高维全局最小方差投资组合的估计

因此，无论是在c=1的八分之一处，还是在c>>1.2.3未知参数的估计中，我们都不必预测所提出的收缩估计量的不稳定性。Bonafide估计器在本小节中，我们展示了如何分别在c<1和c>1的情况下一致地估计派生的oracle估计器。这是通过一致估计targetportfolio Rbn的相对损失来实现的。这一结果在定理2.3中给出。定理2.3。在假设（A1）-（A2）下，Rbnis的一致估计量由（a）^Rbn=（1）给出- 零件号）bnSnbn·1S-1n1- 1个用于PN→ c∈ （0，1）为n→ ∞ （2.24）（b）^R*bn=零件号（零件号- 1） bnSnbn·1S*n1型- 1个用于PN→ c∈ (1, +∞) 作为n→ ∞. （2.25）样本协方差矩阵S在点c=1处表现不好且不可逆，因为在这种情况下，其smallesteigenvalue非常接近于零。定理2.3的证明见附录。应用定理2.1和2.3（a），我们可以确定案例c中GMV投资组合权重的Bonafide估值器∈ (0, 1). 由^wBF GSE=bα给出*S-1nS-1n+（1- bα*)带bα的BN*=(1 - p/n）^Rbnp/n+（1- 零件号）^Rbn，（2.26），其中^Rbn在（2.24）中给出。表达式（2.26）给出了给定目标投资组合bn的最优收缩估计量，因为收缩强度bα*几乎肯定会趋于其最佳值α*对于p/n→ c∈ （0，1）为n→ ∞.当c>1时，情况更加复杂。这里，数量^rb不是目标投资组合相对损失的可靠估计值，因为矩阵S*依赖未知量。因此，我们通过应用Moore-PenroseReverse S+n提出了一个合理的近似。很容易验证在∑n=σI的情况下，等式成立。

此外，第3节的广泛模拟研究和第4节的实证研究都表明，即使对于密度人口协方差矩阵∑n，这种近似也做得很好。这种行为的原因可能是S+n具有与S相似的渐近行为*n、 然而，用解析的方法证明这一结果是一个非常具有挑战性的数学问题，我们将此留给未来的研究。在图6中，我们提供了一个与图2所示相同设计的简短模拟，以显示^α*（S+n）和^α*（S）*n） 是渐近逼近的，证明了我们近似的准确性。以上图6考虑到上述讨论和定理2.3（b）的结果，在c>1的情况下，数量RBI的有效估计量近似为^R+bn=p/n（p/n- 1） bnSnbn·1S+n1- c为1∈ (1, +∞) . （2.27）（2.27）的应用导致了在c>1的情况下，GMV投资组合的最佳收缩估计值，表示为^w+BF GSE=bα+S+nS+n+（1- bα+=（p/n）的bα+- 1） ^R+bn（p/n- 1） +零件号+（零件号- 1） ^R+bn，（2.28），其中S+nis是样本协方差矩阵Sn的摩尔-彭罗斯伪逆。值得注意的是，在最小化样本外方差的情况下，估计量（2.26）是GMV投资组合的最优估计量，而在c>1的情况下，估计量（2.28）是次优估计量。

为了总结本节内容，我们将（2.26）和（2.28）合并为一个极好的最优收缩估值器，用于在^wBF GSE=bα给出的c>0的情况下，GMV投资组合权重*S+nS+n+（1- bα*)BN（2.29）与稀疏相反。对于c=1的情况，理论上没有处理，但使用摩尔-彭罗斯逆并将smallesteigenvalue设置为零，我们仍然能够在这种情况下构造可行的估计量。bα*=(1 - p/n）^Rbnp/n+（1- p/n）对于c<1，（p/n）- 1） ^Rbn（零件号- 1） +零件号+（零件号- 1） ^RBC≥ 1，（2.30）和^Rbn=（（1- 零件号）bnSnbn·1S-1n1- c<1时为1，p/n（p/n- 1） bnSnbn·1S+n1- c为1≥ 1.（2.31）其中我们使用S+n=S-1nif SNI是非奇异的。在图5中，我们研究了oracle和Bonafide最优收缩估值器对GMV投资组合权重的差异，以及oracle和Bonafide传统估值器之间的差异。总体协方差矩阵被视为一个密集的207×207维协方差矩阵∑nw，其特征值的1/9等于2，4/9到5，最后4/9到10。特征向量的选择方法与oracle估计器部分中的选择方法相同。目标投资组合仍然是幼稚的，即bn=1/p1。观测矩阵由正态分布生成。对于所有考虑的值c>0，观察到Bonafide最优收缩估计器（红色虚线）与其oracle（红色实线）的完美拟合。蓝线对应于oracletraditional估计器（蓝色实线）和Bonafide traditional估计器（蓝色虚线）。与最优收缩率估计器不同的是，c>1时，传统估计器与其预测值之间存在差异，而c越大，预测值越大。

对于c<1，这两种估计都包括在内，因为在这种情况下，广义逆（2.16）和摩尔-彭罗斯逆都等于样本协方差矩阵的逆。值得注意的是，提议的Bonafide最优收缩估计值在c=1点也能很好地工作，尽管这里甚至没有定义相应的oracle估计值。原因是我们只需将SNA的最小特征值设为零，并使用Moore-Penrose逆技术。图5的结果促使在实践中应用MoorePenrose逆，而不是第2.2节开头给出的广义逆，而应谨慎使用传统估计量。我们将在第3节的模拟研究中进一步研究这一点。上图5最后一点需要注意的是，Bonafide估值器（2.29）很容易在实践中使用，因为它可以快速计算。2.4目标投资组合的选择目标投资组合BN在确定最优收缩估计量方面起着至关重要的作用。BN最明显的选择是朴素的投资组合1或稀疏的投资组合。在多期设置中，可以选择前期的权重作为目标投资组合。理论上，我们甚至可以采取随机目标投资组合，但它应该独立于实际观察。特别是，它可以是单位球面上的均匀分布随机向量（适当归一化）或单纯形上的均匀分布随机向量。

选择前一时期的最优投资组合权重会为目标投资组合带来更有趣的例子，这使我们能够在动态环境中构建某种贝叶斯更新原则。一般来说，这个问题的答案取决于基础数据，因为目标权重的选择相当于∑先验分布的超参数的选择-1n∑-1n。这个问题在贝叶斯统计中是众所周知的。应用不同的先验知识会导致不同的结果。因此，在大多数情况下，选择一种效果良好的方法是非常重要的。最幼稚的是平均权重的投资组合1/p1。显然，先验权重为真实全局最小方差投资组合的oracle收缩估计量是一个一致的估计量，如命题2.1所示。此外，将一些关于真正的GMV投资组合的新信息纳入先验知识可以显著提高绩效（参见Bodnar等人（2014））。为了简单起见，我们在第3节的模拟研究以及第4节的实证研究中采用了naiveportfolio。将shinkage估计量视为向量函数^wBF GSE（bn）：Vp→Vp，其中Vp和▄Vp是p维向量空间。在下面的命题中，我们给出了收缩估计量作为目标权重bn函数的一些性质。提案2.1。对于建议的收缩估计值^wBF GSE（bn），它认为1。如果任意σ>0和c的总体协方差矩阵∑n=σI，则wBF GSE（1/p1）是GMV投资组合的一致估计量∈ (0, +∞).2、^wBF GSE（wGMV）是GMV投资组合∑的一致估计量-1n∑-1对于所有c∈ (0, +∞).该证明是定理2.1、定理2.2和定理2.3.3仿真研究的直接应用。在本节中，我们将演示所得结果如何应用于实践。

我们模拟的第一部分致力于正态分布数据，而在第二部分中，资产回报率是由具有5个自由度的t分布生成的。目标投资组合BN被视为原始投资组合。结果显示在c<1和c>1两种情况下，以及具有有界（第3.1节）和无界（第3.2节）谱的方差矩阵。基准估计量是Frahmand Memmel（2010）提出的GMV投资组合的主要估计量。由^wF M=（1）给出- k） S-1nS-1n+kP，k=p- 3个- p+2^R1/p，（3.1），其中^R1/p=1/pSn1- σSnσsni是原始投资组合的估计相对损失。支配者指数（3.1）是在假设资产收益率为正态分布且在样本外方差方面优于传统估值器的情况下得出的（参见Frahm和Memmel（2010））。然而，对于浓度比c>0的不同值，距离最佳值还有多远，尚不清楚。它对于非正态分布数据的行为还没有得到研究。接下来，我们比较了支配估计量（3.1）和Bonafide OptimalContract估计量（2.29）的性能。为了找出定理2.1和2.3中确定的收敛速度，我们还考虑了oracle最优收缩估计量，该估计量可以很容易地构造为c<1和c>1，最优收缩强度分别由（2.10）和（2.19）给出。作为性能度量，我们采用第2节中的相对损失。对于GMV投资组合的任意估值器^w，其定义为r^w=σ^w- σGMVσGMV（3.2），其中σ^w=^w∑n^w，σGMV=∑-1n。在我们的模拟研究中，我们将p作为n的函数。

特别是，当n=18·2jand p=9·2jforj时∈ [0，5]浓度比c始终等于0.5，p随n呈指数增长。这就是为什么小尺寸显示的点多，大尺寸显示的点少的原因。对于c的其他值，也会执行p和n的类似选择∈ {0.1, 0.9, 1.8}. 最后，值得注意的是，模拟结果表明，就相对损失而言，Bonafide最优收缩估计量的收敛速度很好，其oracle估计量已经用于p≤ 100.3.1具有有界谱的总体协方差矩阵在本小节中，我们假设协方差矩阵具有有界谱，即具有有界最大特征值。这里，我们使用协方差矩阵的结构，如图5所示，即取其特征值的1/9等于2，4/9等于5，4/9等于10。用这种方法构造的高维协方差矩阵具有一致的谱诺曼，其特征值不是很分散。此外，协方差矩阵的这种选择确保当维数p增加时，协方差矩阵的谱不会改变其行为。图7和图8显示了正态分布数据的模拟结果和浓度比c的不同值∈ {0.1, 0.5, 0.9, 1.8}. 图7显示了不同维度p所考虑估计量的整体行为，而图8显示了固定p=306的局部分布特性。更准确地说，在全局行为下，我们理解了平均相对损失相对于维度p的演变，而局部行为呈现了p的一个固定值的相对损失的经验累积分布函数（e.c.d.f.），即p=306。

在全局情况下的比较很清楚：平均损失越小，估计值越好。本地研究在经验分布方面提供了更精确的比较。在这种情况下，最佳估计量的标准是基于观测值e。c、 具有随机较小值的d.f.占主导地位。这意味着，对于两个e.c.d.功能，主功能位于另一个的左侧。这一准则与一阶随机优势是一致的。关于一阶随机优势的唯一区别是，比较基于经验分布函数，而不是总体分布函数。在全局分析中，我们发现，对于所有考虑的情况c，对于较小的p值，Bonafide最优收缩估计值已经收敛到相应的oracle估计值∈ {0.1, 0.5, 0.9, 1.8}.排名第三的是Frahm和Memmel（2010）的主要估计量。它总是比最差的传统估计更好，但总是比其他两个竞争者更差。就平均相对损失值而言，我们观察到，如果c增加且低于1.0，估计值之间的差异将变得更加显著。例如，当c=0.1时，传统估计值的平均相对损失趋于1/9，而当c=0.5时，它趋于1。这两个结果与推论2.1一致，其中证明了传统估计量的平均损失趋于c/（1- c） 在高维渐近下。在ofc=0.9的情况下，最优收缩估计量和支配（传统）估计量的平均相对损失之间的差异变得非常大。实际上，在这种情况下，传统估计的平均相对损失渐近等于9。

这意味着传统估计量的样本外风险是实际风险的10倍。主导估计量明显优于传统估计量，但对于小维度，相对损失接近4（p≤ 50）这意味着其样本外风险是实际风险的5倍。这是不可接受的。相比之下，Bonafide最优收缩率估计器会快速收敛到其oracle估计器。最优收缩估计的相对误差小于0.3。图8显示了在p=306的情况下，局部分析的经验分布函数具有相同的优势。最好的方法是oracle和Bonafide optimal shrinkageestimators。其次，对支配估计量进行排序，然后是传统估计量。这些图也说明了Bonafide最优收缩估计量与其oracle的快速收敛性。p=306的局部分析证实了Bonafide最优收缩估计量的几乎确定的收敛性（一致性），这在定理2.1中得到了证明。在图8中，Bonafide和oracle最优收缩估计值的相对风险都具有非常小的方差，当维度p增加时，方差消失。同时，支配估计量具有显著的较大方差，当c接近1时，它是不稳定的。传统的估计量表现出非常关键的行为，是所考虑的估计量中最差的。最有趣的情况是，图7和图8中的c=1.8对应于奇异样本协方差矩阵Sn。在这里，我们应用第2.2节和第2.3节的结果，并采用摩尔-彭罗斯逆S+N代替S-1n。注意，我们不能使用支配估计量，因为它不适用于c>1。这一结果仍然给全球和地方政权留下深刻印象。

同样，建议的Bonafide最优收缩估计值收敛到其oracle。作为传统的估计量，我们采用了由Moore-Penrose逆+n构造的GMV投资组合。传统估计量具有快速增长的平均损失和最大的方差。对于c>1，这也是不可接受的估计值。相比之下，Bonafide最优收缩估计值的方差很小，即使c>1，也遵循稳定的行为。进一步分析了资产收益率不再服从正态分布时所考虑的估计量的行为。特别值得一提的是，研究文中导出的估计量的重尾影响有多大。因此，在我们的模拟研究中，接下来使用了具有5个自由度的t分布。最近，作者提到，在实践中，5个自由度似乎是一个合适的选择（见Venables和Ripley（2002））。图9和图10显示了自由度为5的t分布资产收益率的结果。比较研究的结构与正态分布数据的结构相同。一般而言，图9和图10中观察到的行为与正态分布中获得的行为没有显著差异。通常，最好的估计量是建议的收缩估计量。最优收缩率估计器在所有c∈ {0.1, 0.5, 0.9, 1.8}. Itis指出，Bonafide最优收缩估计值对其预测值的收敛速度受到重尾的影响。建立了最优收缩估计量的一个类似的渐近相对损失行为，即平均相对损失是渐近常数且小于0.5。