快变长记忆随机波动率下的期权定价

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英文标题：
《Option pricing under fast-varying long-memory stochastic volatility》
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作者：
Josselin Garnier and Knut Solna
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Recent empirical studies suggest that the volatility of an underlying price process may have correlations that decay slowly under certain market conditions. In this paper, the volatility is modeled as a stationary process with long-range correlation properties in order to capture such a situation, and we consider European option pricing. This means that the volatility process is neither a Markov process nor a martingale. However, by exploiting the fact that the price process is still a semimartingale and accordingly using the martingale method, we can obtain an analytical expression for the option price in the regime where the volatility process is fast mean-reverting. The volatility process is modeled as a smooth and bounded function of a fractional Ornstein-Uhlenbeck process. We give the expression for the implied volatility, which has a fractional term structure.
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中文摘要：
最近的实证研究表明，在某些市场条件下，基础价格过程的波动性可能具有缓慢衰减的相关性。本文将波动率建模为具有长期相关性的平稳过程，以捕捉这种情况，并考虑了欧式期权定价。这意味着波动过程既不是马尔可夫过程，也不是鞅过程。然而，通过利用价格过程仍然是半鞅的事实，并相应地使用鞅方法，我们可以在波动过程是快速均值回复的情况下获得期权价格的解析表达式。波动过程被建模为分数Ornstein-Uhlenbeck过程的光滑有界函数。我们给出了具有分数项结构的隐含波动率的表达式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Option_pricing_under_fast-varying_long-memory_stochastic_volatility.pdf (1.1 MB)

2022-6-26 05:46:30 上传

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关键词：期权定价 长记忆 波动率 correlations Quantitative

快变长记忆随机波动下的期权定价*和KNUT SOLN A+摘要。最近的实证研究表明，在某些市场条件下，基础价格过程的波动性可能具有缓慢衰减的相关性。本文将波动性建模为一个具有长期相关性的平稳过程，以捕捉这种波动，并考虑了欧式期权定价。这意味着波动过程既不是马尔可夫过程，也不是鞅过程。然而，通过利用价格过程仍然是半鞅的事实，并相应地使用鞅方法，我们可以在波动过程是快速均值回复的情况下获得期权价格的解析表达式。volatilityprocess被建模为分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程的s光滑有界函数。我们给出了具有分数项结构的隐含波动率的表达式。关键词。随机波动率、长期相关性、均值回归、分数奥恩斯坦-乌伦贝克过程。AMS科目分类。91G80、60H10、60G22、60K37.1。介绍随机波动率与隐含面。在许多市场情景下，像标准的Black-Scholes模型那样，假设波动率是恒定的，这是不现实的。实际上，这反映在取决于定价参数的隐含波动性中。

这意味着，为了匹配观察到的价格，需要在Black-Scholes期权定价公式中使用的波动性取决于到期时间和对数货币性，货币性是*Francejosselin Cedex Palaiseau 91128 Ecole Polytechnique数学贴花中心。garnier@polytechnique.edu+加利福尼亚州欧文市加利福尼亚大学数学系92697ksolna@math.uci.eduthe标的物的当前价格。隐含波动率是一种方便的方法，可以对金融合同相对于特定标的物的价格进行参数化。它提供了关于市场如何偏离理想的布莱克-斯科尔斯状况的见解。在将隐含波动率模式l校准为流动性合约后，该模型可用于对相同基础上的流动性较低的合约进行定价。因此，有必要确定隐含波动率的一致参数化，该参数化对应于随机波动率波动的隐藏模型。正如Garnierand Solna（2015）所述，主要目标是构建一个随机波动率模型，该模型是一个平稳的过程，可以考虑一般的到期时间。关于随机波动率模型的背景，请读者参阅byFouque等人（2011）的书籍和调查；Gatheral（2006）；Ghysels等人（1995年）；Gulis ashvili（2012）；亨利·劳德埃（20 09）；Rebonato（2004）（见其中的参考文献）。我们还可以参考我们关于分数随机波动率的论文，Garnier和Solna（2015），进一步参考我们在这里考虑的波动率模型类别的最新文献。实证研究表明，波动性可能表现出具有长期相关性的“多尺度”特征，如inBollerslev等人（2013年）；Breidt e t al。

(1998);Chronopoulou和Viens（2012）；Cont（2001、2005）；恩格尔和巴顿（2001）；Ohet等人（2008年）。这意味着相关性在时间效应集中以幂律形式衰减，而如果随机波动率是马尔可夫的，则相关性将以指数函数形式衰减。在这里，我们试图确定隐含波动率的参数形式与这种长期相关性相一致。在我们最近的pa perGarnier和Solna（2015）中，我们在波动性波动幅度较小的背景下考虑了这个问题。这里，我们考虑的是波动率波动幅度与平均波动率具有相同阶数的情况。事实上，经验研究表明，波动率波动可能相当大：Breidt et al.（1998）；Cont（2001）；恩格尔和巴顿（2001）。虽然在Garnier和Solna（2015年）中，波动率波动很小，导致出现（常规）扰动情况，但情况有所不同，因为正是快速均值回归（相对于底层扩散时间的快速）允许我们进行n渐近分析。在这种情况下，长程相关性的存在给出了一种新的奇异摄动情况。分析变得更加复杂。尤其是，共变过程的详细分析是一个重要组成部分。我们考虑期权定价，但第四种方法是通用的，在其他金融环境中也会有用。从我们的分析可以看出，隐含波动率曲面的形式与马尔可夫情形下得到的形式相似。这证实了隐含可用性参数模型对潜在公共关系动态的鲁棒性。然而，存在着中心差异。

特别是，长期相关性产生了不可积的相对性协方差，这反过来又给出了一个隐含的波动率曲面，该曲面是一个随机场，其统计信息可以详细描述。此外，在长期情况下，隐含波动率作为到期时间的函数具有分数行为。Fouque et al.（2003）的实证研究表明，为了更好地拟合隐含波动率，考虑一个慢波动率因子和一个快波动率因子的两时间尺度模型是合适的。InGarnier和Solna（2015），我们认为是一个缓慢的事实r，它与一个小的波动因子密切相关。这里，我们考虑一个具有较大波动的快速因子。我们对Fouque等人（2003、2011）提出的具有长期相关性的过程的双因素模型进行了一般化。这导致了隐含效用的分数项结构。inFouque et al.（2004）表明，这种期限结构可能有助于在特定市场条件下拟合隐含波动率。长记忆和快速均值回复。如上所述，本文考虑的渐近状态是波动率快速均值回复的情况。我们用ε表示其时间尺度，ε是我们模型中的小参数。然后，波动率在时间尺度ε上解相关。随机波动率模型通常设置为具有均值为零和混合特性的波动率驱动过程。这意味着波动率驱动过程在时间t和t的随机值+t、 它们是Zε和Zεt+t、 当t型→ ∞, i、 e.自协方差函数Cε(t） =E[ZεtZεt+t] 迅速衰减至零t型→ ∞. 更准确地说，如果波动率驱动过程的自协方差函数在本质上衰减得足够快，那么它就是混合的，因此它是绝对可积的∞|Cε（t）| dt<∞.

（1.1）在这种情况下，我们可以将该过程与有限相关时间tc=R相关联∞Cε（t）dt/Cε（0），等于或等于rε。具有长期相关性的随机波动率模型最近引起了人们的广泛关注，因为在各种情况下收集到的数据越来越多，证明在许多不同的市场中都会遇到这种情况。定性地说，长程相关特性意味着随机过程具有长记忆（与混合过程相反）。这意味着随机值Zε和Zεt之间的相关性+t以两次间隔t即使是大的也不能完全忽略t、 更准确地说，如果随机过程的自协方差函数满足ε（t）| t，则称其具有H-long-range相关性|→∞ 右侧tε2小时-2，（1.2）其中rH>0和H∈ (1/2, 1). 我们称H为赫斯特指数。她的e相关时间ε是幂律行为（1.2）有效的临界时间尺度。注意，自协方差函数不可积为2H- 2.∈ (-1，0），这意味着具有H长程相关特性的随机过程不混合。正如我们在下文中更详细地描述的那样，建模长期相关性的一种常见方法是使用分数布朗运动（fBm）过程，这是在曼德尔博特和范内斯（1968）中介绍的。长记忆随机波动率模型很容易引入，但很难分析。这主要是因为波动过程既不是马尔可夫过程，也不是半鞅过程。然而，重要的是要注意，价格过程仍然是一个半鞅，并且问题公式不需要套利（Mendes et al.（2 015）），正如inBjork和Hult（200 5）为一些价格过程本身由分数过程驱动的模型所主张的那样；罗杰斯（1997）；Shiryaev（1998年）。

长记忆的主要动机是能够观察到复杂的波动性。关于隐含波动率表面的设定，一个常见的挑战是在短期内捕捉到强烈的资金依赖性，而不是在长期内创造艺术行为。另一个典型的挑战是，尽管在这种制度下发生了平均效应，但要保持长期债券的强参数依赖性，正如Bollerslev和Mikkelsen（1999）所讨论的那样；Boller slevet等人（2013年）；Comte e t al.（2012）；Sundars en等人（2000年）。我们注意到，Carr和Wu（2003）提出的涉及跳跃的模型是应对这些挑战的一种方法；米贾托维奇和坦科夫（2016年）。最近的研究表明，具有长期相关性的随机波动率模型也为应对此类挑战提供了一个有前景的框架。Comte和Renault（19 98）采用了基于分数噪声描述随机波动过程的方法；Comte等人（2012年）。这种具有长期相关性的随机波动率模型可以捕捉长期波动率微笑的陡峭程度，而不会过分强调短期波动性。为了得到隐式有效性的显式结果，我们考虑了一些渐近区域。其中最主要的是短期到期制度。该模型由inComte等人提出。Guennoun et al.（2014）再次回顾了（2012），其中使用大偏差理论分析了短期和长期到成熟的渐近性。在Al\'os etal。（2007），作者使用Malliavin calc-ulus将期权价格分解为经典Black-Scholes公式价格的总和，以及由于波动性的波动性而产生的一个术语。

在Black-Scholes公式中，他们使用了一个波动率参数，该参数等于未来平均波动率的均方根加上杠杆效应（即基础回报与其波动率变化之间的相关性）产生的一个术语。他们的模型是贝茨模型的分数版本（贝茨（1996））。他们发现，隐含波动率在短期内会出现在长期依赖的情况下。InForde和Zhang（2015），作者使用大偏差原则计算隐含可用性的短期到期时间渐近形式。他们考虑了杠杆效应，获得了与inAl\'os等人（2007）一致的结果。他们考虑了由fBms驱动的随机波动率模型，该模型使用roug h路径理论进行分析。他们还考虑了一些分数过程的长时间渐近性。inGulisashvili et al.（2015）最近在长期随机过程的背景下提出了短期至成熟的渐近结果。InBayer等人（2016年），作者考虑了粗略的Bergomi模型或“rBergomi”模型，并讨论了相关隐含波动率期限结构的形式。在Ukasawa（2011）中，作者讨论了具有长期相关性的小波动率波动如何影响隐含波动率，作为他所阐述的一般理论的应用。在那篇论文中，以及在Al\'os et a l.（2007）中，作者使用了一个模型，其中时间0起着特殊的作用，因此建模并不完全令人满意，因为它导致了非平稳波动模型。另一方面，inGarnier和Solna（2015）研究了小波动率波动，作者使用了一个具有平稳模式l的公式。Fukasawa（2017）最近的论文中也是这样，该论文考虑了H<1/2的大波动率情况下的S短时渐近性。

这一区分很重要：如果波动率因子是源自原点的fBm，则隐含波动率曲面仅以波动率因子的现值为条件确定。在我们的论文中，我们使用了一个平稳模型，因此隐含的波动率表面取决于波动率因子的路径，直到现在，这反映了fBm的非马尔可夫性质。我们在第6节中详细讨论了将隐含可用性曲面解释为随机场的结果。最近，inAl\'os和Yang（2017）提出了小波动率波动区域的定价近似值。在计算一般到期日和部分波动率波动的价格方面，迄今为止，主要是数值近似值。在这里，我们提出了一个基于快速均值回归的渐近机制，它给出了明确的价格近似值。Garnier和Solna（2015）的研究结果以及当前的论文表明，可以构建一个分数、两个时间尺度的随机波动率模型，该模型具有足够的灵活性，能够拟合隐含波动率表面的短期和长期到期部分。让我们注意到，我们在这里考虑的是H>1/2的长期相关性情况，与H<1/2的粗糙波动率情况相反。事实上，这两种制度都是从实证角度确定的。例如，我们参考读者toGatheral et al.（2016）了解粗略波动率的观察结果，参考Chronopoulou和Viens（2012）了解长期波动率的情况。在离散建模框架中，Gensen（20-16）报告了一个长期的均值回复挥发度波动。Walther等人（2017）、Carfeddine的商品（2014）和Chia等人的股票指数也报告了长期波动情况。

(2015).根据Insimensen（2002）的报告，对电力市场数据的分析通常得出H<1/2；Rypdal和Lovsletten（2013）；Bennedsen（2015）。我们认为，长期和长期案例都很重要，可以根据特定的市场和制度进行观察。尽管H<1/2的“粗略”情况可能是最常见的情况，但了解H>1/2的情况可能对定价和对冲特别重要。在本文中，我们只考虑模型的分析方面。关于特定数据的拟合超出了本文件的范围，将在未来的工作中予以说明。我们在这里提出的分数模型产生了典型的“程式化事实”，如收益率的重尾、波动率聚类、均值回归和长记忆或波动率持续性。此外，我们还将杠杆效应纳入其中。该术语由Black et al.（1976）首创，指的是与波动性相关（通常为负）的股票价格变动，股票价格下跌可能意味着更多的不确定性，从而导致波动性。然而，请注意，下面推导的隐含可用性曲面模型在对数货币中是线性的。从融资的角度来看，这似乎有点严格，因为在许多情况下，在某些市场中可能会观察到严重的货币扭曲。股票市场尤其如此，但在其他市场，如固定资产市场，情况相对较少。然而，如果考虑高阶近似，那么它们也会产生倾斜效应。此处未考虑的许多建模问题，如交易成本、买卖价差和流动性，也可能影响偏斜形状。还要注意的是，为了简单起见，我们没有将非零利率或风险市价作为PECT。快速聚类、长记忆和隐含曲面。