT（XT）- Qεt（Xt）=Rt，t+NT- Nt。因此，Mt=E高（XT）|英尺= EQεT（XT）| Ft= Qεt（Xt）+ERt，T | Ft+ ENT公司- Nt |英尺= Qεt（Xt）+ERt，T | Ft, （4.25）得出所需结果，b因为ERt，T | Ft为o（ε1）级-H） 在L.5中。看涨期权价格修正和隐含波动率。我们用CBS（t，x；K，t；σ）表示Bla-ck-Scholes看涨期权价格，包括当前时间t、到期日t、行权K、基础价值x和波动率σ，因此Q（0）t等于。

（4.5）isQ（0）t（x）=CBS（t，x；K，t；σ）。实际上，CBS给出了波动率恒定时价格的明确公式。在这里考虑的随机波动的情况下，不存在明确的定价公式。然而，如式（4.4）所示，在随机波动率模型（1.5）对Q（0）t（x）进行修正的情况下，我们可以得到价格的一个辛表达式，即在有效或“ho-mogenized”波动率σ下评估的Black-Scholes价格。在这里，我们展示了修正后的价格在两个参数中呈现出一种相当简单的通用形式：相对到期时间和货币性。然后，这种表示法将导致隐含波动率的简单表示，如下所示。波动率波动的长期特征确实对隐含波动率的形式有着强烈的影响，而这一观察结果在校准环境中非常重要。我们用τ=T表示到期时间-t、 我们引入了特征扩散时间τ=2/σ和无量纲效应偏度系数f=ε1-HρeσD？τH3/2σ=ε1-HeσρhFF′i′τH3/2σΓ（H+3/2），（5.1），其中σ、eσ和D在命题4.1中给出，相关性ρ在等式（3.3）中引入。引理5.1。公式（4.4）中的价格修正，由罢工K标准化，可以写在表格K中φεtx个x个Q（0）t（x）+ε1-HρeσQ（1）t（x）=e-d/2xK√π!φεtττ-1/2+aFττH类+ττH-1日志Kx公司, （5.2）d=r‘τ2τhτ‘’- 日志Kx公司i、 （5.3）这里，无量纲随机和确定性校正系数很小，φεt=Oετ1.-HττH, aF=Oετ1.-H、 （5.4）我们使用了命题4.1中定义的φεtas居中且承受标准偏差VaR的事实φεt1/2=ετ1.-HττH（(R)τσφ）+o（ε1-H） ，（5.5），其中σφ由等式（4.10）定义（另见引理B.3中的等式（B.14））。

在下一节中，我们将更详细地介绍φεtin的统计结构。从上面可以看出，标准化价格修正取决于两个参数——货币性K/x和相对到期时间τ/’τ，并以相对到期时间的分数l次方显示期限结构。在图5.1中，我们在公式（5.2）中显示了相对价格相关性，作为三个货币价值K/x的相对到期时间τ/(R)τ的函数。实线显示了平均相对价格相关性，虚线给出了平均加/减一个标准偏差。这里我们使用H=0.6，aF=0.1，和(ε/τ)(1-H） (R)τσφ= 0.04.平均相对价格修正在中期到期时间内最大。相对于特征扩散时间而言，在很短的到期时间内，波动性波动的影响很小，而在很长时间内，快速均值回归“平均”会抵消波动的影响。然而，请注意，在货币市场，价格修正的随机成分会随着ττH-1/2，-4-2相对到期日-0.04-0.020.020.040.060.08价格修正K/X=。9=1.0=1.1图。5.1. 作为相对到期时间τ/(R)τ函数的价格修正。三条实线（从下到上）分别对应于K/X=0.9、1.0和1.1的平均价格修正。虚线/虚线对应于平均值±1标准偏差。这里H=0.6，aF=0.1，和(ε/τ )(1-H） (R)τσφ= 0.04.asτ→ 0当“围绕货币”时，货币K/x与1不同，则衰减具有以下形式ττH-1/2经验-？τ| lo g（K/x）| 4τ.这反映了织女星在这一限制范围内发散的事实，因此对波动性波动的敏感性变得很强。我们注意到，这将影响货币数据使用的校准模式。

此外，由于主要贡献来自价格修正的随机成分，因此相关隐含波动率的短时渐近结果变得可疑。还要注意的是，参数未根据市场数据进行校准；这将在其他出版物中考虑。在图5.2中，我们显示了价格修正面作为相对到期时间τ/(R)τ和货币性K/x的函数。该图显示了价格修正-0.051.50.05相对到期K/X0.10.5图。5.2. 作为相对到期时间τ/’τ和货币性K/X函数的价格修正面。参数如图5.1所示。当成熟时间与特征扩散时间的顺序相同时，其值较大。接下来，我们预先发送了引理5.1的证明。证据对于带payoffh（x）=（x）的欧洲看涨期权- K） +，我们有cbs（t，x；K，t；σ）=xΦσ√T- tlogxK公司+σ√T- t型-KΦσ√T- tlogxK公司-σ√T- t型,其中Φ是标准正态分布的累积分布函数。然后，我们特别有买入价的“希腊”关系σCBS=（T- t） σxxCBS，xx个σCBS=+logKxσ（T- t） 哦！σCBS。然后我们得到XxQ（0）t（x）=σ（t- t）(R)σCBS（t，x；K，t；σ），（5.6）xxx号xQ（0）t（x）=“2σ（t- t） +logKxσ（t- t）#(R)σCBS（t，x；K，t；σ），（5.7），其中“织女星”由下式给出σCBS（t，x；K，t；σ）=xe-日期/2√T- t型√2π，d=σ（T- t）- logKxσ√T- t、 （5.8）然后，利用等式（4.8）中给出的Q（1）t（x），我们可以确定价格修正的形式为φεtx个x个Q（0）t（x）+ε1-HρeσQ（1）t（x）=φεtx个x个Q（0）t（x）+ε1-HρeσD（t）xxx号xQ（0）t（x）=φεtxe-d/2σp2π（T- t） ！+ε1-HxρeσDe-日期/2√2π!“（T- t） H2σ+logKxσ（t- t） 1个-H#，（5.9），依次给出（5.2）。接下来，我们考虑与价格修正相关的隐含波动率。对于等式中的随机波动率模式l。

（1.5），我们想要确定隐含的波动性，因此根据引理4.1中的修正价格，我们有cbs（t，x；K，t；It）=Q（0）t（x）+φεtx个x个Q（0）t（x）+ε1-HρeσQ（1）t（x）。（5.10）我们定义了相对隐含波动率校正δItbyt=σ（1+δIt）。（5.11）引理5.2。相对隐含波动率修正的形式为δIt=φεtττ-1+aFhττH-1/2+ττH-3/2日志KXt公司i+o（ε1-H） ，（5.12），其中φε由（4.7）和aFby（5.1）定义。在图5.3中，我们展示了公式（5.12）中的隐含波动率修正，作为货币性K/x三个值的相对到期时间τ/？τ的函数。我们再次使用H=0.6、aF=0.1和(ε/τ)(1-H） (R)τσφ= 0.04. 请注意，由于“织女星”的形式（即价格对波动率的敏感性），隐含波动率曲面的形式与价格修正的形式非常不同。在图5.4中，我们显示了隐含波动率修正面作为相对到期时间τ/(R)τ和货币性K/x的函数。2-1相对到期日-0.50.5隐含波动率yk/x=。9=1.0=1.1图。5.3. 作为相对到期时间τ/(R)τ函数的隐含波动率修正。三条实线（从下到上）分别对应于平均隐含波动率修正叉/X=0.9、1.0和1.1。虚线/虚线对应于平均值±1标准偏差-0.4-0.21.50.2相对成熟度0.5K/X0.40.5图。5.4. 作为相对成熟时间τ/(R)τ和货币性K/X函数的平均隐含波动率修正面。参数如图5.3所示。证据我们使用等式进行查找。（5.9）和（5.8）假设隐含波动率为σ+φεtσ（t- t） +ε1-HeσρDth2σ（T- t） +logKXtσ（t- t） i+o（ε1-H） 。

（5.13）因为dt是确定性的，并且由（4.9）给出，所以我们可以写出it=σ+φεtσ（t- t） （5.14）+ε1-HeσρhFF′iσΓ（H+）H（T- t） H类-+logKXtσ（T- t）-Hi+o（ε1-H） ，引理如下。公式（5.14）中的前两项可以组合并重写为（最多为o阶o（ε1-H） ）σ+φεtσ（t- t） =EhT- tZTt（σεs）dsFti1/2+o（ε1-H） 。（5.15）因为dt是确定性的，并且由（4.9）给出，所以我们可以将其写为- tZTt（σεs）dsFti1/2+σaFττH-1/2+ττH-3/2日志KXt公司+ o（ε1-H） ，（5.16），因此隐含波动率是指在当前条件下，在剩余时间内的预期有效波动率，并进行额外的偏态校正。根据E q.（5.5），当到期时间较短时，第四个期限（τH-)在（5.12）中占主导地位。我们注意到，这与我们问题中的小参数是平均回归时间这一事实有关，因此，在该制度下，对于订单r 1到期的任何时间，波动率都有足够的时间进行波动和平均回归，给出了如Lemma5.1所示的价格修正。此外，因为“织女星”，σCBS，issmall away from the money（见等式（5.8）），我们得到了很强的货币依赖性，并且当成熟时间为零时，隐含波动率会增大。当到期时间较长时，第三个期限（单位：τH-) 在（5.12）中占主导地位。长期依赖性给出了平稳的波动率波动，这给出了一个隐含的波动率，当到期时间变为完整时，该波动率就会爆发。在这一长期到期制度中，标的资产的现值不太重要。6、t-t过程与随机隐含面。我们在公式（4.7）中引入了随机校正系数φεt≡ φεt，t，给出价格修正的随机成分和隐含波动率。注意，我们在此明确显示了对成熟度T的依赖性。

如果波动过程是阿马尔科夫过程，那么正如inFouqueet al.（2011）所述，修正将是决定性的。波动过程中长期记忆的存在意味着来自波动路径（pas T）的信息必须结转，这使得相对于均一波动率下价格的价格修正是一个随机过程；隐含波动率也是如此。在这里，我们讨论了随机场的统计结构，它描述了我们所考虑的标度制度中的隐含波动率表面。隐含波动率是典型校准过程中的中心量。要为隐含波动率的相干部分和非相干部分设计有效的估计器，以及表征由此产生的估计精度，了解观察到的隐含表面的统计波动非常重要。我们在下面给出了这些函数的精确特征。当赫斯特指数较大时，隐含波动率在较长时间内对成熟度的影响（相对于？τ）会变得很强，因为较大的赫斯特指数会给预期波动率带来强烈的时间一致性和较大的修正。另一方面，对于短期到成熟期，当赫斯特指数很小时，波动会变大，因为小赫斯特指数即使在很小的时间间隔内，也会产生较大波动的粗糙过程。值得注意的是，隐含波动率表面的相关结构实际上编码了有关潜在随机波动率长期特征的信息。例如，观察货币隐含波动率波动作为当前时间函数的固定到期时间提供的信息，可以估计赫斯特指数并检查建模框架的一致性。

InLivieri等人（201 7），在货币隐含波动率上观察到，用于估计赫斯特指数。作者发现一个系数略大于使用历史数据的相应估计值，并解释了这种差异是由于持续的到期时间造成的平滑效应。为了构造和解释这类估计器，将隐含面作为随机场，并将其与潜在波动率参数联系起来的模型显然是必不可少的。为了理解隐含波动率随机场，首先请注意它来自LemmaB。3表示ε→ 0，随机过程εH-1φεt，t/[σφ（t- t） H），t<t，在分布上（在有限维分布的意义上）收敛于阿高斯随机过程ψt，t，t<t，归一化t-t校正过程，对于任何t∈[0，T），T′∈ [0，T′。四参数函数Cφ由公式（B.16）给出。我们接下来将更详细地讨论T-T过程sψT，T，一个当前时间T和成熟度T的两参数过程。该过程定义为0<T<T；它是一个非平稳高斯过程，并且它被缩放为具有恒定的单位变量。如下所示，接近成熟度T≈ 这一过程受到成熟度边界的强烈影响。让我们首先考虑固定到期日T的情况，并介绍过程ψ（T；T）=ψT，T，T∈ [0，T]。（6.1）相对于到期时间较短的时间，即| t- t′|<< T- t、 由式（B.16）可知，过程（ψ（t；t））t∈[0，T]解相关asEψ（t；t）ψ（t′；t）~ 1.-|t型-t′| 2（t- t） ，这意味着它在短时间内与马尔可夫过程无关。